微分几何-预备知识

显式函数表示Explicity

f

(x)x,

f

(x)yOx

xyzOz

f(x,

y)x,

y,

f

(x,

y)(

x,

y)隐式表示Implicitof

(x,

y)

0,

f

(x,

y,

z)

0yx1x2

y2a2

b2代数几何：多项式（组）的零点集Algebraic

geometry

：variety参数表示Parametric

curve

&

surface（Euler）

x

x(t)

y

y(t)

z

z(t)

x

x(u,

v)

z

z(u,

v)y

y(u,

v)

r

r

(t)

(x(t),

y(t),

z(t))r

r(u,v)

(x(u,

v),y(u,

v),

z(u,

v))Space

curveCylinderSurface

reconstruction(static)From

CT

or

optical

images,

raw

point

data,

…Data

repairing,

registration,

resampling,

smoothingmeshingparamerizationPointcloudmeshNURBStextureNo

connectionconnectedparametric标架与坐标是建立“形”与“数”之间联系的桥梁b

aa

b向量运算内积对称性，双线性，正定性外积称性，双线性

表r,r向量是一个有向线段，具有大小和方向，用

AB,示在坐标系下表示

(

x

1

,

x

2

,

L

,

x

k

)

a

b

a

b

cos

(a,b

)定义运算法则常见性质a

b

a

b

cos(a,b)c

(a

b)

c

a

c

b(a)

b

(a

b)a

b

b

aa,b垂直

a

b

0a

2

a

a

09

x

yx

ycos

boundedlinear

dependentorthogonal1

cos

1cos

1cos

0equivalentunequal10shiftmatchtemplateimagecosine定义ab是与a和b都垂直的向量，它与a,b构成右手系ab

a

b

sin

(a,b)运算法则c(a

b)

ca

cb(a)

b

(a

b)a

b

b

a常见性质a,b平行

ab

0bS=|a

b||

[abc]

|

|

a

b

c

|

|

a

b

|

|

Pr

jabc

|

S

h

Va

bchbS=|a

b|a几何意义|

[abc]

||

a

b

c

|

|

a

b

|

|

Pr

jabc

|

S

h

V三矢a,b,

c共面其混合积[abc]=0仿射标架对于任意点{O;OA,OB,OC}P

E3OP

OP1

OP2

OP3

xOA

yOB

zOC(x,y,z)称为点P的坐标P3OP21PAPB是垂直、构成右手系的3个单位向量，这样的标架是右手单位正交标架，简称正交标架(OrthogonalFrame)。由正交标架给出的坐标系叫

直角坐标系（rectangular

Cartesian

coordinate

system）设{O,i,j,k}3的标架，并且

i,

j,k

是相互点

P

O

xi

yj

zk,坐标为(x,

y,

z)向量设向量内积外积a

xi

yj

zk,也可以表示成(x,y,z)a

(x1,

y1,

z1),b

(x2

,

y2

,

z2

)a

b

x1x2

y1

y2

z1z2y2

ab

y

z

z

x

x

y

1 1

,

1 1

,

1 1

y2

z2

z2

x2

x2距离distance三维欧式空间通常写成,向量

(x,

y,

z)

的长度为R3x2

y2

z2OPkie1je2e3取定一个正交标架O;i,j,k

(绝对坐标系).则任意一个正交标架P;e1

,e2

,e3

被P点的坐标和三个基向量e1,e2

,e3

的分量唯一确定Q变换矩阵正交、|A|=1、旋转变换对O;i,j,k下的一点q(x,

y,

z)P;e,e ,e

，在

1

2

3

下的坐标为(x,y,z)刚体运动下变换的像点与原来点的关系称为等距变换.E3定理1.1

中的刚体运动把一个正交标架变成一个正交标架；反过来，对于E3中的任意两个正交标架，必有3的一个刚体运动把其中的一个正交标架变成另一个正交标架.空间

E

3

到它自身的、保持任意两点之间的距离不变的变换

:

E3

E3Continuous

(preserves

neighbourhoods)One

to

one,

invertibleClassify

by

invariants

or

symmetriesIsometry

(distance

p

)Reflections

(interchanges

left-

handed

andright-handed)–Rigid

body

motion:

Rotations

+

TranslationsSimilarity (preserves

angles)Uniform

scaleAffine

(preserves

parallel

lines)–Non-uniform

scales,

shears

or

skewsCollineation

(lines

remain

lines)–Non-linear

(lines

curves)Twists,

bends,

warps,

morphs,

...空间一点P和三个不共面的向量e1,e2

,e3

组成的标架P;e1,e2

,e3

，不要求满足单位正交性质。把

gij

称为放射标架

P;e1,e2

,e3

的度量系数gij

ei

ej

,1

i,

j

3E3

GL(3)构成12维的向量空间设直线L过点

P

(x0

,

y0

,

z0

),

方向为

v(v1,

v2

,v3

)（单位向量），求直线外一点

X

(x

,

y

,

z

)

绕直线按右手方向旋转

角的坐标。提示：以向量v为标架的一个向量，再通过点P，X构造另外两个向量，以P为原点，构造新的正交标架；计算X点在新的标架下的坐标，做旋转变换，再计算在原坐标系下的坐标。向量函数vector

valued

function所谓的向量函数是指从它的定义域

D

到

R3

的r

:

D

R3

:

p

r(

p)定义在

[a,

b]

区间

上的向量函数r(t)

(x(t),

y(t),

z(t)),

a

t

b连续、连续可微是指

x(t),

y(t),

z(t)

都关于t

连续、连续可微求导t

t0

x(t0

),

y(t0

),

z(t0

)dr

dt0r(t)dt

limni1bbi

i

bba积分aaax(t)dt,y(t)dt,z(t)dtr(t

)t向量函数的求导和积分归结为它的分量函数的求导和积分，向量