2021年湖南省长沙市眀德中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021年湖南省长沙市眀德中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的周期为T,在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是：参考答案：C2.（5分）（2014秋?衡阳县校级月考）已知命题p：?x∈R，向量=（x2，1）与=（2，1﹣3x）垂直，则（）A．p是假命题；￢p：?x∈R，向量=（x2，1）与=（2，1﹣3x）不垂直B．p是假命题；￢p：?x∈R，向量=（x2，1）与=（2，1﹣3x）垂直C．p是真命题；￢p：?x∈R，向量=（x2，1）与=（2，1﹣3x）不垂直D．p是真命题；￢p：?x∈R，使得向量=（x2，1）与=（2，1﹣3x）不垂直参考答案：C【考点】：命题的真假判断与应用；平面向量的坐标运算．【专题】：简易逻辑．【分析】：直接利用向量的数量积判断向量是否垂直，判断真假即可．解：命题p：?x∈R，向量=（x2，1）与=（2，1﹣3x）垂直，它的否定是：￢p：?x∈R，向量=（x2，1）与=（2，1﹣3x）不垂直，如果垂直则有：2x2+1﹣3x=0，解得x=1或x=，显然命题的否定是假命题．故选：C．【点评】：本题考查命题的否定，命题的真假的判断与应用，基本知识的考查．3.已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A、－2B、2C、－2iD、2i参考答案：B

，所以虚部为2。4.设集合，B={－2,－1,0,1,2,3}，则集合A∩B为（

）A．{－2,－1,0,1,2}

B．{－1,0,1,2}

C．{－1,0,1,2,3}

D．{－2,－1,0,1,2,3}参考答案：B5.（多选题）已知数列{an}的前n项和为Sn，，，数列的前n项和为Tn，，则下列选项正确的为（

）A.数列是等差数列 B.数列是等比数列C.数列{an}的通项公式为 D.参考答案：BCD【分析】由数列的递推式可得，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得，，由数列的裂项相消求和可得．【详解】解：由即，可化为，由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即，又，可得，故错误，，，正确．故选：BCD．【点睛】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C7.在下列区间中，函数的的零点所在的区间为

(

）A．（-，0）

B．（0，）

C．（，）

D．（，）参考答案：C8.已知集合=

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：D略9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)A.

B.

C.2

D.4参考答案：B10.两个非零向量e，e不共线，若（ke＋e）∥（e＋ke），则实数k的值为（）A．1B．-1C．±1D．0参考答案：答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}满足，且．记数列{an}的前n项和为Sn，若对一切的，都有恒成立，则实数m能取到的最大整数是____________．参考答案：9【分析】首先由数列的递推公式求通项公式，，再求，并判断数列单调性，最后转化为，根据数列的单调性求最小值.【详解】由已知可知，，数列是等差数列，并且首项，公差，，，，，，，数列是单调递增数列，若对一切的，都有恒成立，，当时，的最小值是，即，能取到的最大整数是9.故答案为：9【点睛】本题考查数列的的递推公式求通项公式，以及数列求和，数列与函数结合的综合应用问题，意在考查转化与化归和分析问题解决问题的能力，本题的关键步骤是需要判断数列的单调性，根据数列的单调性求最小值.12.设函数在R上存在导数，对任意实数x有，当x时若，则实数m的取值范围是_____参考答案：解：∵∴构造函数则∴是奇函数∵∴∴在x时为减函数∵是奇函数∴为减函数∴R上为减函数∴可化为∴.13.若，其中是虚数单位，则实数a的值为

▲

．参考答案：2．14.设___________.参考答案：15.已知点M在曲线上，点N在直线上，则的最小值为

.参考答案：16.从1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，推广到第n个等式为

．参考答案：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1?n2=（﹣1）n+1?（1+2+3+…+n）考点：归纳推理．分析：本题考查的知识点是归纳推理，解题的步骤为，由1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，中找出各式运算量之间的关系，归纳其中的规律，并大胆猜想，给出答案．解答： 解：∵1=1=（﹣1）1+1?11﹣4=﹣（1+2）=（﹣1）2+1?（1+2）1﹣4+9=1+2+3=（﹣1）3+1?（1+2+3）1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）=（﹣1）4+1?（1+2+3+4）…所以猜想：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1?n2=（﹣1）n+1?（1+2+3+…+n）故答案为：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1?n2=（﹣1）n+1?（1+2+3+…+n）点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．17.设实数满足=4,则的最小值为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.参考答案：(1)；(2)，.分析：（1）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（2）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（1）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（2）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，且DC=EB=1，AB=4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面ACD；（2）根据三棱锥的体积公式，确定体积最大时的条件，建立空间坐标系，利用向量法即可得到结论．【解答】（1）证明：因为AB是直径，所以BC⊥AC，…1分，因为CD⊥平面ABC，所以CD⊥BC

…2分，因为CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD

…3分因为CD∥BE，CD=BE，所以BCDE是平行四边形，BC∥DE，所以DE⊥平面ACD，…4分，因为DE?平面ADE，所以平面ADE⊥平面ACD

…5分（2）因为DC=EB=1，AB=4由（Ⅰ）知===，，当且仅当AC=BC=2时等号成立

…8分如图所示，建立空间直角坐标系C﹣xyz，则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），则=（﹣2，2，0），=（0，0，1），=（0，2，0），=（2，0，﹣1）…9分，设面DAE的法向量为=（x，y，z），则，取=（1，0，2），设面ABE的法向量为=（x，y，z），则，取=（1，1，0），…12分，则cos＜＞==，结合图象可以判断二面角D﹣AE﹣B的余弦值为﹣，…13分【点评】本题主要考查空间面面垂直的判定依据空间二面角的求解，利用向量法是解决空间二面角的常用方法．20.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。

（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数。参考答案：（1）

（2）平均分为

（3）数学成绩在内的人数为人

数学成绩在外的人数为人答：（1）

（2）这100名学生语文成绩的平均分为

（3）数学成绩在外的人数为人。21.对于正整数n，如果个整数满足，且，则称数组为n的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数，设是n的一个“正整数分拆”，且，求k的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n，证明:;并求出使得等号成立的n的值.(注:对于n的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)参考答案：(Ⅰ)，，，，；(Ⅱ)n为偶数时，，n为奇数时，；(Ⅲ)证明见解析，，【分析】(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当为偶数时，最大为，当为奇数时，最大为，得到答案.(Ⅲ)讨论当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故，当为偶数时，根据对应关系得到，再计算，，得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.(Ⅱ)当为偶数时，时，最大为；当为奇数时，时，最大为；综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为.(Ⅲ)当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”，故.综上所述：.当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，；当时，偶数“正整数分拆”为