曲线运动课时6向心加速度-课件

课时6向心加速度

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过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．你在乘坐过山车的过程中，不仅能够体验到冒险的快感，还有助于思考相关的物理学知识．

请你思考：你所做的运动是什么运动？这样的运动具有怎样的特征和规律？

教学目标基本要求

1．知道匀速圆周运动是变速运动，具有指向圆心的加速度——向心加速度．2．知道向心加速度的几个表述式，并会根据不同情境用来进行简单的计算．3．会用矢量图来表示速度变化量与速度之间的关系，理解加速度与速度变化量之间的区别．4．体会匀速圆周运动向心加速度方向的分析方法．发展要求

知道非匀速圆周运动加速度与向心加速度的关系．

知识精析

一、向心加速度公式的推导

1．向心加速度与前面《直线运动》中所学的加速度是同一个物理量，故定义式为a＝，表示物体各时刻速度的变化率，其中Δv为矢量，Δt→0．

2．我们可以先把有关速度矢量vA和vB画成图6－1甲，图中vA、vB分别表示做匀速圆周运动的物体在A、B两点时的速度．把vA和vB的始端画在一起，把它们的终端以虚线相连，作出如图6－1乙所示的平行四边形，这个平行四边形可理解为将速度vA和速度的变化量Δv合成得到vB．它也能用图6－1丙所示的三角形法则来表示，同样可以看成vA与Δv合成得到vB．这就是说从vA变到vB，发生了Δv的变化，从而求出速度矢量的改变量Δv＝vB－vA．

甲乙丙图6－1

3．在求出Δv的基础上，就得出当Δt0时，Δv的方向是沿半径指向圆心的．所以加速度的方向也是时刻沿半径指向圆心的，这里特别要注意，向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．

图6－1丁

4．当Δt0时，θ→0，如图6－1丁所示，弦AB的长度s等于弧AB的长度．由于vA＝vB＝v，根据三角形的相似可得，即得a＝．

5．a＝适用于所有的圆周运动，式中a、v是与瞬时状态对应的，对应的位置在r处．

二、对向心加速度意义的理解

1．向心加速度

2．匀速圆周运动为变加速运动．

3．在匀速圆周运动中，向心加速度就是物体做圆周运动的实际加速度，而在一般的非匀速圆周运动中，它只是物体实际运动的加速度的一个分加速度，另一个分加速度为切向加速度，如图6－2所示．可见物体做圆周运动的加速度不一定指向圆心，只有匀速圆周运动的加速度才一定指向圆心，但向心加速度的方向始终沿着半径指向圆心．

图6－2

4．圆周运动的切向加速度是描述圆周运动的线速度的大小改变快慢的物理量，向心加速度是描述线速度的方向改变快慢的物理量．

方法探究

一、速度的变化量

1．速度是矢量，速度的变化量也是矢量，它是指末速度与初速度的矢量差，既有大小，也有方向，其变化规律符合平行四边形定则．

2．运算法则：遵循矢量运算法则．①当两速度的方向在同一直线上，可以先选初速度方向为正方向，然后利用Δv＝v2－v1进行运算，矢量关系图如图6－3甲所示．②当两速度的方向不在一条直线上，可用三角形法则进行运算，如图6－3乙所示．例如：平抛运动中以初速度v0水平抛出、经时间t(物体未落地)，则矢量关系如图6－3丙所示；匀速圆周运动中，物体由A运动到B，其速度变化量Δv如图6－3丁所示．

甲乙

丙丁图6－3

例1

在平直公路上行驶的汽车，其初速度为v1，方向向东；经一段时间后其速度变为v2，方向向西．汽车速度的变化量为Δv，v1、v2、Δv这三个量的关系可以用一个矢量图表示，则图6－4中能正确表示的是(

)

图6－4

解析

v1、v2、Δv都是矢量，v1、v2方向不同，故A、B选项错误；再由Δv＝v2－v1，即Δv应为从v1箭头指向v2箭头的矢量．故C选项正确、D选项错误．

答案

C

变式训练1

飞机做曲线运动表演时的初速度为v1，经时间t后速度变为v2，速度变化量Δv与v1和v2的方向关系如图6－5所示，其中正确的是(

)

图6－5

A．① B．② C．③ D．都不正确

解析

不共线的v1、v2、Δv应构成封闭的矢量三角形，且Δv由v1的末端指向v2的末端，故B选项正确．

答案

B

二、向心加速度的意义

例2

下列关于向心加速度的说法中，正确的是(

)

A．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直

B．向心加速度的方向保持不变

C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的

D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化

解析

向心加速度的方向始终沿半径指向圆心，而圆周运动的速度方向始终沿圆周上该点的切线方向，故向心加速度的方向始终与速度的方向垂直，故A选项正确；在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，但方向时刻改变，故B、C、D选项均错误．

答案

A

点评本题是对向心加速度基本概念的考查，只有牢记概念、明确意义，才能准确地分析和判断问题．

三、关于加速度a与描述圆周运动的其他参量的关系

例3

如图6－6所示，甲是一个被固定在转轴上的半径为r的轮子；乙是一个被支撑起来的中空的轮环，内半径为2r，外半径为3r，甲带动乙转动，接触处不打滑．当甲的角速度为ω时，轮环外壁N点的线速度是________，向心加速度是________．

图6－6

解析

甲、乙两轮接触处不打滑，则接触处的线速度相等，甲轮边缘的线速度v＝ωr，则乙轮环内径2r的圆周上各点的线速度也为v＝ω′·2r，其角速度ω′＝0.5ω,乙轮环上各点的角速度相等，则N点的线速度vN＝ω′·3r＝1.5ωr．

a＝＝0.75ω2r．

答案

1.5ωr

0.75ω2r

点评

在分析传动装置的各物理量之间的关系时，首先要明确什么量是相等的，什么量是不等的．通常情况下，同轴的各点角速度ω、转速n、周期T相等，而线速度v(即ωr)与半径成正比；传动接触处的线速度大小相等，而角速度ω(即)与半径r成反比．

变式训练2

图6－7为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图象．其中表示质点P的图象是双曲线的一支，表示质点Q的图象是过原点的一条直线．由图象可知(

)

图6－7

A．质点P的线速度大小不变

B．质点P的角速度大小不变

C．质点Q的角速度随半径变化

D．质点Q的线速度大小不变

分析图象能够形象直观地反映物理参量之间的关系，但一定要找准参量间的物理规律，再找到对应物理参量间的函数方程式，最后分析图象．

解析

根据图象提供的曲线的性质建立起质点做匀速圆周运动的向心加速度a随半径r变化的函数关系式，再根据这个函数关系式，结合向心加速度的计算公式作出判断．

答案

A

点评

在利用图象解决物理问题时，要注意充分挖掘图象中所隐含的信息，如：一个量随另一个量如何变化；变化的确切数量关系；斜率多大，其物理意义是什么；截距、面积各有什么意义等．同时还要注意把物理图象和具体的物理情境结合起来，考虑应该选用哪一个规律或公式解决问题．

互动平台

育才老师与细心同学关于“向心加速度公式的推证”的对话细心：老师，现在我能用“化曲为直”的方法来推导向心加速度公式了．育才：好啊！说说你的想法．细心：如图6－8所示，质点沿半径为R的圆周做匀速圆周运动，线速度大小为v．设经时间t，质点由A点沿圆周运动到B点的位移AB，可视为沿A点切线方向做匀速直线运动的位移AC，与沿半径OB方向做匀加速直线运动的位移CB的矢量和．由于位移矢量△ABC与△DAC相似，故对应边的比例关系为：

图6－8

AC2＝CB·CD＝CB(CB＋2R)当Δt→0时，CB≪2R，CB＋2R≈2R则有：AC2＝CB·2R又由运动学规律有：AC＝vΔt，CB＝aΔt2则(vΔt)2＝aΔt2·2R推出质点加速度的大小a＝．育才：很好！还有其他思路吗？细心：我想不出来了．育才：我再介绍一种方法给你．如图6－9所示，由速度矢量三角形与△AOB相似，从对应边的比例关系可求得Δv＝．

图6－9根据加速度和线速度的定义，质点加速度的大小为：

a＝＝．

粗心同学与细心同学关于“a与r的关系”的对话粗心：从公式a＝看，a与r成反比；从公式a＝rω2看，a与r成正比，这是否矛盾？a与r究竟是何关系？细心：向心加速度与半径成正比还是成反比，要看条件才能确定，公式中的三个量，只有当其中一个量确定时，才能讨论另外两个量的比例关系．对于公式a＝，当线速度v一定时，a与r成反比；对于公式a＝rω2，当角速度ω一定时，a与r成正比，所以并不矛盾．粗心：噢！原来如此．

互动训练

1．A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30r/min，B的转速为15r/min．则两球的向心加速度之比为(

)

A．1∶1 B．2∶1 C．4∶1 D．8∶1

解析

a＝ω2r故aA∶aB＝×2＝4∶1．

答案

C

2．地球在自转的过程中，站在赤道上的人A和站在北纬45°位置的人B，随地球一起转动，A和B随地球转动的角速度之比为________，A和B随地球转动的线速度之比为________，A、B的向心加速度之比为________．

解析

地球上各处静止的人(物)绕地轴的转动角速度相等，又A的绕行半径rA＝R,B的绕行半径rB＝R·sin45°＝R故有：ωA∶ωB＝1∶1

vA∶vB＝ωArA∶ωBrB＝∶1

aA∶aB＝ωrA∶ωrB＝∶1．

答案

1∶1∶1∶1

3．物体以30m/s的速率沿半径为60m的圆形轨道运动，当物体从A