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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,则()A. B.C. D.2.的展开式中的系数是-10,则实数()A.2 B.1 C.-1 D.-23.已知数列对任意的有成立,若,则等于()A. B. C. D.4.在区间上随机取一个实数,使直线与圆相交的概率为()A. B. C. D.5.函数在上为增函数,则的值可以是()A.0 B. C. D.6.双曲线x2a2A.y=±2x B.y=±3x7.若实数满足的约束条件,则的取值范围是()A. B. C. D.8.已知向量,则()A.∥ B.⊥ C.∥() D.⊥()9.设双曲线的一条渐近线为,且一个焦点与抛物线的焦点相同,则此双曲线的方程为()A. B. C. D.10.已知定义在上的函数满足,且当时,,则方程的最小实根的值为()A. B. C. D.11.已知平面,,直线满足,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分也不必要条件12.已知为锐角,且,则等于()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若点在直线上,则的值等于______________.14.已知多项式满足,则_________,__________.15.已知椭圆C:1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆的焦距为2c,过C外一点P(c,2c)作线段PF1,PF2分别交椭圆C于点A、B,若|PA|=|AF1|,则_____.16.已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上,则实数的值为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,其中.(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)设,求证:;(Ⅲ)若对于恒成立,求的最大值.18.(12分)已知分别是椭圆的左、右焦点,直线与交于两点,,且.(1)求的方程;(2)已知点是上的任意一点,不经过原点的直线与交于两点,直线的斜率都存在,且,求的值.19.(12分)已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:(是参数).(1)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数m值.(2)设为曲线上任意一点,求的取值范围.20.(12分)随着改革开放的不断深入,祖国不断富强,人民的生活水平逐步提高,为了进一步改善民生,2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策,其政策的主要内容包括:(1)个税起征点为5000元;(2)每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点专项附加扣除;(3)专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用等.其中前两项的扣除标准为:①赡养老人费用:每月扣除2000元②子女教育费用:每个子女每月扣除1000元.新个税政策的税率表部分内容如下:级数一级二级三级四级每月应纳税所得额(含税)不超过3000元的部分超过3000元至12000元的部分超过12000元至25000元的部分超过25000元至35000元的部分税率3102025(1)现有李某月收入29600元,膝下有一名子女,需要赡养老人,除此之外,无其它专项附加扣除.请问李某月应缴纳的个税金额为多少?(2)为研究月薪为20000元的群体的纳税情况,现收集了某城市500名的公司白领的相关资料,通过整理资料可知,有一个孩子的有400人,没有孩子的有100人,有一个孩子的人中有300人需要赡养老人,没有孩子的人中有50人需要赡养老人,并且他们均不符合其它专项附加扣除(受统计的500人中,任何两人均不在一个家庭).若他们的月收入均为20000元,依据样本估计总体的思想,试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额的分布列与期望.21.(12分)已知动圆Q经过定点,且与定直线相切(其中a为常数,且).记动圆圆心Q的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线?(2)设点P的坐标为,过点P作曲线C的切线,切点为A,若过点P的直线m与曲线C交于M,N两点,则是否存在直线m,使得?若存在,求出直线m斜率的取值范围;若不存在,请说明理由.22.(10分)已知函数().(1)讨论的单调性;(2)若对,恒成立,求的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
由题意和交集的运算直接求出.【详解】∵集合,∴.故选:C.【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时,常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.2、C【解析】
利用通项公式找到的系数,令其等于-10即可.【详解】二项式展开式的通项为,令,得,则,所以,解得.故选:C【点睛】本题考查求二项展开式中特定项的系数,考查学生的运算求解能力,是一道容易题.3、B【解析】
观察已知条件,对进行化简,运用累加法和裂项法求出结果.【详解】已知,则,所以有,,,,两边同时相加得,又因为,所以.故选:【点睛】本题考查了求数列某一项的值,运用了累加法和裂项法,遇到形如时就可以采用裂项法进行求和,需要掌握数列中的方法,并能熟练运用对应方法求解.4、D【解析】
利用直线与圆相交求出实数的取值范围,然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由于直线与圆相交,则,解得.因此,所求概率为.故选:D.【点睛】本题考查几何概型概率的计算,同时也考查了利用直线与圆相交求参数,考查计算能力,属于基础题.5、D【解析】
依次将选项中的代入,结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案.【详解】当时,在上不单调,故A不正确;当时,在上单调递减,故B不正确;当时,在上不单调,故C不正确;当时,在上单调递增,故D正确.故选:D【点睛】本题考查正弦、余弦函数的单调性,涉及到诱导公式的应用,是一道容易题.6、A【解析】分析:根据离心率得a,c关系,进而得a,b关系,再根据双曲线方程求渐近线方程,得结果.详解:∵e=因为渐近线方程为y=±bax点睛:已知双曲线方程x2a27、B【解析】
根据所给不等式组,画出不等式表示的可行域,将目标函数化为直线方程,平移后即可确定取值范围.【详解】实数满足的约束条件,画出可行域如下图所示:将线性目标函数化为,则将平移,平移后结合图像可知,当经过原点时截距最小,;当经过时,截距最大值,,所以线性目标函数的取值范围为,故选:B.【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数取值范围的求法,属于基础题.8、D【解析】
由题意利用两个向量坐标形式的运算法则,两个向量平行、垂直的性质,得出结论.【详解】∵向量(1,﹣2),(3,﹣1),∴和的坐标对应不成比例,故、不平行,故排除A;显然,•3+2≠0,故、不垂直,故排除B;∴(﹣2,﹣1),显然,和的坐标对应不成比例,故和不平行,故排除C;∴•()=﹣2+2=0,故⊥(),故D正确,故选:D.【点睛】本题主要考查两个向量坐标形式的运算,两个向量平行、垂直的性质,属于基础题.9、C【解析】
求得抛物线的焦点坐标,可得双曲线方程的渐近线方程为,由题意可得,又,即,解得,,即可得到所求双曲线的方程.【详解】解:抛物线的焦点为可得双曲线即为的渐近线方程为由题意可得,即又,即解得,.即双曲线的方程为.故选:C【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程,属于中档题.10、C【解析】
先确定解析式求出的函数值,然后判断出方程的最小实根的范围结合此时的,通过计算即可得到答案.【详解】当时,,所以,故当时,,所以,而,所以,又当时,的极大值为1,所以当时,的极大值为,设方程的最小实根为,,则,即,此时令,得,所以最小实根为411.故选:C.【点睛】本题考查函数与方程的根的最小值问题,涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识,本题有一定的难度及高度,是一道有较好区分度的压轴选这题.11、A【解析】
,是相交平面,直线平面,则“”“”,反之,直线满足,则或//或平面,即可判断出结论.【详解】解:已知直线平面,则“”“”,反之,直线满足,则或//或平面,“”是“”的充分不必要条件.故选:A.【点睛】本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力.12、C【解析】
由可得,再利用计算即可.【详解】因为,,所以,所以.故选:C.【点睛】本题考查二倍角公式的应用,考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据题意可得,再由,即可得到结论.【详解】由题意,得,又,解得,当时,则,此时;当时,则,此时,综上,.故答案为:.【点睛】本题考查诱导公式和同角的三角函数的关系,考查计算能力,属于基础题.14、【解析】∵多项式满足∴令,得,则∴∴该多项式的一次项系数为∴∴∴令,得故答案为5,7215、【解析】
根据条件可得判断OA∥PF2,且|PF2|=2|OA|,从而得到点A为椭圆上顶点,则有b=c,解出B的坐标即可得到比值.【详解】因为|PA|=|AF1|,所以点A是线段PF1的中点,又因为点O为线段F1F2的中点,所以OA∥PF2,且|PF2|=2|OA|,因为点P(c,2c),所以PF2⊥x轴,则|PF2|=2c,所以OA⊥x轴,则点A为椭圆上顶点,所以|OA|=b,则2b=2c,所以b=c,ac,设B(c,m)(m>0),则,解得mc,所以|BF2|c,则.故答案为:2.【点睛】本题考查椭圆的基本性质,考查直线位置关系的判断,方程思想,属于中档题.16、【解析】
求出双曲线的渐近线方程,右准线方程,得到交点坐标代入抛物线方程求解即可.【详解】解:双曲线的右准线,渐近线,双曲线的右准线与渐近线的交点,交点在抛物线上,可得:,解得.故答案为.【点睛】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用,是基本知识的考查,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)函数的单调增区间为,单调减区间为;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ).【解析】
(Ⅰ)利用二次求导可得,所以在上为增函数,进而可得函数的单调增区间为,单调减区间为;(Ⅱ)利用导数可得在区间上存在唯一零点,所以函数在递减,在,递增,则,进而可证;(Ⅲ)条件等价于对于恒成立,构造函数,利用导数可得的单调性,即可得到的最小值为,再次构造函数(a),,利用导数得其单调区间,进而求得最大值.【详解】(Ⅰ)当时,,则,所以,又因为,所以在上为增函数,因为,所以当时,,为增函数,当时,,为减函数,即函数的单调增区间为,单调减区间为;(Ⅱ),则令,则(1),,所以在区间上存在唯一零点,设零点为,则,且,当时,,当,,,所以函数在递减,在,递增,,由,得,所以,由于,,从而;(Ⅲ)因为对于恒成立,即对于恒成立,不妨令,因为,,所以的解为,则当时,,为增函数,当时,,为减函数,所以的最小值为,则,不妨令(a),,则(a),解得,所以当时,(a),(a)为增函数,当时,(a),(a)为减函数,所以(a)的最大值为,则的最大值为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值,以及函数不等式恒成立问题的解法,意在考查学生等价转化思想和数学运算能力,属于较难题.18、(1)(2)【解析】
(1)不妨设,,计算得到,根据面积得到,计算得到答案.(2)设,,,联立方程利用韦达定理得到,,代入化简计算得到答案.【详解】(1)由题意不妨设,,则,.∵,∴,∴.又,∴,∴,,故的方程为.(2)设,,,则.∵,∴,设直线的方程为,联立整理得.∵在上,∴,∴上式可化为.∴,,,∴,,∴.∴.【点睛】本题考查了椭圆方程,定值问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19、(1)或;(2).【解析】
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,在直角坐标条件下求出曲线的圆心坐标和半径,将直线的参数方程化为普通方程,由勾股定理列出等式可求的值;(2)将圆化为参数方程形式,代入由三角公式化简可求其取值范围.【详解】(1)曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为:直线的直角坐标方程为:圆心到直线l的距离(弦心距)圆心到直线的距离为:或(2)曲线的方程可化为,其参数方程为:为曲线上任意一点,的取值范围是20、(1)李某月应缴纳的个税金额为元,(2)分布列详见解析,期望为1150元【解析】
(1)分段计算个人所得税额;
(2)随机变量X的所有可能的取值为990,1190,1390,1590,分别求出各值对应的概率,列出分布列,求期望即可.【详解】解:(1)李某月应纳税所得额(含税)为:29600−5000−1000−2000=21600元
不超过3000的部分税额为3000×3%=90元
超过3000元至12000元的部分税额为9000×10%=900元,
超过12000元至25000元的部分税额为9600×20%=1920元
所以李某月应缴纳的个税金额为90+900+1920=2910元,
(2)有一个孩子需要赡养老人应纳税所得额(含税)为:20000−5000−1000−2000=12000元,
月应缴纳的个税金额为:90+900=990元
有一个孩子不需要赡养老人应纳税所得额(含税)为:20000−5000−1000=14000元,
月应缴纳的个税金额为:90+900+400=1390元;
没有孩子需要赡养老人应纳税所得额(含税)为:20000−5000−2000=13000元,
月应缴纳的个税金额为:90+900+200=1190元;
没有孩子不需要赡养老人应纳税所得额(含税)为:20000−5000=15000元,
月应缴纳的个税金额为:90+900+600=1590元;
.
所以随机变量X的分布列为:990119013901590.【点睛】本题考查了分段函数的应用与函数值计算,考查了随机变量的概率分布列与数学期望,属于中档题.21、(1),抛物线;(2)存在,.【解析】
(1)设,易得,化简即得;(2)利用
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