2022年广州天河区一一三中高三数学第一学期期末考试模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（）A． B． C． D．2．若，则函数在区间内单调递增的概率是（）A．B．C．D．3．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A． B． C． D．4．若函数有且仅有一个零点，则实数的值为（）A． B． C． D．5．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（）A． B． C． D．6．已知随机变量X的分布列如下表：X01Pabc其中a，b，.若X的方差对所有都成立，则（）A． B． C． D．7．已知等差数列中，则（）A．10 B．16 C．20 D．248．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（）A．小明 B．小红 C．小金 D．小金或小明9．已知是双曲线的左、右焦点，是的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的渐近线方程为（）A． B． C． D．10．已知椭圆+=1(a>b>0)与直线交于A，B两点，焦点F(0，-c)，其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．11．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．12．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数满足，则的最小值是______________.14．某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是__________元.15．边长为2的菱形中,与交于点O,E是线段的中点,的延长线与相交于点F,若,则______.16．某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数，，其中，为正实数.（1）若的图象总在函数的图象的下方，求实数的取值范围；（2）设，证明：对任意，都有.18．（12分）已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）求；（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.19．（12分）设函数f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立.20．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，，成等差数列，求的值；（2）是否存在满足为直角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知椭圆的右焦点为，离心率为.（1）若，求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于、两点，、分别为线段、的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.22．（10分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F，G分别是棱AA1，AC和A1C1的中点，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.（1）求异面直线AC与BE所成角的余弦值；（2）求二面角F-BC1-C的余弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

设，则MF的中点坐标为，代入双曲线的方程可得的关系，再转化成关于的齐次方程，求出的值，即可得答案.【详解】双曲线的右顶点为，右焦点为，M所在直线为，不妨设，∴MF的中点坐标为.代入方程可得，∴，∴，∴（负值舍去）.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造的齐次方程.2、B【解析】函数在区间内单调递增，，在恒成立，在恒成立，，函数在区间内单调递增的概率是，故选B.3、C【解析】

联立方程解得M(3，)，根据MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案.【详解】依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.由M在x轴的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形点M到直线NF的距离为故选：C.【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.4、D【解析】

推导出函数的图象关于直线对称，由题意得出，进而可求得实数的值，并对的值进行检验，即可得出结果.【详解】，则，，，所以，函数的图象关于直线对称.若函数的零点不为，则该函数的零点必成对出现，不合题意.所以，，即，解得或.①当时，令，得，作出函数与函数的图象如下图所示：此时，函数与函数的图象有三个交点，不合乎题意；②当时，，，当且仅当时，等号成立，则函数有且只有一个零点.综上所述，.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5、C【解析】

根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时的值，进而得判断框内容.【详解】根据循环程序框图可知，则，，，，，此时输出，因而不符合条件框的内容，但符合条件框内容，结合选项可知C为正确选项，故选：C.【点睛】本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题.6、D【解析】

根据X的分布列列式求出期望,方差,再利用将方差变形为,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为,进而得出结论.【详解】由X的分布列可得X的期望为,又,所以X的方差,因为,所以当且仅当时,取最大值,又对所有成立,所以,解得,故选:D.【点睛】本题综合考查了随机变量的期望､方差的求法,结合了概率､二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题.7、C【解析】

根据等差数列性质得到，再计算得到答案.【详解】已知等差数列中，故答案选C【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.8、B【解析】

将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证.【详解】依题意，三个人制作的所有情况如下所示：123456鸿福齐天小明小明小红小红小金小金国富民强小红小金小金小明小红小明兴国之路小金小红小明小金小明小红若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红，故选：B.【点睛】本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.9、D【解析】

根据为等腰三角形，可求出点P的坐标，又由的斜率为可得出关系，即可求出渐近线斜率得解.【详解】如图，因为为等腰三角形，，所以，,，又，，解得，所以双曲线的渐近线方程为，故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.10、A【解析】

联立直线与椭圆方程求出交点A，B两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式，解方程求解即可.【详解】联立方程，解方程可得或，不妨设A(0，a)，B(-b，0)，由题意可知，·=0，因为，，由平面向量垂直的坐标表示可得，，因为，所以a2-c2=ac，两边同时除以可得，，解得e=或（舍去），所以该椭圆的离心率为.故选：A【点睛】本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.11、C【解析】

求导，先求出在单增，在单减，且知设，则方程有4个不同的实数根等价于方程在上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得.【详解】依题意，，令，解得，，故当时，，当，，且，故方程在上有两个不同的实数根，故，解得.故选：C.【点睛】本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法：(1)构造法：构造函数(易求，可解)，转化为确定的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出的图象草图，数形结合求解；(2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.12、D【解析】

根据统计数据，求出频率，用以估计概率.【详解】.故选:D.【点睛】本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先画出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析解答得解.【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影区域所示.由题得y=-3x+z,它表示斜率为-3,纵截距为z的直线系，平移直线，易知当直线经过点时，直线的纵截距最小，目标函数取得最小值，且.故答案为：-8【点睛】本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析能力.14、1元【解析】设分别生产甲乙两种产品为桶，桶，利润为元

则根据题意可得目标函数，作出可行域，如图所示作直线然后把直线向可行域平移，

由图象知当直线经过时，目标函数的截距最大，此时最大，

由可得，即此时最大，

即该公司每天生产的甲4桶，乙4桶，可获得最大利润，最大利润为1．【点睛】本题考查用线性规划知识求利润的最大值，根据条件建立不等式关系，以及利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键．15、【解析】

取基向量，，然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将，表示为基向量后再相乘可得．【详解】如图：设，又，且存在实数使得，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．16、1【解析】

直接根据分层抽样的比例关系得到答案.【详解】分层抽样的抽取比例为，∴抽取学生的人数为6001．故答案为：1．【点睛】本题考查了分层抽样的计算，属于简单题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】

(1)据题意可得在区间上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求出满足不等式的的取值范围；(2)不等式整理为，由(1)可知当时，，利用导数判断函数的单调性从而证明在区间上成立，从而证明对任意，都有.【详解】（1）解：因为函数的图象恒在的图象的下方，所以在区间上恒成立.设，其中，所以，其中，.①当，即时，，所以函数在上单调递增，，故成立，满足题意.②当，即时，设，则图象的对称轴，，，所以在上存在唯一实根，设为，则，，，所以在上单调递减，此时，不合题意.综上可得，实数的取值范围是.（2）证明：由题意得，因为当时，，，所以.令，则，所以在上单调递增，，即，所以，从而.由（1）知当时，在上恒成立，整理得.令，则要证，只需证.因为，所以在上单调递增，所以，即在上恒成立.综上可得，对任意，都有成立.【点睛】本题考查导数在研究函数中的作用，利用导数判断函数单调性与求函数最值，利用导数证明不等式，属于难题.18、（1）；（2）；（3）存在，1.【解析】

（1）利用基本量法直接计算即可；（2）利用错位相减法计算；（3），令可得，，讨论即可.【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，因为，所以，即，解得，或（舍去）.所以.（2），，所以，所以.（3）由（1）可得，，所以.因为是数列或中的一项，所以，所以，因为，所以，又，则或.当时，有，即，令.则.当时，；当时，，即.由，知无整数解.当时,有，即存在使得是数列中的第2项，故存在正整数，使得是数列中的项.【点睛】本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前n项和，数列中的存在性问题，是一道较为综合的题.19、（Ⅰ）当时，<0，单调递减；当时，＞0，单调递增；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.【解析】试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（Ⅰ）问，对求导，再对a进行讨论，判断函数的单调性；第（Ⅱ）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论，第（Ⅲ）问，构造函数=（），利用导数判断函数的单调性，从而求解a的值.试题解析：（Ⅰ）<0，在内单调递减.由=0有.当时，<0，单调递减；当时，＞0，单调递增.（Ⅱ）令=，则=.当时，＞0，所以，从而=＞0.（Ⅲ）由（Ⅱ），当时，＞0.当，时，=.故当＞在区间内恒成立时，必有.当时，＞1.由（Ⅰ）有,而，所以此时＞在区间内不恒成立.当时，令=（）.当时，=.因此，在区间单调递增.又因为=0，所以当时，=＞0，即＞恒成立.综上，.【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明不等式，一般证明的最小值大于0，为此要研究函数的单调性．本题中注意由于函数的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到，有一定的难度．20、见解析【解析】

（1）因为，，成等差数列，所以，由余弦定理可得，因为，所以，即，所以．（2）若B为直角，则，，由及正弦定理可得，所以，即，上式两边同时平方，可得，所以（*）．又，所以