考研数学二模拟题2018年(57)-真题(含答案与解析)-交互

考研数学二模拟题2018年(57)150,90一、选择题f(x)二阶连续可导，g(x)连续，且，则f(x)二阶连续可导，g(x)连续，且，则 ．SSS_SINGLE_SELSSS_SINGLE_SELA f(0)为f(x)的极大B f(0)为f(x)的极小(0，f(0))y=f(想)的拐点f(0)f(x)的极值，(0，f(0))y=f(x)该问题分值:4f"(0)=0，由f"(0)=0，由g(0)=0，g"(0)=-2．由x＞0，则为 ．x＞0，则为 ．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINABCDD该问题分值:4[解析]由，[解析]由，则选C.则3."=cf"=cf"≠0，则．1 1SSS_SINGLE_SEL.a.b.ca+b+c该问题分值:4[解析]F(az-by，bx-cz，cy-ax)=0[解析]F(az-by，bx-cz，cy-ax)=0x，解得；F(ax-by，bx-cz，cy-ax)=0y，故B．4.设函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，其导函数的图形如下图所示，则f(x)有SSS_SINGLE_SEL一个极小值点和两个极大值点两个极小值点和一个极大值SSS_SINGLE_SEL一个极小值点和两个极大值点两个极小值点和一个极大值C 两个极小值点和两个极大值D 该问题分值:4答案:CzA，B，C，Af"(x)＜0．Af(x)BCf(x)Of"(x)＞0，f"(x)＜0，而f(xOOf(x)x=0f(x)是否可Dy=x，x=0，y=1Dy=x，x=0，y=1A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINABCDD该问题分值:4答案:B[解析]u=f(xz，yz，x)的所有二阶偏导数都连续，则[解析]u=f(xz，yz，x)的所有二阶偏导数都连续，则．****"11+yzf"22+z2f"12**"12+zf"32**"11+yzf"22SSS_SIMPLE_SINABSSS_SIMPLE_SINABCD该问题分值:4[解析][解析]C．7.设矩阵B的列向量线性无关，且BA=C，则 ．SSS_SINGLE_SELACABCACACDCA该问题分值:4答案:DBm×n，An×sCm×sBA=C，r(C)≤r(A)，r(C)≤r(B)．r(C)=s，r(A)≥s，r(A)≤s，r(A)=s，A不对；r(C)=s，r(A)=sAs，n≥s．n＞s，n=s，A，Br(A)=s，r(C)≤s，C不对；r(C)=s，r(A)=s8.设n阶方阵A的n个特征值全为0，则 ．SSS_SINGLE_SELSSS_SINGLE_SELA A=OB A只有一个线性无关的特征向C A不能与对角阵相似D A，A=O该问题分值:4答案:D，于是A=O，选D.[解析]若A的全部特征值皆为零且与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使得，于是A=O，选D.SSS_FILL二、填空题1.SSS_FILLe[解析]因为e[解析]因为，所以SSS_FILL2.SSS_FILL[解析]该问题分值:4[解析]f(x)为连续函数，且SSS_FILLf(x)为连续函数，且SSS_FILL．则[解析][解析]x再将y两式相加得4.摆线(a＞0，0≤t≤2π)绕摆线(a＞0，0≤t≤2π)绕x轴旋转一周所成曲面的表面积为 ．SSS_FILL[解析]对微分方程(a＞0，0≤t≤2π)的通解为微分方程(a＞0，0≤t≤2π)的通解为 ．SSS_FILL[解析]由得[解析]由得令，则arcsinu=lnx+C，原方程的通解为.6.设A为三阶矩阵，其特征值为λ1

=-2，λ

=λ=1，其对应的线性无关的2 3特征向量为α，α ，α，令1 2 3

，α-α，α1 2 3

+2α)，3则P-1(A*+3E)P为 ．SSS_FILLSSS_FILL该问题分值:4AAλ=-2，λ=λ=1，A*的特征值为μ=1，μ=μ1 2

=-2，A*+3E的特征值为4，1，1，又因为4α ，α-3 1 2α，α+2α 。也为A的线性无关的特征向量，所以4α，α -α3 2 3 1 2323，α323三、解答题y=y(x)(x＞0)y=y(x)(x＞0)2y"+y"-y=(4-6x)e-x的一个解，且．SSS_TEXT_QUSTISSS_TEXT_QUSTI1.求y(x)，并求y=y(x)到x轴的最大距离．该问题分值:512y"+y"-y=0，2y"+y"-y=(4-6x)e-x2λ2+λ-1=0，12y"+y"-y=0，0原方程的通解为由y(0)=0，y"(0)=0，C=C=0，故y=xe2-x．令2y"+y"-y=(4-6x)e0原方程的通解为由y(0)=0，y"(0)=0，C=C=0，故y=xe2-x．1 2y"=(2x-x2)e-x=0x=2，x∈(0，2)时，y"＞0；x＞2，y"＜0，x=2y(x)的最大点，maxSSS_TEXT_QUSTI故最大距离为d =y(2)=4e-2maxSSS_TEXT_QUSTI计算2.计算[解]设g(x)二阶可导，且[解]设g(x)二阶可导，且SSS_TEXT_QUSTI3.求常数a的值，使得f(x)在x=0处连续；该问题分值:5[解]当f(x)在x=0处连续时，g(0)=1，当f(x)在x=0处连续时，a=g"(0)．SSS_TEXT_QUSTISSS_TEXT_QUSTI4.求f"(x)，并讨论f"(x)在x=0处的连续性．x≠0x≠0x=0因为所以f"(x)在x=0处连续．5.讨论方程lnx=kx的根的个数．SSS_TEXT_QUSTISSS_TEXT_QUSTI该问题分值:10由因为，所以的最大值点，最大值为，当x=e；当由因为，所以的最大值点，最大值为，当x=e；当时，方程没有实根；当时，M＞0，由得方程有且仅有两个实根，分别位于之间．k＜0，f(x)在(0，+∞)内单调增加，由得方程有且仅有一个实根．6.f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，f(a)=f(b)=1．ξ，η∈(a，b)，abeη-ξ=η2[f(η)-f"(η)]．SSS_TEXT_QUSTISSS_TEXT_QUSTI[解]令φ(x)=e-x[解]令φ(x)=e-xf(x)，η∈(a，b)，使得整理得ξ∈(a，b)，使得7.

η-ξ

=η2

[f(η)-f"(η)]．f(x)(x≥0)f(0)=1．y=f(x)、xy点(x，0)xy=f(x)在[0，x]f(x)．SSS_TEXT_QUSTISSS_TEXT_QUSTI该问题分值:10的面积为的面积为y=f(x)在[0，x]上的一段弧长为，根据题意得或f (x)=1+f或f (x)=1+f2"2(x)，则，解得f(0)=1C=1，所以，解得计算，其中计算，其中D是由x +y=4与x +(y+1) =1围成的区域．2222SSS_TEXT_QUSTI该问题分值:11[解]由对称性得0则令D：x2+(y+1)20则f(t)在(0，+∞)内具有二阶连续导数，函数f(t)在(0，+∞)内具有二阶连续导数，函数满足，若f(1)=0，f"(1)=1，求f(x)．SSS_TEXT_QUSTISSS_TEXT_QUSTI该问题分值:11[解]于是[解]于是f"(1)=1C=1，于是f(x)=lnx+C，2设SSS_TEXT_QUSTIf(1)=02设SSS_TEXT_QUSTI

2=0，故f(x)=lnx.10.a，b，βα1该问题分值:5.5

，α2

线性表示；3(1(1a≠-6，a+2b-4≠0βα，α，α

1 2 3SSS_TEXT_QUSTISSS_TEXT_QUSTI11.a，b，βα1

，α2

线性表示，写出表达式．3该问题分值:5.5，β，βα，α，αβ=2α-α+0α3

1 2 3 1 2a=-6，b≠5a=-6，b≠5，βα，α，α唯一线性表示，表达123123a=-6，b=5，βα，α，α线性表示，表达式为

+1α

+2α

1 2 31 2 312123设ASSS_TEXT_QUSTI

+(k-1)α

+kα

，其中k为任意常数．12.求a，b的值及α