双曲线的几何性质教案

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双曲线的几何性质教案1

㈠课时目标

1．熟识双曲线的几何性质。

2．能理解离心率的大小对双曲线外形的影响。

3．能运用双曲线的几何性质或图形特征，确定焦点的位置，会求双曲线的标准方程。

㈡教学过程

[情景设置]

表达椭圆的几何性质，并填写下表：

方程

性质

图像〔略〕

范围-a≤*≤a，-b≤y≤b

对称性对称轴、对称中心

顶点〔±a,0〕、〔±b,0〕

离心率e=(几何意义)

[探究讨论]

1．类比椭圆的几何性质，探讨双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。

双曲线的实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。

双曲线与椭圆的几何性质对比如下：

方程

性质

图像〔略〕〔略〕

范围-a≤*≤a，-b≤y≤b*≥a,或*≤-a,y∈R

对称性对称轴、对称中心对称轴、对称中心

顶点〔±a,0〕、〔±b,0〕〔-a,0〕、〔a,0〕

离心率0＜e=＜1

e=＞1

下面继续讨论离心率的几何意义：

〔a、b、c、e关系：c2=a2+b2,e=＞1〕

2.渐近线的发觉与论证

依据椭圆的上述四性格质，能较为精确地把画出来吗？〔能〕

依据上述双曲线的四性格质，能较为精确地把画出来吗？〔不能〕

通过列表描点，能把双曲线的顶点及四周的点，比较精确地画出来，但双曲线向何处伸展就不很清晰。

我们能较为精确地画出曲线y=,这是为什么？〔由于当双曲线伸向远处时，它与*轴、y轴无限接近〕此时，*轴、y轴叫做曲线y=的渐近线。

问：双曲线有没有渐近线呢？假设有，又该是怎样的直线呢？

引导猜想：在讨论双曲线的范围时，由双曲线的'标准方程可解出：

y=±=±

当*无限增大时，就无限趋近于零，也就是说，这是双曲线y=±

与直线y=±无限接近。

这使我们猜想直线y=±为双曲线的渐近线。

直线y=±恰好是过实轴端点A1、A2，虚轴端点B1、B2，作平行于坐标轴的直线*=±a,y=±b所成的矩形的两条对角线，那么，如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时，与渐近线越来越接近呢？显着，只要考虑第一象限即可。

证法1：如图，设M〔*0,y0〕为第一象限内双曲线上的仍一点，那么

y0=，M〔*0,y0〕到渐近线ay-b*=0的距离为：

∣MQ∣==

=．

点M向远处运动，*0随着增大，∣MQ∣就渐渐减小，M点就无限接近于y=

故把y=±叫做双曲线的渐近线。

3．离心率的几何意义

∵e=，c＞a,∴e＞1由等式c2-a2=b2,可得===

e越小〔接近于1〕越接近于0，双曲线开口越小〔扁狭〕

e越大越大，双曲线开口越大〔开阔〕

4．巩固练习

求以下双曲线的渐近线方程，并画出双曲线。

①4*2-y2=4②4*2-y2=-4

已知双曲线的渐近线方程为*±2y=0，分别求出过以下各点的双曲线方程

①M〔4，〕②M〔4，〕

[知识应用与解题讨论]

例1求双曲线9y2-16*2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

例2双曲线型自然通风塔的形状，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转而成的曲面，如图；它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m,选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程〔精确到1m〕

㈣提炼总结

1.双曲线的几何性质及a、b、c、e的关系。

2.渐近线是双曲线特有的性质，其发觉证明蕴含了重要的数学思想与数学方法。

3.双曲线的几何性质与椭圆的几何性质类似点和不同点。

双曲线的几何性质教案2

双曲线的几何性质〔第1课时〕

㈠课时目标

1．熟识双曲线的几何性质。

2．能理解离心率的大小对双曲线外形的影响。

3．能运用双曲线的几何性质或图形特征，确定焦点的位置，会求双曲线的标准方程。

㈡教学过程[情景设置]

表达椭圆的几何性质，并填写下表：方程性质

图像〔略〕范围-a≤*≤a，-b≤y≤b对称性对称轴、对称中心顶点〔±a,0〕、〔±b,0〕离心率e=(几何意义)

[探究讨论]1．类比椭圆的几何性质，探讨双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。双曲线的实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。双曲线与椭圆的几何性质对比如下：方程性质

图像〔略〕〔略〕范围-a≤*≤a，-b≤y≤b*≥a,或*≤-a,y∈R对称性对称轴、对称中心对称轴、对称中心顶点〔±a,0〕、〔±b,0〕〔-a,0〕、〔a,0〕离心率0＜e=＜1e=＞1

下面继续讨论离心率的几何意义：〔a、b、c、e关系：c2=a2+b2,e=＞1〕

2.渐近线的发觉与论证依据椭圆的上述四性格质，能较为精确地把画出来吗？〔能〕依据上述双曲线的四性格质，能较为精确地把画出来吗？〔不能〕通过列表描点，能把双曲线的顶点及四周的点，比较精确地画出来，但双曲线向何处伸展就不很清晰。我们能较为精确地画出曲线y=,这是为什么？〔由于当双曲线伸向远处时，它与*轴、y轴无限接近〕此时，*轴、y轴叫做曲线y=的渐近线。问：双曲线有没有渐近线呢？假设有，又该是怎样的直线呢？引导猜想：在讨论双曲线的范围时，由双曲线的标准方程可解出：y=±=±当*无限增大时，就无限趋近于零，也就是说，这是双曲线y=±与直线y=±无限接近。这使我们猜想直线y=±为双曲线的渐近线。直线y=±恰好是过实轴端点A1、A2，虚轴端点B1、B2，作平行于坐标轴的直线*=±a,y=±b所成的矩形的两条对角线，那么，如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时，与渐近线越来越接近呢？显着，只要考虑第一象限即可。证法1：如图，设M〔*0,y0〕为第一象限内双曲线上的仍一点，那么y0=，M〔*0,y0〕到渐近线ay-b*=0的距离为：∣MQ∣===．点M向远处运动，*0随着增大，∣MQ∣就渐渐减小，M点就无限接近于y=故把y=±叫做双曲线的渐近线。

3．离心率的几何意义∵e=，c＞a,∴e＞1由等式c2-a2=b2,可得===e越小〔接近于1〕越接近于0，双曲线开口越小〔扁狭〕e越大越大，双曲线开口越大〔开阔〕

4．巩固练习求以下双曲线的渐近线方程，并画出双曲线。①4*2-y2=4②4*2-y2=-4已知双曲线的渐近线方程为*±2y=0，分别求出过以下各点的双曲线方程①M〔4，〕②M〔4，〕[知识应用与解题讨论]例1求双曲线9y2-16*2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。例2双曲线型自然通风塔的形状，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转而成的曲面，如图；它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m,选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程〔精确到1m〕

㈣提炼总结

1.双曲线的几何性质及a、b、c、e的关系。

2.渐近线是双曲线特有的性质，其发觉证明蕴含了重要的数学思想与数学方法。

3.双曲线的几何性质与椭圆的几何性质类似点和不同点。

双曲线的几何性质教案3

一、课前预习目标

理解并掌控双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能详细估量双曲线的外形特征。

二、预习内容

1、双曲线的几何性质及初步运用。

类比椭圆的几何性质。

2。双曲线的渐近线方程的导出和论证。

观测以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线。

三、提出迷惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些迷惑，请把它填在下面的表格中

课内探究

1、椭圆与双曲线的几何性质异同点分析

2、描述双曲线的渐进线的作用及特征

3、描述双曲线的离心率的作用及特征

4、例、练习尝试训练：

例1。求双曲线9y2—16*2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

解：

解：

5、双曲线的第二定义

1〕、定义〔由同学归纳给出〕

2〕、说明

〔七〕小结〔由同学课后完成〕

将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结。