一文搞定函数概念性质基初函数等涉及的58种考查视角详解

专题ー函数的概念及其表示题型一求函数的定义域及已知函数的定义域求参数.求具体函数y=/(x)的定义域.求抽象函数的定义域一般有两种情况:①已知y=/(x)的定义域是ス,求ツ=/(g(x))的定义域,可由g(x)eス求出x的范围,即为ケ=/(g(x))的定义域;②已知ッ=/(g(x))的定义域是ス,求ツ=/(x)的定义域，可由xGス求出g(x)的范围,即为ッ=/(x)的定义域..几种常见函数的定义域为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合.(2)/(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合.(3)/(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若兀0=ズ，则定义域为{xは0}.(5)指数函数的底数大于〇且不等于!.(6)正切函数y=tanエ的定义域为<xX丰kjtキラ,keZ>.【例1】已知函数/(x)的定义域是[-1,1],则函数g(x)《(笔;;-的定义域是( )A.[0,1] B.(0,1) C.[0,1) D.(0,1]【解析】由函数/(め的定义域为[-1,1],得一1g1,令一!<2x—1<1»解得〇。S1,又由1—x>0且1—は1,解得且存〇,所以函数g(x)的定义域为(0,1),故选B.

[例2]函数(スキ])一一的定义域为( )A.(-1,3]B.(-1,0)U(0,3]C.[-1,3]D.[-1,0)U(0,3]-x2+2x+3>0,【解析】要使函数有意义,x需满足<x+l>0, 解得一l〃vO或0y3,、x+1円，所以函数的定义域为(-1,0)U(0,3],故选B.[例3]若函数ノ(ス)=マスア+加¥+1的定义域为实数集,则实数m的取值范围是.【解析】函数定义域为R=，nx2+〃7x+】N0对R恒成立,当掰=0时,/(x)=l,满足条件;[w>0,当m/0时,有イッ=>0</n<4.4/n<0综合可知,所求〃?的取值范围为[0,4].TOC\o"1-5"\h\z【例4】若函数ツ=フザ」』的定义域为R,则实数a的取值范围是( )l.(o,IB.(0,りC.0,ID,〇,a>0, 1【解析】由加-4ax+2>0恒成立,得a=0或， 解得〇よ<5A-(—4a)2—4x〇x2<〇, 2题型二求函数的解析式求函数解析式的4种方法(1)配凑法:由已知条件y(如x))=a(x),可将尸(X)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代式わ，得ズ力的表达式.(2)换元法:已知复合函数ノ(g(x))的解析式，可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(4)解方程组法：已知关于/(x)与.(4)解方程组法：已知关于/(x)与.或./(一x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出ズX).【例1】已知二次函数ノ(2x+l)=4f—6x+5,求貝x)；【解法一】待定系数法因为/(X)是二次函数,所以设ズ幻=混+加+以4和)，则_/(2x+l)=a(2x+l)2+6(2x+l)+c=4ox2+(4a+2/>)x+a+ft+c.{4a=4, fa=l,4a+26=-6,解得，6=—5,所以./(x)=アー5x+9(xWR).a+b+c=5, 1c=9,【解法二】换元法l—1令2x+1 R),则x—ーろ~,m2 ._|-6--+5=?-5/+9(/GR),所以/(x)=デー5x+9(xeR).【解法三】配凑法因为ズ2x+l)=4/—6x+5=(2x+1)2—10x+4=(2x+1)2-5(2x+1)+9,所以/(x)=アー5x+9(xGR).【例2】已知函数人ぜ+l)=x+2S，则,/(x)的解析式为【解法一】换元法设t=yfx~\~1I则x=(t—1)~,仑1,代入原式有人。=(l1)2+2(ll)=t2-2t+1+2t-2=i2~l.故/(イ)=ぐー1,x>l.【解法二】配凑法因为x+2也=(也)ユ+2帀+1—1=(y[x+\)2—1,所以.た8+1)=(・也+1)2—1,y[x+1>1,即ル0=/—1,x>l.题型三分段函数求值问题根据分段函数的解析式,求函数值的解题思路,先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值,当出现人A。))的形式时,应从内到外依次求值.

【例1【例1】已知函数yU)="10g2X>%>0,3r+l»烂〇,9 厂10A.jg B.1 C. D.2【解析】由题意可得ズ=bg2/=~2,所以/(/(；)=/(-2)=3【解析】由题意可得ズ>'c'则ズ2)=2.x<2,【解析】•/(2)=火4-2)=6-4=2.—23(,【例3】(2020•南昌一模)设函数ル)=,,"一,ハ、 则ズ5)的值为( )\j\X3)r(x>0),A.-7 B.-1 C.0 D.彳【解析】./(5)=火5—3)=ス2)=/(2—3)=/(—1)=(-1)2—2コ=ラ.故选D.题型四已知分段函数的函数值,求参数的值先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,构造关于参数的方程.然后求出相应自变量的值,切记要代入检验.【例1】设函数/(x)=：';[若人m)=3,则实数机的值为[log2X,(0<r<2),【解析】当加さ2时，由川2—1=3,得加2=4,解得加=2；当〇<加<2时，由logZ加=3,解得加=23=8(舍去).综上所述，加=2.(1~"2a)x+3a,xVl,【例2】己知函数ル0=川ラ 的值域为R,则实数a的取值范围是2*,x>l(1—2a)x+3a,x<l,【解析】当xNl时,/(x)=21“因为函数/(x)=し1, 的值域为R,所以当x〈l时,(1-2,x>!11—2a>0, 12a)-x+3a必须取遍(-8, 1)内的所有实数，则 解得〇スラ.[1—la-r5d>\, 厶题型五与分段函数有关的方程、不等式问题分段函数的函数值满足的不等式,求自变量取值范围的解题思路,依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果并起来.‘ "‘若实数。满足ズ。）=ズ。-1）,则/一=（ ）2x,x>0. ya）A.2 B.4 C.6 D.8【解析】由题意得a>0.当Ovqvl时,由/（a）=y（a—1）,即2。=¢,解得。=；,则イ丄[=ズ4）=8,当时,由ス。）=/（。-1）,得2。=2（。-1）,不成立.故选D.Iog2（x+1）,x>l,

【例2】（2020•皖南ハ校联考）已知函数加）= 则满足/（2x+l）勺（3スー2）的实数x的取值x<\,范围是（ ）A.（-00,0] B.（3,+oo） C.[1,3） D.（0,1）10g2G+1）,X>1,【解法一】由ル）=イ 可得当XV1时,た）=1,1,X<1当后1时,函数た）在口,+8）上单调递增,且ノ（l）=log22=l,2r+l<3x—2,要使得ズ2x+l）勺（3スー2）,则レ"解得Q3,即不等式/（2x+l）勺（3スー2）的解集为（3,+〇〇）,3x—2>1,故选B.【解法二】当定1时,函数/（X）在口,+8）上单调递增,且ル月（1）=1,2x+1>1, [2x+l<l,要使大2x+l）伙3x—2）成立，需 _或_解得x>3故选B.巩固提升.（2020•洛阳一中月考）函数;（x）='j^+ス的定义域为（ ）D.[0,+oo)A.1—94・〇〇^ B.—,〇）U（0,4-oo）C. —,+8D.[0,+oo)【解析】由题意得レ+即,解得一尹。或x>。•,选5

2.下列所给图象是函数图象的个数为( )【解析】①中当Q0时,每2.下列所给图象是函数图象的个数为( )【解析】①中当Q0时,每ー个x的值对应两个不同的ッ值,因此不是函数图象;②中当x=xo时,y的值有两个,因此不是函数图象;③④中每ー个X的值对应唯一的ツ值,因此是函数图象,故选B.3x+2'x>0,3.已知函数./(x)=v4,x=0,则加0))=<2x+1,x<0,【解析】7(0)=4,火4)=在5=不,欢0))=不.(2020・吉安模拟)已知/1/X-l]=2x-5,且/(a)=6,则a等于1 7【解析】令1=ジー1,则x=2f+2,ス。=2(2f+2)—5=4f—1,则4。一1=6,解得〃=不fsi^TDT2),—l<X<0,.函数｛0=へ 满足ル1)十ん。=2,则。的所有可能取值为( )e\x>oA.!或一当" B.一哼" C.1 D.1或ぎ【解析】因为ズ1)=ゼ1=1且/(1)+危)=2,所以/(a)=l,兀y12当一lva〈0时,/(a)=sin(js2)=l,因为〇マ2<1,所以〇<九々2V兀,所以兀メ=]=〃=—ラ・当aK)时,J(a)=ea,=l=>a=l.

TOC\o"1-5"\h\z6.（2020・惠州一调）下列函数中,同一个函数的定义域与值域相同的是（ ）/ 7 ー・ … 1 ース+1A.y="\lx-1 B.y=lnxC.t D.y=rv 3—1 x—1【解析】对于A,定义域为[1,+oo）,值域为[0,+oo）,不满足题意;对于B,定义域为（0,+oo）,值域为R,不满足题意:对于C,定义域为（-8,0）U（0,+oo）,值域为（一8,-1）U（O,+oo）,不满足题意;x+1 2对于D,y=二?[=1+不定义域为（一8,1）U（1,+oo）»值域也是（一8,1）U（1,+oo）.f（2x+l）.已知函数y=/（2x—l）的定义域是[0,1],则函数・.4工]ズ的定义域是（ ）A.[1,2]B.（-1,1] C[_~2f0 D.（一1,0）【解析】由/（2x-l）的定义域是[0,1],得〇姿1,故一号2x-lWl,所以函数府）的定义域是[-1,1],f-l<2x+l<l,所以要使函数;'（ラ有意义,需满足h+1>0,解得一1マ<0,选DlOg2（X十1）&+1ナ1,TOC\o"1-5"\h\z.设函数兀0满足ア（上上）=l+x,则貝x）的表达式为（ ）A，1+x B-'1+x2 C・l+x2 D-'l+x1-X1+x=l+x,得7(り1-X1+x=l+x,得7(り=1+己エ=]!ス，即/(x)=j7q.故选A.【解析】令不=f，则ス=币,代入f.设函数fRtR满足ノ(0)=1,且对任意x,yGR都有スザ+l)=/(xy(ッ)一心)一x+2,则负2019)=( )A.0 B.1 C.2019 D.2020【解析】令x=y=O,则川)={0求0)一/(0)—0+2=1x17—0+2=2,令ッ=0,则/(l)=/(x)/(O)—/(0)—x+2,将ズ0)=1,ズ1)=2代入,可得た)=1+あ所以/(2019)=2020,选D")=inx,xX),")=inx,xX),则(XrX>0»x2,x<0,.设スめ,即)都是定义在实数集上的函数,定义函数«g)(x)：VxWR，(/'•g)(x)=/(g(x)).若Z(め=D.(gg)(x)=g(x)a.(/7)(x)=y(x) B.(fg)(x)=f(x} C.(g[f)(x)=g(x)D.(gg)(x)=g(x)[f(x)，f(x)>0,【解析】对于A, ‘ヽ"、"\j(x),j(x)WO,当x>o时,y(x)=x>o,(/y)(x)=y(x)=x；当x〈0时,/^)=ゼ>0,(/;/)(x)=y(x)=x2；当x=0时,(/：/)(x)=f2(x)=0=02,因此对任意的x£R,有(Z7)(x)=/(x),故A正确11.(2020•河南郑州二检)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数’'为设xWR,用[x]表示不超过x的最大整数,则ぎ=[处称为高斯函数,例如:[-2.1]=2x+3TOC\o"1-5"\h\z-3,[3.1]=3,已知函数/(x)=ズ百,则函数ダ=[/(x)]的值域为( )A.{0,1,2,3}B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{1,2}•行山.2ゝ+32、+1+2 , 2[解析]ズめ=2丫+]=2*+1-=1+2，+]'1 2 2因为2り。,所以1+2ゝ>1,所以00T工7<1,贝リ0<^77<2,所以1<1+工7<3,BPl</(x)<3,当1勺(x)<2时,汎切=1,当2g(x)<3时,[Ax)]=2.综上,函数y=伏x)]的值域为{1,2},故选D..已知函数.イユ+1)=lgx,【解析】令う+1=3得x=，Y,则加)=3二Y,又x>0,所以セl,故y(x)的解析式是y(x)=lg二.若二次函数g(x)满足g(l)=l,風ー1)=5,且图象过原点,则g(x)=【解析】设孤)=加+瓜+。(存〇),a+b+c=1*因为g(D=l，g(T)=5,且图象过原点，所以価一b+c=5,解得くb=—2,所以g(x)=3f—2x.、c=0,、c=0,、c=0,.具有性质/(丄)=ー危)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,给出下列函数:①/a)=x-3②危)%,0<x<l,TOC\o"1-5"\h\z=x+ン艱)=40'X=1’ 其中满足"倒负”变换的函数是( )X 1A.①③ B.②③C.①@③ D.①②【解析】对于①，,(丄)=ラーx=ー危),满足题意;对于②,イ丄［=チ+工=於),不满足题意;nX90+1,nX90+1,综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.故选A..若函数ツ=»%:+3的定义域为R,则实数a的取值范围是.【解析】因为函数ア=涼+27的定义域为R,所以加+2纱+3=0无实数解,即函数u—ax2+2ax+3的图象与x轴无交点.当a=0时，函数"=3的图象与x轴无交点;当a和时，则イ=(2q)2—4-3aV0,解得0<a<3.综上所述,a的取值范围是［0,3).(2ゝx>0f.已知函数/(x)=: ‘ 若人の十/(1)=0,则实数a的值等于［x+1,x<0,【解析】因为ス1)=2,且/(l)+/(a)=0,所以/(の=一2<0,故a《).依题知。+1=—2,解得。=一3.

[(1—2a)x+3a,x<L.已知函数/(x)=七 I 的值域为R,则实数〃的取值范围是,[\nx9x>\【解析】由题意知y=ln即之1)的值域为[〇,+〇〇),故要使ノ(x)的值域为R,则必有ダ=(l—2aM+3〃为增函数,且1-2〃+3aK),所以1—2a>0,且aN—1,解得一l<a<^.18.设函数ノ18.设函数ノ(め=Inx,x>l,1-X,川,则加0))=,若ス⑼>1,则实数机的取值范围是【解析】/【解析】/(/(O))=/(l)=ln1=0;如图所示,可得/(x)=Inx,x>l,1—x,x<l可得/(x)=Inx,x>l,1—x,x<l的图象与直线y=l的交点分别为(0,1),(e,1).若负⑼>1,则实数机的取值范围是(ー〇〇,O)U(e,+oo).2x+a,x<1,.已知实数4邦,函数ズx)= 若/(1一〃)=/(l+a),则a的值为「X—2a,x>l.【解析】当a>0时,1-aVl,l+a>l,这时y0ー〃)=2(1—a)+〃=2—a,人1+〃)=一(1+〃)-2〃=一1一3〃.一3由/(1ー〃)=41+〃)得2ー〃=—1—3〃，解得〃=—3<0,不合题意，舍去;当〃V0时,1ー〃>1,1+〃V1,这时ズ1ー〃)=—(1—a)—2〃=—1ー〃,火1+〃)=2(1+〃)+〃=2+3〃，由ス1ー〃)=7(1+〃),得-1ー〃=2+3〃,解得〃=ー不综上可知,〃的值为ー不

20.设函数ズx)=x+1»20.设函数ズx)=则满足〃)十/X——＞1的X的取值范围是 2,x＞。, I2/【解析】当ス＞0时,た)=2＞恒成立,当x—3＞0,即x＞ラ时，/卜ーり=2x—ラ＞1,当ス一芸),即Ov烂ラ时,ノ(x-丄1=x+，＞3，则不等式/-恒成立.当烂〇时,/(x)+/^x-^=x+1+x+|=2r+|＞l,所以一・它〇.综上所述,X的取值范围是(一;,+8).\x—1,x>0,.已知スx)=/_l,g(x)=厶X,XU.(1)求./(g(2))与g(A2));(2)求急(x))与g(/(x))的表达式•【解析】(1)由已知条件可得風2)=1,ズ2)=3,因此刎2))=貝1)=0,颁2))=風3)=2.(2)当ス＞0时,g(x)=x—1,故施(ズ))=(%—I)?—1=f—2x;当x〈0时,g(x)=2—Xf故た(め)=(2ースアー1=*-4x+3.所以/(g(x))=, ： '当x>l或x<-l时,/(x)>0,故g(/(x))=/(x)—l=f-2；lx2—4x+3,x<0.f—2,x]^J^x ,当ー1<x<1时，ルx)<0,故g(/(x))=2-貝x)=3-x2.所以g(/(x))=[ ,[3—xS—l<x<l..已知函数y(ズ)=メ+№ヨ+"(〃1,〃GR),负0)=/(1),且方程x=/(x)有两个相等的实数根.(1)求函数y(x)的解析式;(2)当xG[0,3]时，求函数兀0的值域.【解析】(1)因为ルx)=f+加r+",且,/(0)=贝1),所以"=1+m+〃,w=—1,J(x)=x1—x+n.因为方程x=/(x)有两个相等的实数根,所以方程x=f—x+〃有两个相等的实数根,即方程ア-2x+〃=0有两个相等的实数根,所以/=(-2)2—4〃=0,所以"=1,所以/(x)=/—x+1.(2)由(1)知;(x)=f—x+1.此函数的图象是开口向上,对称轴为x=;的抛物线,所以当X2+1=所以当X2+1=4t人°)=しス3)=32—3+1=7,3所以当xe[0,3]时，函数危)的值域是-,7

4专题二函数的单调性与最值题型ー确定函数的单调性.确定函数单调性（区间）的三种常用方法（1）定义法:一般步骤:①任取XI，X2G。,且X［<V2：②作差スX|）-/（X2）；③变形（通常是因式分解和配方）：④定号（即判断大XI）ール⑴的正负）；⑤下结论（即指出函数./（X）在给定的区间D上的单调性）..（2）图象法：如果ノ（X）是以图象形式给出的,或者/（X）的图象易作出,则可由图象的直观性确定它的单调性.（3）导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调性..熟记函数单调性的常用结论⑴对勾函数尸x+?a>0）的增区间为（ー〇〇,一3］和［W，+oo）,减区间为〔一如,〇）和（0,y/a］.（2）在区间ハ上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.（3）函数./（以外）的单调性与函数ッ=/（〃），"=g（x）的单调性的关系是“同增异减”.（4）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.（5）开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值.【例1】（2020•华南师范大学附属中学月考）函数ス劝=3メ一入ー8）的单调递增区间是（ ）A.（ー〇〇»一2） B.（ー〇〇,1）C.（1,+oo） D.（4,+oo）【解析】由アー入一8>0,得x>4或x<-2.设t=メー2x-8,则y=lnf为增函数.要求函数/（x）的单调递增区间，即求函数ーなー8在定义域内的单调递增区间.•.•函数»=f—2x—8在（-8,—2）上单调递减,在（4,+oo）上单调递增，...函数./（x）的单调递增区间为（4,+8）.【例2】函数ツ=，？+x—6的单调递增区间为,单调递减区间为【解析】令"=メ+スー6,则ヅ=イデ+ス-6可以看作是由y=g与u=x2+x-6复合而成的函数.令"=ド+スー6加，得小ー3或xN2.易知"=/+x-6在（-8,—3］上是减函数,在［2,+8）上是增函数，而y=g在［0,+8）上是增函数，所以ッ=d7+x—6的单调递减区间为（-8,—3］,单调递增区间为［2,4-00）.

【例3】判断并证明函数作）=当•（存0）在（一1,1）上的单调性.【解法一】设ーl<X］Vx2V1,x—1y（x）=a（1厂イx—1由于一1<X1<X2<1>所以な一Xl>0,X|—1<0,X2—1<0,故当a>o时,y（xi）-y（x2）>o,即y（X1）>>/（X2），函数/（X）在（-1,1）上单调递减;当。<0时,./（Xl）-/（X2）<0,即Z（X|）<7（X2）,函数/（X）在（一1,1）上单调递增..u1,一a（x-1）—ax —a【解法一］ハx）=-（》_［）2 =（Ll）が所以当a>0时，/（x）<0,当a<0时，/（x）>0,即当a>0时,；（x）在（一1,1）上为单调递减函数,当。<0时，貝x）在（-1,1）上为单调递增函数.题型二求函数的最值（值域）求函数的最值（值域）的常用方法（1）单调性法:若所给函数为单调函数,可根据函数的单调性求最值.（2）换元法:求形如ヅ=イの+b+（cx+J）（a今〇）的函数的值域或最值,常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解.（3）数形结合法:若函数解析式的几何意义较明显（如距离、斜率等）或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值（4）有界性法:利用代数式的有界性（如メ沙，^>0,2ッ0,一1ふバ1等）确定函数的值域.（5）分离常数法：形如求ヅ=J^もaは0）的函数的值域或最值常用分离常数法求解。2デー2020【例1】函数y(x)=デキ「-的值域为【解法一】【解法一】危)=デ十］2(デ+1)—2022 2022デ+1 2デ+1'因为デ＞。,所以"+1＞1,所以。く器<2022,因为デ＞。,所以"+1＞1,所以。く器<2022,所以ー202。。ール<2,故函数ノ(x)的值域为(一2020,2).【解法二】令尸・危)=デ+］，得ダガ+ッ=2デー2020,s, ッ+2020所以什一2)デ=一＞＞一2020,デ=一厶,二2一,^y+2020ロ由テ＞0得2一一—＜0,故ー2020＜ツ＜2,所以函数/(x)=び1］的值域为(一2020,2).{a,a<b,设函数/(x)=—x+3,g(X)=log2X»则函数Z?(x)=b,b.min{/(x),g(x)}的最大值是.【解法一】在同一直角坐标系中,作出函数/(外,誑)的图象,依题意,人(め的图象如图所示.ココ易知点ス(2,1)为图象的最高点,因此ル(%)的最大值为A(2)=l.【解法二】依题意,〃(工)=【解法二】依题意,〃(工)=10g2X，0<x<2,-x+3,x>2.当0V烂2时,〃(め=logび是增函数,当ス＞2时,〃(上)=3ース是减函数,所以〃(x)在x=2处取得最大值〃(2)=L题型三函数单调性的应用考查视角一比较大小比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.【例1】已知定义在R上的函数T(X)满足ノ(一x)=/(x),且函数/(x)在(一8,0)上是减函数,若a=/(-l),b=/(log2：)，c=^20'5)»则a,b,c的大小关系为( )A.c<h<a B.a<c<bC.b<c<a D.a<b<c【解析】•.•函数/a)满足T(一x)=/a),.*.e=7(203)=/(-203).Vl<2°-3<2,20-3>-2,即ー1>一20-3>log21.•.•函数ル）在（一8,0）上是减函数,.•ノ（-1）<人-2°3）<〃jlog2；）,即a<c<b.考查视角二解函数不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将プ‘符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.【例2】已知函数;(x)=,ニニ:、へ若/(2—%2)如)，则实数x的取值范围是( )lln(x+1),x>0,A.(-co,-1)U(2,+oo)B.(-co,-2)U(1,+oo)C.(-1,2) D.(-2,1)【解析】因为当x=0时,两个表达式对应的函数值都为零,所以函数ル)的图象是一条连续的曲线.因为当烂〇时,函数/(ス)=ギ为增函数,当x>0时,/(x)=ln(x+l)也是增函数,所以函数儿:)是定义在R上的增函数.因此,不等式ス2—メ)处)等价于即ア+x—2<0,解得一2<r〈l.考查视角三根据函数的单调性求参数视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.【例3】(2020•南京调研)已知函数スx)=x-f+?在(1,+oo)上是增函数，则实数a的取值范围是【解法一】设1<T］VX2，所以あス2>1.因为函数/(X)在(1,+8)上是增函数,ヽa2.<0所以ホ)一Z(X2)=XlM+AX2ヽa2.<0因为XI—X2<0,所以1+亠>〇,即a>-xiX2.X\X2因为1V%］マ:2，X\X2>\»所以一ス1X2<—1，所以介一L所以。的取值范围是［-1,+oo).【解法二】由スx)=x—£+耨ア(x)=l+5,由题意得1+3と0(工>1),可得。之一X2,当ス£(1,+8)时,一fv—1.所以。的取值范围是［一1,+〇〇).巩固提升1.(2020・河南鹤壁月考)若函数尸ax与尸一や在(0,+oo)上都是减函数,则尸い+辰在(0,+8)上是( )A.增函数 B.减函数C.先增后减 D,先减后增【解析】:y=ax与ッ=—§在(0,+oo)上都是减函数，a<0,b<0,.•.y=ar2+bx的对称轴方程x=一&<0,.'.ッ=加+加在(0,+8)上为减函数.6.函数/(x)=2|x—a|+3在区间リ,+8)上不单调，则。的取值范围是( )A.［1,+oo) B.(1,4-oo)C.(ー〇〇»1) D.(—〇〇,1］【解析】函数,/(x)=2|xー。|+3的增区间为［。,+oo)»减区间为(一8,。ト若函数ノ(%)=2トー。|+3在区间口,十8)上不单调,则。>13.已知函数ル）的图象关于直线ス=l对称,当メ2>即>1时,［/（た）一/（め）］（42—xi）v。恒成立,设b=火2）,c=*e）,则小b,c的大小关系为（ ）A.c>a>h B.c>b>aC.a>c>b D.b>a>c【解析】因为大幻的图象关于直线x=l对称.所以ノ［・I）=/（万）.当ス2>即>1时，—J［X\）］-（X2—X|）<0恒成立，知危）在（1,+8）上单调递减.因为lv2v/ve,所以/（2）》（ヨ｝>/（e）,所以b>a>c.4.（2020・武汉模拟）若函数兀0=2なー3+3在区间［1,+ロ）上不单调，则。的取值范围是（ ）A.［1,+oo） B.（1,4-oo）C.（-00,1） D.（-〇〇,1］2r—2。+3,x>a【解析】函数人幻=2ヌ一々|+3= ,—Zr十2。十3,xV。因为函数/（x）=2|x—a|+3在区间［1,+oo）上不单调,所以。>1.所以a的取值范围是（1,+〇〇）.故选B.5.定义在［-2,2］上的函数./（幻满足但ーM）U（即）一Z（ス2）］>0,修行2,且/（メーの>/（24-2）,则实数〃的取值范围为（ ）A.［-1,2） B.［0,2）C.［0,1） D.［-1,1）【解析】因为函数/（X）满足（XIース2）［/（乃）-Z（》2）］>0,修カ⑵所以函数ル）在［-2,2］上单调递增,所以一2<2a—2<a2—a<2t解得0&/V1,故选C..若2*+5,2>+5-*,则有（B.x+j<0A.x+yNOB.x+j<0C.x一底〇D.C.x一底〇【解析】原不等式可化为2X—5上2つー5。记函数40=2*—5ー'则原不等式可化为ズめヨーツ).又函数兀0在R上单调递增,所以让ーア,即x+底〇..设函数ズx)在R上为增函数，则下列结论ー定正确的是( )A.ソ=六在Rヒ为减函数.y=|/(x)|在R上为增函数C,ッ=2ー外)在R上为减函数D.y=—[/(x)]3在R上为增函数【解析】A错误,比如y(x)=x在R上为增函数，但ヅ=六=と在R上不具有单调性;J\x)xB错误，比如/(x)=x在R上为增函数，但ッ=[/(x)|=|x|在(0,+<»)上为增函数，在(一8,0)上为减函数;D错误，比如スx)=x在R上为增函数,但ソ=—[/(イ)]3=ーデ在R上为减函数:C正确,由复合函数同增异减，得ッ=2ー外)在R上为减函数.故选C..下列四个函数中，在xG(0,+oo)上为增函数的是( )A.y(x)=3—x B.J(x)=x2—3xC.ル。=ーキ D./(x)=-M【解析】当x>0时,/)=3—x为减函数；当xG(°，|)时，.貝め=メー3x为减函数,当xg(|,+Oo)时,(Onf-Bx为增函数;当xG(0,+8)时，/(x)=一ホ为增函数;当x£(0,+8)时,/(x)=ー凶为减函数.

.函数ツ=|x|(l—え)在区间ス上是增函数,那么区间ス是( )A.(-00,0) B.〇,丄 C.[0,+oo) D.(丄,+s)丫(1Y) I・〉。f-I-Y【解析】•ッ=|X|(1—x)=' ,、ーハ=,二函数y的草图如图所示.—X(1—X),x<0Iナース,x<0由图易知原函数在0,-上单调递增.故选B.210.定义新运算㊉:当色b时,。㊉b=a;当aゆ时,a®b=b2,则函数/(x)=(l㊉x)x-(2㊉x),xG[-2,2]TOC\o"1-5"\h\z的最大值等于( )A.-1 B.1 C.6 D.12【解析】由题意知当一2人1时,J(x)=x—2,当1睦2时,ル。=ズー2,又貝x)=x-2,ル0=バー2在相应的定义域内都为增函数,且ノ(1)=-1,火2)=6,所以/(x)的最大值为6.11.(2020・贵阳市髙三摸底)函数ン=ご不在(-1,+8)上单调递增，则a的取值范围是( )A.a=-3 B.a<3 C.A.a=-3 B.a<3 C.a<—3D.d>-3【解析】产号1 g-3_x—(a+2)’所以当々ー3Vo时，ダ=入_々的单调递增区间是(ー〇〇,a+2),(a+2,+oo)；当。ー3K)时不符合题意.又ヅ=x二^二^在(ーレ+8)上单调递增,所以(-1,+oo)c(a+2,+oo),所以。+2g—1,即。W—3,综上知,。的取值范围是(一8,—3].

12.(2020•河北大名一中月考)下列函数中,满足ッ(x+y)=/(x)K>ヅ的单调递增函数是( )A. B.J(x)=x3C.火x)=(g) D./(x)=3*【解析】.Ax)=g,ズ训=6,/(x+y)=(x+y)1,不满足ズx+ッ)故A错误;/(x)=x3,fiy)=y3>/(x+j)=(x+y)3,不满足_/(x+y)=/(x)/e),故B错误;./(x)=(g)在R上是单调递减函数,故C错误;.貝の=3*,加)=3〉,Hx+y)=3メア,满足兀v+y)=/(x)/(y),且ス外在R上是单调递增函数,故D正确.故选D.|1,x>0,.设函数ノ(x)=«0，x=0,爪ス)=サ(ス-1),则函数以め的单调递减区间是I—1,x<0,X2,X>1,【解析】由题意知鼠x)=")，x=l，函数图象如图所示,其递减区间是［0,1)「X2,X<1.(3〃ー1)x+4〃，x<l,.若段)= । 是定义在R上的减函数，则。的取值范围是—ax,x>\(3a-1<0,1

(3a-1<0,【解析】由题意知，ノ(3。ー1)xl+4a>-a,解得!!所以0C丄,丄)、心〇,。通183丿、心〇,<a>0,

15.函数/(x)=【解析】由于yI-10g2(x+2)在区间15.函数/(x)=【解析】由于y在R上单调递减,y=k)g2(x+2)在［-1」］上单调递增,所以/(x)在［-1,1］上单调递减,故y(x)在［-1,1］上的最大值为人一1)=3..已知函数/(x)=lnx+x,若ス〃2ー〃)刁(〃+3),则正数。的取值范围是.【解析】..・函数/(x)=lnx+x的定义域为(0,+oo),且为单调递增函数,1〃2一。>〇,a+3>0» 解得a>3,所以正数。的取值范围是(3,+〇〇)。2—。>。+3,(%ー。)2,烂〇,.设加:)=(,1, 若ズ0)是ル)的最小值,则。的取值范围为.【解析】因为当烂〇时,儿:)=(スー。)2,貝〇)是儿:)的最小值,所以。K).当x>0时,J(x)=x+^+a>2+a,当且仅当x=l时取"=".要满足ズ0)是./(x)的最小值,需2+aが0)=/,即アー解得一1%W2,所以。的取值范围是〇シS2.f(x).如果函数y=/(x)在区间/上是增函数,且函数一在区间，上是减函数，那么称函数ツ=/(x)是区间/上的“缓增函数’’,区间/叫做“缓增区间'若函数/(；0=齐一x+ラ是区间/上的“缓增函数”,则“缓增区间”/为.【解析】因为函数y(劝=尸ーx+］的对称轴为x=l,所以函数ソ=/(x)在区间［1,+8)上是增函数,又当应1时,—=2X~x>0,【解析】••x>0,【解析】••・函数ル)=<O，x=0， g(x)=x%—1),13 13x2—3令g(x)=ジー1+五(XN1),则g'(x)=2~2?=~2?~,由g'(x)SO得126,即函数-1+ヨ在区间［1,巾］上单调递减,故“缓增区间”/为ロ,<3］

.（2020•河北模拟调研）已知函数./（x）=lo氏（一x+l）（a>0,且存1）在［-2,0］上的值域是［-1,0］,则实数a=;若函数g（x）=^+m-3的图象不经过第一象限,则实数加的取值范围为.訣3=0,レO)=bgJ=-l, ''【解析】函数ハ）=1〇或一x+l）（a>0,且存1）訣3=0,レO)=bgJ=-l, ''当ぬ1时,加:）=10&（ース+1）在［-2,0］上单调递减,当〇マ<1时,Hx）=lo改（一x+1）在［-2,0］上单调递增,二ノ（一当〇マ<1时,Hx）=lo改（一x+1）在［-2,0］上单调递增,二Vg(x)=!一3Vg(x)=!一3的图象不经过第一象限,•*.g(0)=m—3<0,解得，疋ー1,即实数机的取值范围是［一1,+〇〇）.[1,x>0,.设函数/(x)={0，x=0， g(x)=x1「1,x<0,.,.当ス>l时,即「1,x<0,.,.当ス>l时,即x-l>0,g(x)=x2;当ス=l时,x-l=O,g(x)=O:当スVl时,x-l<0,gtx)：-/；fx2,X>1,・・・g(x)={0，x=L，画出函数g(x)的图象，如图所示.[―X2,X<1,〔ー1,x<0,根据图象得出,函数g（x）的单调递减区间是［0,1）.21已知定义在R上的函数/(x)满足:①信+刃=危)+ズヅ)+1,②当x>0时,./(x)>—1.(1)求ス〇)的值,并证明T(x)在R上是单调递增函数:(2)若{1)=1,解关于x的不等式y(ゼ+2^)+/(1—x)>4.【解析】(1)令x=ッ=0,得7(0)=-1.在R上任取X1>X2»则XI—X2>0,火XLX2任一1.又7(X1)=/[(XI—X2)+x2]=/(X]—X2)+y(X2)+lMX2),所以函数/(X)在R上是单调递增函数.(2)由/1)=1,得负2)=3,貝3)=5.由ズf+2x)+/(l-x)>4得/(ズ+x+l)次3),又函数ズx)在R上是增函数,故ア+x+は3,解得x<-2或x>l,故原不等式的解集为3バー2或x>l}.(1)若a=-2,试证_/(x)在(一8,—2)上单调递增;(2)若。>0且./(x)在(1,+oo)上单调递减，求。的取值范围.【解析】(1)证明:设X1<X2<—2,贝リ7(xi)-/(x2)=~^3--^7="(;ク)-7~因为(XI+2)(X2+2)>0,XI—X2<〇,所以/(X1)—/(X2)<O,即/(X1)〈加2),所以兀V)在(一8,-2)上单调递增.(2)设1〈X1〈X2，贝リy(-VI)—J(X2)=~X~ X?^~7~^~~； P'ハ''''x\~aX2~a(加一a)(X2~~a)因为a>0,x2-xi>0,所以要使ズxi)一/(X2)>0,只需(xi—a)(x2—a)>0恒成立,所以。W1.综上所述，0<a<l..已知定义在区间(0,+8)上的函数./(X)满足，五=ズ不)一危2),且当x>l时,於)<0.\X2ノ(1)证明:兀V)为单调递减函数:(2)若/(3)=一1,求ルO在［2,9］上的最小值.【解析】⑴证明:任取制,也£(0,+oo),且あ>X2,则5>1,由于当X>1时,危)<0,所以/(土<0,即/(XI)—/(X2)<0,因此/(X1)</(X2),所以函数./(X)在区间(0,+8)上是单调递减函数.(2)因为ハ)在(0,+8)上是单调递减函数,所以./(x)在［2,9］上的最小值为y(9).由X—"|=ス修)一兀均得，/(苫］=/(9)ーズ3),(/丿 (3丿而7(3)=-1,所以7(9)=-2,所以/(x)在［2,9］上的最小值为ー2..已知函数/(x)=f+小-2|—4.(1)当。=2时，求;(x)在［0,3］上的最大值和最小值;(2)若;(x)在区间［-I,+8)上单调递增,求实数a的取值范围.俨+お-8,x>2 (x+1)2—9,x>2［解析］(1)当"=2时,ズx)=/+2ばー2|_4= =r2_,アr2x,x2Cx1) 1,x2当xG［〇,2)时，-l</(x)<0.当XG［2,3］时,og(x)07,所以/(x)在［0,3］上的最大值为7,最小值为ー1.|ズ+以一2。-4,x>2⑵因为ハ尸ンー“卡”％也‘又スx)在区间［-1,+oo)上单调递增，所以当x>2时，；(X)单调递增，则一台2,即せ一4.当ー1<烂2时，；(x)单调递增，则叁ー1.艮卩a<—2»且4+2a—2a—4>4—2a+2a—4恒成立,故。的取值范围为［-4,-2］.

专题三函数的奇偶性及周期性题型ー判断函数的奇偶性.判断函数奇偶性的三种方法(1)定义法设貝X),g(x)的定义域分别是。”ハ2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇・奇=偶,偶+偶=偶,偶X偶=偶,奇X偶=奇.【例1】(2020•成都市髙三阶段考试)已知ッ=Wx)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( )①同)；®y=A-x)i®y=xj(x^@y=j(x)+x.A.0(3) B.(2X3)C.①④ D.②④【解析】因为ッ=/(x)是定义在R上的奇函数,所以貞ーx)=—/(x),由川-x|)=/(H),知①是偶函数;由./[一(一x)]=/(x)=—/(—x)，知②是奇函数;由ヅ=/(x)是定义在R上的奇函数，且ッ=x是定义在R上的奇函数，奇メ奇=偶，知③是偶函数:由;(一x)+(—x)=-[/(x)+x]，知④是奇函数，选D【例2】判断函数.’的奇偶性。x^-Xtx>0.【解法一】图象法丫2|(画出函数/(x)=， 的图象如图所示,图象关于ヅ轴对称,故/(X)为偶函数.AT-X,X>0【解法二】定义法易知函数./(X)的定义域为(一8,O)U(O,+oo),关于原点对称，当x>0时，J(x)=x2—x)则当x<0时，—x>0,故/(―xjuW+xn/Jx);当x<0时，y(x)=x2+x,则当x>0时,—x<0,故ズーx)=f—x=7(x),故原函数是偶函数.法三:./(X)还可以写成./^)=メー|x|(x和)，故/(X)为偶函数题型二奇函数、偶函数性质的应用函数奇偶性的应用(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值.(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出.(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据/(xW(-x)=0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组レ进而得出参数的值(4)画函数图象:利用函数的奇偶性可画出函数在另ー对称区间上的图象.(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值.【注意】对于定义域为/的奇函数/(x),若OGハ则7(0)=0.【例1I若スx)=ln(e3x+l)+or是偶函数,则a=.【解法一】因为7(x)=ln(e3x+l)+av是偶函数，所以./(―x)=/(x),所以/(―x)=ln(e*+1)—or=ln]—^―+1I—ax=\n--——ar=ln(l+e3x)-3x—^x=ln(e3x+l)+ax,(e丿(。丿所以ー3ー。=々,解得。=ーラ【解法二】函数/(x)=ln(e3"+l)+ar为偶函数,故/(―x)=/(x)，即ln(e-3x+l)_ax=ln(e3x+l)+or,化简得lnp7=2ax=lne2ax,即ド=02，整理得e%"=1.所以2ox+3x=0,解得4=-].【例2】(2020•衡水模拟)已知九r)是定义在R上的奇函数,若x＞0时,儿:)=xl3则xVO时,/(x)=( )A.xlnx B.xln(—x)C.-x\nx D.—xln(-x)【解析】设ス＜0,则ース＞0,所以/(—x)=—xln(—x).又/(x)是定义在R上的奇函数，所以/(一x)=ー/)，所以/(x)=xln(—r).选B题型三函数的周期性及应用.求函数周期的方法方法解读适合题型定义法具体步骤为:对于函数y=/(x),如果能够找到ー个非零常数7,使得当x取定义域内的任何值时,都有スx+り=/(x),那么7就是函数メ=兀0的周期非零常数7容易确定的函数，递推法采用递推的思路进行,再结合定义确定周期.如:若スX+a)=~/(x),则y(x+2a)=/[(x+a)+a]=—J(x+a)=/(x),所以2a为スx)的一个周期含有/(x+a)与/(x)的关系式，换元法通过换元思路将表达式化简为定义式的结构,如:若\"+a)=/(x—a),令x—a=t，则x=t+a9则川+2の="+a+a)=J[t+a—d)=j[t},所以2a为ル)的ー个周期加x±a)=y(bx±c)型关系式.函数周期性的应用根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则スQIGZ且総))也是函数的周期.

【例1】(2020•江西临川第一中学期末)已知函数ノ(x)是定义在R上的奇函数,对任意的实数x,<x—2)=危+2),当xG(0,2)时,/,则ス,丨=( )A. B.ース C，4 D-4【解析】(1)因为大x—2)=/(x+2),所以7(x)=y(x+4),所以./(x)是周期为4的周期函数,又函数T(X)是定义在R上的奇函数,所以7，ヨ9不又函数T(X)是定义在R上的奇函数,所以7，ヨ9不94,选D[2(1—X),OStSl,【例2】(2020•开封模拟)已知函数;(x)= 如果对任意的"GN，,定义ん(x)=1x—1»l<x<2,バ/Lf••ゾ(エ)コ｝卄 ,那么カ016(2)的值为( )A.0 B.1 C.2 D.3【解析】因为ズ(2)=呎2)=1,力(2)=/(1)=0,か(2)=/(0)=2,所以か(2)的值具有周期性,且周期为3,所以及016(2)=自672(2)=力(2)=2,故选C.题型四函数性质的综合应用考查视角一单调性与奇偶性结合函数单调性与奇偶性的综合.解此类问题常利用以下两个性质:①如果函数,/(x)是偶函数,那么/(x)=/(|x|).②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.【例1】.(2019•成都模拟)已知函数人X)为R上的偶函数,当疋。时,./(x)单调递减,若ズ2a)>Hl-a),则a的取值范围是( )【解析】因为函数./【解析】因为函数./(x)为R上的偶函数,所以/(2a)>/(l-a)ヨZ(|2a|)>/(|l—a|),又当xK)时,/(x)单调递减,所以|2H<|La|,所以(2け<(1ーび，即3/+2a-l<0,解得一考查视角二周期性与奇偶性结合周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.【例2】•/(x)定义域在/?的奇函数,满足./(1-x)=/(l+x).若/(1)=2,则./(1)+火2)+/(3)+…+/(50)=( )A.-50 B.0 C.2 D.50【解析】因为兀0是定义域为(-8,+oo)的奇函数,且满足T(1-x)=/(l+x),所以/(1+劝=ー外ー1),貝x+4)=/[l-(x+3)]=/(-x-2)=—/(x+2)=—/[1一(x+l)]=—/(一x)=/(x).所以ズx)是周期为4的函数.因此貝1)+.火2)+火3)+…+貝50)=12[/(1)+7(2)+/(3)+貝4)[十八1)+Z(2)，因为ス3)=—/(1),バ4)=一Z(2),所以7(1)十/(2)+沢3)十/(4)=0,因为负2)=貝2-4)=A-2)=—/(2),所以7(2)=0,从而/(1)十/(2)十/(3)+…十Z(50)=/(l)=2,故选C.考查视角三单调性、奇偶性和周期性结合单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性、奇偶性转化自变量所在的区间，然后利用单调性求解.ゝ2) 1ノノA./(日)＞ズの＞一当) B.人4)＞バC.イ一外朋)＞©) D.イギ【解析】由./(x+2)=/(x)可知函数./(x)的周期为2,又危ー2)为奇函数，所以y(x)为奇函数，所以;1-ゝ2) 1ノノA./(日)＞ズの＞一当) B.人4)＞バC.イ一外朋)＞©) D.イギ【解析】由./(x+2)=/(x)可知函数./(x)的周期为2,又危ー2)为奇函数，所以y(x)为奇函数，所以;1-計イ勺所以スx)=/(x—2),ー里=/T+2x4[=；・住),＞0(x而2)恒成立,则メー当,ズ4),dUi的大小关系正确的是( )火4)=；(4一2x2)=/(0)=0,/又xG[0,1)时，加)单调递增.所以/1;[〉“。)〉イーゝ2) [2 ) [2丿9=イ一戸"3)=イー；｝故奇函数;(X)在(一1,1)上单调递增.即イー孰4)”閏结论ー:若函数/(x)是奇函数,且g(x)=/(x)+c,则必有g(—x)+g(x)=2c.【证明】由于函数/(x)是奇函数,所以/(一X)=ー危),所以g(—x)+g(x)=/(—x)+c+/(x)+c=2c.【例1】对于函数ノ(x)=asinx+6x+c(其中。，6CR,cGZ),选取a,b,c的一组值计算ノ(1)和./(―1),所得出的正确结果一定不可能是( )A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2【解析】设g(x)=asinx+bx,则貝x)=g(x)+c,且函数g(x)为奇函数.注意到cGZ,所以7(1)+ス-l)=2c为偶数.故选D.结论ニ:若函数/(x)是奇函数,则函数g(x)=/(x—0)+/I的图象关于点(a,/り对称.【证明】函数g(x)=/(x—a)+人的图象可由,/(x)的图象平移得到,不难知结论成立.yx+Ix+2【例2】函数z(x)=%+f+F的图象的对称中心为( )A.(-4,6) B.(-2,3) C.(-4,3) D.(一2,6)［解析］设g(x)=—キー:-47，则g(-.t)= 7~~ =7=‘テ+；+47=一g(x)，%—1XX十1 —X—1—X—X十1X—1xx+1故g(x)为奇函数.易知人故g(x)为奇函数.易知人x)=3-し+丄+」x+1x+2x+3=g(x+2)+3,所以スx)对称中心为(一2,3),选B结论三:若函数/(X)为偶函数,则/(x)=人园).【证明】当XK)时，|x尸x,所以川x|)=/(x)；当x<0时,./(|x|)=/(-x),由于函数./(x)为偶函数,所以./(-x)=/(x),故川x|)=/(x).综上，若函数;(X)为偶函数，则/(x)=/(|x|).【例3】设函数./(x)=ln(l+|x|)-j:匕,则使得./(x)が2x7)成立的x的取值范围是【解析】易知函数/(x)的定义域为R,且T(x)为偶函数.当xX)时，/(x)=ln(l+x)ーTわ，易知此时貝x)单调递增.所以/WM%T)对网)MRx—1|)，所以|x|>|2x-i|,解得;81.【例4】若偶函数スx)满足T(x)=x3-8(立〇),则貝x-2)>0的条件为.【答案】{x|x<0或x>4}【解析】由た)=バー8佗0),知/(x)在［〇,+8)上单调递增,且7(2)=0.所以,由已知条件可知/(x-2)>0ヲZ(ほ一2|)次2).所以a一2卜2,解得x<0或x>4.巩固提升.下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+oo)上单调递增的是( )A.J(x)=ex—e~x B.y(x)=tanxC.た)=ス+チ D.火x)=|x|【解析】/(x)=|x|是偶函数，排除D；y(x)=x+(在(0,+〇〇)上先减后增,排除C；y(x)=tanx在(0,+8)上不是单调函数,排除B；/(尤)=ビーe］符合题意. CXTOC\o"1-5"\h\z.设函数y(x)=—y~,则下列结论错误的是( )A.火の|是偶函数B.ールO是奇函数 C../(x)l/(x)|是奇函数 D._/(凶)/(x)是偶函数 CX «【解析】•因为_/(x)=-2一,则・火ース)=-2—=ー穴X).所以,/(X)是奇函数.因为イLx|)=/(|x|),所以/(働)是偶函数,所以貝|x|)/(x)是奇函数.(2020・贵阳检测)若函数/(x)是定义在R上的奇函数,当xK)时，/(x)=log2(x+2)—1,则ズー6)=( )A.2 B.4C.-2 D.-4【解析】根据题意得_/(—6)=—/(6)=1—log2(6+2)=1—3=—2.4.设.火メ)为定义在R上的奇函数,当应〇时,./(x)=3'—7x+26(b为常数),则スー2)=( )A.6 B.-6C.4 D.-4【解析】.因为7(x)为定义在R上的奇函数,且当xK)时,./(x)=3-7x+2ん所以/(0)=1+26=0,所以6=.;.所以./(x)=3*_7x—1,所以./(-2)=-/(2)=_(32_7x2_1)=6.选A.TOC\o"1-5"\h\z.已知函数y=y(x),满足ッ=貝ース)和ヅ=ズ>+2)是偶函数,且/(1)=?设F(x)=fix)+J(-x),则尸(3)=( )A.t B,ラー C.7： D.〒【解析】由»=/(—x)和ッ=ズ>+2)是偶函数知,y(—x)=y(x),y(x+2)=/(—x+2)=/(x—2),故/(x)=/a+4),则F(3)=7(3)+/(-3)=2/(3)=2A-l)=2Al)=I故选B..(2020•福建龙岩期末)设函数貝x)是定义在R上的奇函数,满足/(x+l)=—/(x—l),若/(-1)>1,人5)=/一2a—4,则实数a的取值范围是( )A.(―1,3) B.(—〇〇,—1)U(3,+oo) C.(—3,1) D.(―〇〇,—3)U(1,+00)【解析】由ズx+l)=-Ax-l),得/(x+2)=—/(x),则7(x+4)=/a),_/(x)周期为4,则ズ5)=貝1)=アー2a—4,又因为ノ(x)是定义在R上的奇函数，/所以ス1)<-1,所以巒一20一4<一1,解得一1マ<3,选A.定义在R上的偶函数兀0满足人x+3)=/(x).若ス2)>1,ス7)=小则实数a的取值范围为( )A.(-00,-3) B.(3,+oo) C.(-〇〇,-1) D.(1,4-oo)【解析】因为スx+3)=/(x),所以/(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数,所以7(7)=貝7—9)=貝ー2).又因为函数;(x)是偶函数，所以ズー2)=人2),所以./(7)=42)>1,所以公1,即aG(l,+00).故选D..(2020•广东湛江一模)已知函数g(x)=/(2x)一%2为奇函数，且ズ2)=1,则沢一2)=( )A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】因为g(x)为奇函数,且/(2)=1,所以g(—1)=一g(l),所以/(一2)—1=一Z(2)+1=—1+1=0,所以_/(一2)=1.故选C..若定义在R上的偶函数人x)和奇函数g(x)满足ル0+8(ズ)=ピ,则g(x)=( )A.ex—ex B.3cx+eり Cう(e、ーカ D.,どーe')【解析】•・ソ(メ)+§(め=ゼ,.二ズ一x)+g(—x)=e',①又/(一x)=/(x),g(ーメ)=ー趴メ)，.\/(x)—g(x)=eH②由①②解得g(x)=e;ー.故选D.

10.(2020•烟台适应性练习)已知定义在R上的函数;(x)的周期为2,且满足Hx)=<イー1)=顺,则ズ5。)等于()A2- B_2 C11 n13x+a9—l<x<0,I2x»〇タVI,【解析】由x+a9—l<x<0,I2x»〇タVI,【解析】由于函数.危)的周期为2,所以/5~2=而’所以一l+a==,所以。=ま,因此H5a)=/(3)=/(—1)=—1+ま=ーラ.故选B.TOC\o"1-5"\h\z11.(2020•沈阳市高三质检)已知函数/(x)=而7,实数a,b满足不等式y(2a+の+y(4-36)>0,则下列不等关系恒成立的是( )A.h-a<2B.a+2b>2C.み—。>2 D.a+2h<21—2-x2X—1 1—2*【解析】由题意知/(ー外=1テ=布=一7方=ーイめ,所以函数./(x)为奇函数,1—2"2—(1+2D ?又7(x)=1上"=1丄メ=1丄メ—1，所以/(x)在R上为减函数，ハ’1十2 1十2 1十2 ハ由/(2〃+6)+火4—36)>0,得7(2a+b)>—/(4—3み)=火3ルー4),故2。+みV3み-4,即み一〃>2.故选C.12.(2020•湖南郴州质量检测)已知ル)是定义在［2み,1ーみ］上的偶函数,且在［2み,〇］上为增函数,则ルl1)#2x)的解集为（）A.-1,- B.-1,- C.[-1,11「3「 L3」 1【解析】因为スx)是定义在［2ん1一句上的偶函数，所以26+1-6=0,所以わ=—1,因为ハ)在［2ん0］上为增函数,即函数/(x)在［一2,〇］上为增函数,故函数スx)在(0,2］上为减函数,则由/(x-l)勺(2x),可得|x—1团2x|,即。ーげ为/,解得一1起.—Y"—1 f—1ニー‘解得""

—2<2x<2, ［―1Sx<1.综上,所求不等式的解集为ー1」.故选B.3

.已知/(x)是奇函数,且当ス＜。时,於)=ーザ,若ノ(ln2)=8,则。=.【解析】当x＞0时,一え＜0,共-x)=—e-”.因为函数/(此为奇函数,所以当x＞0时,た)=ースース)=e一%所以/(足2)=院.2=(；)=8,所以。=一3..函数スス)在R上为奇函数,且ザ＞0时,/(x)=x+l,贝リ当スvO时,た)=.【解析】因为んr)为奇函数,当x＞0时,./(x)=x+l,所以当x〈0时,一x＞〇,/(工)=-Z(ー制=一(ース+1),即え＜0时,ズス)=—(—x+l)=x—L.(2020・湖南永州质检)已知函数/a)=x3+sinx+l(x£R),若/(の=2,则ノ(ーの=【解析】设ド(x)=y(x)—luj^+sinx,显然/7(x)为奇函数.又尸(q)=/S)—1=1,所以尸(一a)=y(一白)一1=—1,从而/(—a)=0.16.函数歩)=X—16.函数歩)=X—4),x>3,则メ9)=【解析"(9)=火9-4)=/(5)=A5-4)=/U)=2xl-l=l.1 7T17.已知奇函数ズx)(xGR)满足y(x+4)=/a—2),且当xG[—3,0)时,貝x)=fl~3si吁,则ズ2021)=.【解析】因为ハ)(xGR)为奇函数满足ル+4)=外-2),所以兀r+6)=/(x),即/(x)是以6为周期的周期函数，因为当ス可ー3,0)时，火x)=：+3si层,所以./(2021)=貝337x6-1)=貝ー1)=±+35吊(-工)=—4.18.已知定18.已知定义在R上的函数./(x)满足貝x+2)=六,ノ(•り当xe[〇,2)时，ル0=イ+ゼ，则ノ(2020)= .【解析】因为定义在R上的函数;(x)满足ルx+2)=去,JW所以/(x+4)=万、=ズ劝,所以函数ズ刈的周期为4.JyXvz.)当xG[0,2)时,J[x)=x+e,所以貝2020)=/(505x4+0)=/(0)=0+e0=L.(2020•甘肃天水摸底)设於)是定义在R上以2为周期的偶函数,当xイ［0,1］时,/(x)=log2(x+l),则函数/(x)在口,2］上的解析式是.【解析】因为ズx)是定义在R上以2为周期的函数,当XG［〇/］时，./(x)=log2(x+l).所以设XG［1,2］,则x-2G［-l,0］,2-xe［0,l］.所以/(2—x)=log2［(2—x)+l］=log2(3—x),又/(x)为偶函数,所以ズ＞)=Wx-2)=火2—x)=log2(3—x).TOC\o"1-5"\h\z( 2p.若函数スx)=x|1-^ 为偶函数,则“= .I"+り巒+1【解析】令U(め=1—"7，(2 \1ーム以为偶函数,可知"(x)=l一宗为奇函数,e+1J ピ十］メ+1 ヽ利用w(0)=1一0।］=0,可得fl=1»所以a=1或fl一一1..定义在R上的偶函数T(x)满足ズx+2)=—/(x),且在［-2,0］上是增函数,下面是关于/(x)的判断:①/(x)的图象关于点尸(1,0)对称;②イ0)是函数/(x)的最大值;⑧Ax)在［2,3］上是减函数; ④/(xo)=/(4k+xo),k《Z.其中正确的是(正确的序号都填上).【解析】因为ノ(x)是定义在R上的偶函数,所以貝ーx)=/(x),又ズx+2)=~/(x),所以,/(x+2)=一/(-X),所以/(x)图象关于点尸(1,0)对称,所以①正确;由;(x+2)=-/(x)知,火x+4)=-/(x+2)=/(x),所以/(x)是以4为周期的函数,所以/(xo)=/(4左+xo)伏6Z),所以④正确;因为ノ(x)是以4为周期的函数,且在［一2,0］上是增函数,所以ズx)在［2,4］上也是增函数，因此③不正确；因为大x)是定义在R上的偶函数,所以スx)在［0,2］上是减函数,所以/(x)在［-2,2］上的最大值是;(〇),又イx)是以4为周期的函数，所以②正确.所以正确的判断是①②.已知大X)是定义域为(-8,+8)的奇函数,满足./(1-x)=/(l+x).若./(1)=2,则貝1)+.火2)+貝3)+…+/(50)【解法一】因为ズ1-x)=/(l+x),所以函数/(x)的图象关于直线x=l对称.因为貝x)是奇函数,所以函数,/(x)的图象关于坐标原点(0,0)中心对称.数形结合可知函数;(x)是以4为周期的周期函数.因为ル0是(一8,+8)上的奇函数,所以7(0)=0.因为ズ1-x)=/(l+x),所以当x=l时,./(2)=/(0)=0;当x=2时,./(3)=/(_1)=—/(1)=_2;当x=3时,/(4)=負ー2)=—/(2)=0.综上,/(l)+y(2)+/(3)+...+/(50)=12x[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]+y(l)+y(2)=12x[2+0+(-2)+0]+2+0=2.【解法二】取ー个符合题意的函数/(x)=2sin岸则结合该函数的图象易知数列伏〃)}(〃CN")是以4为周期的周期数列.故;(1)+火2)+人3)+…+貝50)=12'[/(1)+_/(2)+/(3)+火4)]+7(1)+_/(2)=12メ[2+0+(-2)+0]+2+0=2..已知定义域为R的函数，(エ)=ユラ是奇函数.(1)求。,b的值;(2)用定义证明:/(X)在(YO,8)上为减函数.b—1【解析】•••/(X)为R上的奇函数,.../(-0)=—/(0)，.・.ハ0)="j—=0,解得:b=l.又/(T)=ー〃l)，••・丁ユ=-ア解得"=1.丄+a 2+a2经检验。=1,6=1符合题意.(2)证明:任取玉,x2eR,且,则イ(0々一二二(")(二リ”:)(2—)年2りハリハーノ2为+12J1 (2为+リ(2*+リ (2頃+リ(2f+り•.•ル<毛，,-,2X2-2X,>0，又・.•(2*+リ(2も+1)>0,.•.〃そ)一ア(毛)>0, 在(yo,+qo)上为减函数.24.已知函数f（x）=2a,_4+%>0,fl^l）是定义在R上的奇函数.2优+a（1）求。的值:（2）求函数，（X）的值域;⑶当オ«l,2］时,2+可、（ラー2'>0恒成立,求实数机的取值范围.【解析】（1）•.•/（*）是/?上的奇函数,，/（一6=—/（力日ロ2。1—4+。 2オー4+。日ロ2+（-4+。）•优ー2。"+4-a即: = ,up = 2。’+。2优+。 2+。•优2优+。整理可得。=2.(2)/(%)=—~-=-~~-=!ーーニ在??上递增2.2x+22*+12x+\■:2v+l>b.-.-2<ーー—<0,2x+\-1<1 <12"+1.•・函数，（X）的值域为（-1,1）.⑶由2+，力"(x)—2*>0可得,mf(x)>2x-2,对(x)=mユニ!■>2X一2.当xe［l,2］时,m〉⑵+り⑵ー幻令2‘一1=«1WY3））,则有用>（'+2）（’一［=/_工+1,2函数y=f一一+1在に也3上为增函数，t,2,ヽ10（r-y+1）max=y，10YYl> ,3故实数机的取值范围为（g,+8）

专题四二次函数与幕函数题型ー求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式(1)关键:恰当选取二次函数解析式的形式(2)选法已知条件一般式解析式的形式已知条件一般式三点坐标顶点坐标对称轴顶点式最大(小)值y=a(x—h)顶点坐标对称轴顶点式最大(小)值y=a(x—h)2+k(a^O)与x轴两交点的坐标两根式y=a(x—x\)(x—X2)(a^0)【例1】已知二次函数;(x)满足ズ2)=-1,大-1)=-1,且兀v)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.【解法一】利用一般式(4a+2b+c=~\,设貝の二江+瓜+メ存〇).由题意得《解得，6=4,所以/(x)=-4』+4