重要高中数学数列十种求通项和七种求和方法练习

完好word版重要高中数学数列十种求通项和七种乞降方法练习及答案完好word版重要高中数学数列十种求通项和七种乞降方法练习及答案17/17完好word版重要高中数学数列十种求通项和七种乞降方法练习及答案高中数列知识点总结(一)等差数列的公式及性质等差数列的定：anan1d（d常数）（n2）；2．等差数列通公式：ana1(n1)ddna1d(nN*)，首:a1，公差:d，末:an推行：anam(nm)d．进而danam；nm3．等差数列的判断方法（1）定法：若anan1d或an1and(常数nN)an是等差数列．（2）等差中法：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2．（3）数列an是等差数列anknb（此中k,b是常数）。（4）数列an是等差数列SAn2Bn,（此中、是常数）。nAB等差数列的性：（1）当公差d0，等差数列的通公式ana1(n1)ddna1d是对于n的一次函数，且斜率公差d；前n和Snna1n(n1)ddn2(a1d)n是对于n的二次函数且常数0.222（2）若公差d0，增等差数列，若公差d0，减等差数列，若公差d0，常数列。（3）当mnpq,有amanapaq，专门，当mn2p，有aman2ap.注：a1ana2an1a3an2。（4）若an、bn等差数列，anb，1an2bn都等差数列。（5）在等差数列中，等距离拿出若干也组成一个等差数列，即an,an+m,an+2m,⋯,等差数列，公差md。（6）{an}是公差d的等差数列，Sn是前n和，那么数列Sk,S2kSk,S3kS2k,⋯成公差k2d的等差数列。（7）数列an是等差数列，d公差，S奇是奇数的和，S偶是偶数的和，Sn是前n的和1）当数偶数2n，S2nn(anan1)，S偶S奇S奇annd,anS偶1S奇a1a3a5a2n1na1a2n1nan2S偶a2a4a6a2nna2a2nnan122）当数奇数2n-1，S2n-1S奇S偶(2n1)anS奇nanS奇nS奇S偶anS偶（n-1)anS偶n1(9)若1n有最大，可由不等式an0来确立n。a>0，d<0，San01若a<0，d>0，San0来确立n。1n有最小，可由不等式an10-1-（10）等差数列an{bn}前n项和为A,Bnn，二)等比数列的公式及性质anqq0n2,且nN*1.等比数列的定义：an1，q称为公比ana1qn1a1qnABna1q0,AB02.通项公式：qqnmanqananamqnmamnm推行：，进而得或am3.等比中项:数列an是等比数列an2an1an1等比数列的前n项和Sn公式：等比数列的判断方法aqa或an1q(q为常数，a0)n1nann{an}为等比数列（1）定义：对随意的n,都有（2）等比中项：an2an1an1（an1an10）{an}为等比数列（3）通项公式：anABnAB0{an}为等比数列（4）前n项和公式：SnAABn或SnA'BnA'A,B,A',B'为常数{an}为等比数列等比数列的性质(1)若m+n=s+t(m,n,s,tN*),则anamasat.特其余,当n+m=2k时,得anamak2注：a1ana2an1a3an2kan(2)数列{an},{bn}{an}{kan},{ank},{kanbn}{bn}为非零常数)均为等为等比数列,则数列,，(k比数列.且公比分别为1/q，q，q，q·q，q/q2.k121(3)数列{an}为等比数列,每隔k(kN*)项拿出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等比数列,公比为qk假如{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{logaan}是等差数列(5)若{an}为等比数列,则数列Sn，S2nSn，S3nS2n,，成等比数列（当q=－1且k为偶数时不建立）。(6)若{an}为等比数列,则数列a1a2an,an1an2a2n,a2n1a2n2a3n成等比数列a0，则{a}为递加数列①当q1时，{a10，则{an}为递减数列n1a，则{a}为递减数列②当0<q1时，{a10，则{an}为递加数列1n③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;④当q<0时,该数列为摇动数列.-2-(8)在等比数列{an}中,当项数为2n(nN*)时,S奇1.S偶q(9)若{an}是公比为q的等比数列,则SnmSnqnSm3．求数列通项公式的常用方法一、公式法例1已知数列{an}知足an12an32n，a12，求数列{an}的通项公式。解：an12an32n两边除以2n1，得an1an3，则an1an3，故数列{an}是以a121为首2n12n22n12n22n212项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得an1(n1)3，所以数列{an}的通项公式为22n2an(3n1)2n。22二、累加法anan1f(n)例2已知数列{an}知足an1an2n1，a11，求数列{an}的通项公式。解：由an1an2n1得an1an2n1则an(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)a1[2(n1)1][2(n2)1]L(221)(211)12[(n1)(n2)L21](n1)12(n1)n(n1)12(n1)(n1)1n2所以数列{an}的通项公式为an2。n例3已知数列{an}知足an13an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。解：an13an23n1两边除以3n1，得an1an21，3n13n33n1则an1an213n13n33n1三、累乘法anf(n)an1-3-例4已知数列{an}知足an12(n1)5na，a3，求数列{an}的通项公式。n1解：因为an12(n1)5nan，a13，所以an0，则an12(n1)5n，故anaanan1La3a2ananana2a1112[2(n11)5n1][2(n21)5n2]L[2(21)52][2(11)51]32n1[n(n1)L32]5(n1)(n2)L2132n1n(n1)352n!2n1n(n1)所以数列{an}的通项公式为an352n!.例5（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列{an}知足a11，ana12a23a3L(n1)an1(n2)，求{an}的通项公式。解：因为ana12a23a3L(n1)an1(n2)①所以an1a12a23a3L(n1)an1nan②用②式－①式得an1annan.则an1(n1)an(n2)故an1n1(n2)an四、待定系数法（要点）例6已知数列{an}知足an12an35n，a16，求数列a的通项公式。n解：设an1x5n12(anx5n)④将an12an35n代入④式，得2an35nx5n12an2x5n，等式两边消去2an，得35nx5n12x5n，两边除以5n，得35x2x,则x1,代入④式得an15n12(an5n)例7已知数列{an}知足an13an52n4，a1，求数列{an}的通项公式。1-4-解：设an1x2n1y3(anx2ny)⑥将an13an52n4代入⑥式，得3an52n4x2n1y3(anx2ny)整理得(52x)2n4y3x2n3y。令52x3x，则x5，代入⑥式得an152n123(an52n2)⑦4y3yy2例8已知数列{an}知足an12an3n24n5，a1，求数列{an}的通项公式。1解：设an1x(n1)2y(n1)z2(anxn2ynz)⑧an12an3n24n5代入⑧式，得2an3n24n5x(n1)2y(n1)z2(anxn2ynz)，则2an(3x)n2(2xy4)n(xyz5)2an2xn22yn2z等式两边消去2an，得(3x)n2(2xy4)n(xyz5)2xn22yn2z，3x2xx3解方程组2xy42y，则y10，代入⑧式，得xyz52zz18an13(n1)210(n1)182(an3n210n18)⑨五、对数变换法例9已知数列{an}知足an123nan5，a17，求数列{an}的通项公式。解：因为an123nan5，a17，所以an0，an10。在an123nan5式两边取常用对数得lgan15lgannlg3lg2⑩设lgan1x(n1)y5(lganxny)11○六、迭代法-5-例10已知数列{an}知足an1an3(n1)2n，a15，求数列{an}的通项公式。解：因为an1an3(n1)2n，所以anan3n12n1[an3(n21)2n2]3n2n1七、数学概括法例11已知an1an8(n1)，a18，求数列{an}的通项公式。（其余方法呢？）(2n1)2(2n3)298(n1)及a8解：由an1an，得(2n1)2(2n3)219a2a18(11)88224(211)2(213)2992525a3a28(21)248348(221)2(223)225254949a4a38(31)488480(231)2(233)249498181由此可猜想an(2n1)21，往下用数学概括法证明这个结论。(2n1)2（1）当n1时，a1(211)218，所以等式建立。(211)29（2）假定当nk时等式建立，即ak(2k1)21，则当nk1时，(2k1)28(k1)ak1ak(2k1)2(2k3)2-6-(2k1)218(k1)(2k1)2(2k1)2(2k3)2[(2k1)21](2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k1)2(2k3)2(2k3)21(2k3)2[2(k1)1]21[2(k1)1]2由此可知，当nk1时等式也建立。依据（1），（2）可知，等式对任何nN*都建立。八、换元法例12已知数列{an}知足an11(14an124an)，a11，求数列{an}的通项公式。16解：令bn124an，则an1(bn21)24故an11(bn211)，代入an11(14an124an)得24161(bn211)1[141(bn21)bn]2416244bn21(bn3)2因为bn124an0，故bn1124an10则2bn1bn3，即bn11bn3，可化为bn131(bn3)，222九、不动点法例13已知数列{an}知足an121an24，a14，求数列{an}的通项公式。4an1解：令x21x24，得4x220x240，则x12，x23是函数f(x)21x24的两个不动点。因为4x14x1-7-21an242an124an121an242(4an1)13an2613an2an1321an24321an243(4an1)9an279an34an1十、倒数法a11，an12an，求anan2求数列前n项和的常用方法一、公式法利用以下常用乞降公式乞降是数列乞降的最基本最重要的方法.1、等差数列乞降公式：Snn(a1an)na1n(n1)d22na1qn)(q1)2、等比数列乞降公式：Sna1(1a1anq1)1q1q(qn1n(n1)n1n(n1)(2n1)3、Snk4、Snk2k12k16nk3[1n(n1)]25、Snk12[例1]求xx2x3xn的前n和.[例2]S＝1+2+3+⋯*,求f(n)Sn的最大.n(n32)Sn1二、位相减法（等差乘等比）[例3]乞降：Sn13x5x27x3(2n1)xn12462n[例4]求数列,2,23,,n,前n的和.222n21解：由可知，{}的通是等差数列{2n}的通与等比数列{2n2n}的通之Sn2462n2223n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①2212462n（设制错位）Sn2223242n1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②2①－②得(11)Sn222222n（错位相减）222223242n2n1212n2n12n1-8-2Sn42n1三、倒序相加法是推等差数列的前n和公式所用的方法，就是将一个数列倒来摆列（反序），再把它与原数列相加，就能够获得n个(a1an).[例5]求：Cn03Cn15Cn2(2n1)Cnn(n1)2n明：SnCn03Cn15Cn2(2n1)Cnn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..①把①式右倒来得S(2n1)Cn(2n1)Cn13C1C0（反序）nnnnn又由CnmCnnm可得S(2n1)C0(2n1)C13Cn1Cn⋯⋯⋯⋯..⋯⋯..②nnnnn①+②得2Sn(2n2)(Cn0Cn1Cnn1Cnn)2(n1)2n（反序相加）∴Sn(n1)2n[例6]求sin21sin22sin23sin288sin289的解：Ssin21sin22sin23sin288sin289⋯⋯⋯⋯.①将①式右反序得Ssin289sin288sin23sin22sin21⋯⋯⋯⋯..②（反序）又因sinxcos(90x),sin2xcos2x1①+②得（反序相加）2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)＝89S＝四、分法乞降有一数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列适合打开，可分几个等差、等比或常的数列，此后分乞降，再将其归并即可.[例7]求数列的前n和：114,17,,11,a2n13n2，⋯aa[例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n和.解：akk(k1)(2k1)2k33k2k-9-nn∴Snk(k1)(2k1)＝(2k33k2k)k1k1将其每一项打开再从头组合得nk3nk2nSn＝23k（分组）k1k1k1五、裂项法乞降这是分解与组合思想在数列乞降中的详细应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，此后从头组合，使之能消去一些项，最后达到乞降的目的.通项分解（裂项）如：（1）anf(n1)f(n)（2）sin1tan(n1)tanncosncos(n1)（3）an111（4）an(2n)21111)n(n1)nn1(2n1)(2n1)(2n212n1（5）ann(n12)1[1(n1]1)(n2n(n1)1)(n2)(6)ann212(n1)n111,则Sn111)2nn(n1)2nn2n1(n1)2n1)2nn(n(n[例9]求数列1,1,1,的前n项和.12,n23n1[例10]在数列{an}中，an12n，又bnan2，求数列{bn}的前n项的和.n1n1n1an1[例11]求证：111cos1cos1cos2cos88cos89sin21cos0cos1解：设S111cos0cos1cos1cos2cos88cos89∵sin1tan(n1)tann（裂项）1)cosncos(n∴S111（裂项乞降）cos0cos1cos1cos2cos88cos89＝1{(tan1tan0)(tan2tan1)(tan3tan2)[tan89tan88]}sin1＝1(tan89tan0)＝1cos1sin1cot1＝sin1sin21∴原等式建立-10-六、归并法乞降一些特其余数列，将某些归并在一同就拥有某种特其余性，所以，在求数列的和，可将些放在一同先乞降，此后再求Sn.[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的.解：Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵cosncos(180n)（找特别性质项）Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（归并乞降）＝0[例13]数列{a}：a11,a23,a32,an2an1an，求S.n2002解：S2002＝a1a2a3a2002由a11,a23,a32,an2an1an可得a41,a53,a62,a71,a83,a92,a101,a113,a122,⋯⋯a6k11,a6k23,a6k32,a6k41,a6k53,a6k62∵a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k60（找特别性质项）∴S2002＝a1a2a3a2002（归并乞降）＝(a1a2a3a6)(a7a8a12)(a6k1a6k2a6k6)(a1993a1994a1998)a1999a2000a2001a2002＝a1999a2000a2001a2002＝a6k1a6k2a6k3a6k4＝5[例14]在各均正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的.解：Snlog3a1log3a2log3a10由等比数列的性mnpqamanapaq（找特别性质项）和数的运算性logaMlogaNlogaMN得Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6)（归并乞降）-11-＝(log3a1a10)(log3a2a9)(log3a5a6)＝log39log39log39＝10七、利用数列的通项乞降先依据数列的构造及特点进行分析，找出数列的通项及其特点，此后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.[例15]求1111111111之和.n个1解：因为1111199991(10k1)（找通项及特点）k个19k个19∴1111111111n个1＝1(1011)1(1021)1(1031)1(10n1)（分组乞降）9999＝1(10110210310n)1(1111)99n个1＝110(10n1)n91019＝1(10n1109)81n[例16]已知数列{an}：an8,求(n1)(anan1)的值.(n1)(n3)n1-12-数列练习一、选择题1.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9=2a2，a2=1，则a1=5A.1B.2C.2222.已知为等差数列，，则等于A.-1B.1C.33.公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项,S832,则S10等于A.18B.24C.60D.90.4设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于A．13B．35C．49D．63已知an为等差数列，且a7－2a4＝－1,a3＝0,则公差d＝（A）－2（B）－1（C）1（D）2226.等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和A.90B.100C.145D.1907.等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1am20，S2m138,则m（A）38（B）20（C）10（D）9.8.设an是公差不为0的等差数列，a12且a1,a3,a6成等比数列，则an的前n项和Sn=A．n27nB．n25nC．n23nD．n2n4433249.等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是A.90B.100C.145D.190.二、填空题1设等比数列{an}的公比q1，前n项和为Sn，则S4．2a42.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，，T16成等比数列．T12-13-3.在等差数列{an}中,a37,a5a26,则a6____________.4.等比数列{an}的公比q0,已知a2=1，an2an16an，则{an}的前4项和S4=.数列练习参照答案一、选择题1.【答案】B【分析】设公比为q,由已知得a1q2a1q82a1q42,即q22,又因为等比数列{an}的公比为正数，所以q2,故a1a212q2,选B22.【分析】∵a1a3a5105即3a3105∴a335同理可得a433∴公差da4a32∴a20a4(204)d1.选B。