创新设计直线平面简单几何体950市公开课金奖市赛课一等奖课件

了解棱柱概念，掌握棱柱性质/会画直棱柱直观图

第50课时棱柱第1页1．棱柱概念：有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形且每相邻两个面

相互平行，这么多面体叫棱柱．两个相互平行面叫棱柱

；其余各面叫棱柱

；两侧面公共边叫棱柱

；两底面所在平面公垂线段叫棱柱

(公垂线段长也简称高)．交线底面(简称底)侧棱侧面高第2页2．棱柱分类侧棱不垂直于底面棱柱叫

．侧棱垂直于底面棱柱叫

．底面是正多边形直棱柱叫

．斜棱柱直棱柱正棱柱第3页棱柱性质(1)棱柱侧棱相等，侧面都是

；直棱柱侧面都是

；正棱柱侧面都是全等矩形．(2)棱柱两个底面与平行于底面截面是对应边相互平行

．(3)过棱柱不相邻两条侧棱截面都是

．(如图)平行四边形矩形全等多边形平行四边形3．第4页1．如右图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AB＝1，点D在BB1上，且BD＝1，则AD与侧面AA1C1C所成角为()A. B.C．arctan D．arcsin第5页解析：如右图，取A1C1，AC中点O1、O，过D作DE⊥OO1于E，连结AE.由正三棱柱性质知∠EAD即为所求，由

，用余弦定理求得cos∠DAE＝，∴sin∠DAE＝.答案：D第6页2．设三棱柱ABC－A1B1C1体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上点，且

PA＝QC1，则四棱锥B－APQC体积为()

答案：C第7页3．已知高为3直棱柱ABC－A′B′C′底面是边长为1正三角形 (如右图所表示)，则三棱锥B′－ABC体积为()

答案：D第8页4．如图1，一个正四棱柱形密闭容器底部镶嵌了同底正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥顶点P.假如将容器倒置，水面也恰好过点P(如图2)．有以下四个命题：①正四棱锥高等于正四棱柱高二分之一；②将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P；③任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P；④若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满．其中真命题代号是：____________.(写出全部真命题代号)第9页解析：易知所盛水容积为容器容量二分之一，故④正确，于是①错误；水平放置时由容器形状对称性知水面经过点P，故②正确；③错误可由图1中容器位置向右边倾斜一些可推知点P将露出水面．答案：②④第10页直棱柱(或正棱柱)由底面和高确定，在处理与直棱柱(或正棱柱)相关问题时，要充分利用直棱柱(或正棱柱)性质．因为直棱柱(或正棱柱)侧棱与其底面垂直，所以处理直棱柱(或正棱柱)相关问题时，便于建立空间坐标系利用空间向量进行求解．第11页【例1】如右图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边中点，N是侧棱CC1上点，且CN＝2C1N. (1)求二面角B1－AM－N平面角余弦值； (2)求点B1到平面AMN距离．第12页解答：如图，(1)解法一：因为M是底面BC边上中点，所以AM⊥BC，又AM⊥CC1，所以AM⊥面BCC1B1，从而AM⊥B1M，AM⊥NM.所以∠B1MN为二面角B1－AM－N平面角，又B1M＝，MN＝，连结B1N，得B1N＝在△B1MN中，由余弦定理得cos∠B1MN＝故所求二面角B1－AM－N平面角余弦值为.第13页(2)在面BCC1B1内作直线B1H⊥MN.H为垂足，又AM⊥平面BCC1B1，所以AM⊥B1H.于是B1H⊥平面AMN.故B1H为B1到平面AMN距离．在Rt△B1HM中，B1H＝B1M·sin∠B1MH＝

＝1.故点B1到平面AMN距离为1.第14页解法二：(1)建立如图所表示空间直角坐标系，则B1(0,0,1)，M(0，，0)，C(0,1,0)，N(0,1，)，A(－，，0)，所以，

因为

所以

⊥

，同法可得

⊥

.故〈

，

〉为二面角B1－AM－N平面角．∴cos〈

，

〉＝.故所求二面角B1－AM－N平面角余弦值为.第15页(2)设n＝(x，y，z)为平面AMN一个法向量，则由n⊥

，n⊥

得⇔故可取n＝(0，－，1)．设

与n夹角为α，则cosα＝，所以B1到平面AMN距离为.第16页变式1.如右图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B中点，点E在平面ABD上射影是△ABD重心G. (1)求A1B与平面ABD所成角大小(结果用反三角函数值表示)； (2)求点A1到平面AED距离．第17页解答：解法一：(1)如右图，连结BG，则BG是BE在面ABD射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成角．设F为AB中点，连结EF、FC，∵D、E分别是CC1、A1B中点，又DC⊥平面ABC，∴四边形CDEF为矩形．连结DF，G是△ADB重心，∴G∈DF.在直角三角形EFD中，EF2＝FG·FD＝FD2，∵EF＝1，∴FD＝.于是ED＝，EG＝.∵FC＝ED＝，∴

∴sin∠EBG＝.∴A1B与平面ABD所成角是arcsin.第18页(2)连结A1D，有VA1－ADE＝VD－AA1E，∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB＝F，∴ED⊥平面A1AB，设A1到平面AED距离为h，则S△AED·h＝S△A1AE·ED.又S△A1AE＝S△A1AB＝A1A·AB＝，S△AED＝AE·ED＝.∴

，即A1到平面AED距离为.第19页解法二：(1)连结BG，则BG是BE在面ABD内射影， 即∠A1BG是A1B与平面ABD所成角．如图所表示建立空间直角坐标系，坐标原点为C，设CA＝2a，则A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，D(0,0,1)，A1(2a,0,2)，E(a，a,1)，G.

∴

解得a＝1.∴

＝(2，－2,2)，,,A1B与平面ABD所成角是arccos第20页(2)由(1)有A(2,0,0)，A1(2,0,2)，E(1,1,1)，D(0,0,1)．∵∴ED⊥平面AA1E，又ED⊂平面AED，∴平面AED⊥平面AA1E，又平面AED∩平面AA1E＝AE，∴点A1在平面AED上射影K在AE上．设

，则

＝

＝(－λ，λ，λ－2)，由

＝0，即λ＋λ＋λ－2＝0，解得λ＝.∴

.故A1到平面AED距离为.第21页斜三棱柱普通由六个条件所确定，经过下述问题可看到一些常见斜三棱柱，以及斜三棱柱中点线面位置关系确实定和成角、距离等问题处理方法．【例2】如右图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长和侧棱长均为a，侧面A1ACC1⊥底面ABC，A1B＝a. (1)求异面直线AC与BC1所成角余弦值； (2)求证：A1B⊥面AB1C.第22页解答：如图，(1)解法一：作A1O⊥AC，连结BO，则A1O⊥平面ABC，∵A1C1∥AC，∴∠BC1A1为异面直线AC与BC1所成角．由AA1＝a，AB＝a，A1B＝a，可求得：cos∠A1AB＝，又cos∠A1AB＝cos∠BAC·cos∠A1AC，∴cos∠A1AC＝，∴∠A1AC＝60°.∵A1O⊥面ABC，AC⊥BO，∴AC⊥A1B.∴A1C1⊥A1B.

第23页在Rt△A1BC1中，A1B＝a，A1C1＝a，∴BC1＝a.∴cos∠BC1A1＝.∴异面直线AC与BC1所成角余弦值为.(2)证实：设A1B与AB1相交于点D，∵ABB1A1为菱形，∴AB1⊥A1B.又A1B⊥AC，AB1与AC是平面AB1C内两条相交直线，∴A1B⊥面AB1C.第24页解法二：(1)如右图建立坐标系，原点为BO⊥AC垂足O.由题设条件可得B(a,0,0)，C1(0，a，a)，A(0，－a，0)，C(0，a,0)，∴

设

与

夹角为θ，则∴异面直线AC与BC1所成角余弦值为.第25页(2)证实：A1(0,0，a)，B(a,0,0)，∴

即A1B⊥AC.又四边形ABB1A1为菱形，∴A1B⊥AB1.又∵AB1与AC为平面AB1C内两条相交直线，∴A1B⊥平面AB1C.第26页变式2.如右图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2且AA1⊥A1C，AA1＝A1C. (1)求侧棱A1A与底面ABC所成角大小； (2)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角大小； (3)求顶点C到侧面A1ABB1距离．第27页解答：如图，(1)作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC.∴∠A1AD为A1A与面ABC所成角．∵AA1⊥A1C，AA1＝A1C，∴∠A1AD＝45°为所求．(2)作DE⊥AB，垂足为E，连结A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB，∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角平面角．由已知，AB⊥BC，得ED∥BC.又D是AC中点，BC＝2，AC＝2，∴DE＝1，AD＝A1D＝，tan∠A1ED＝.故∠A1ED＝60°为所求．第28页(3)由点C作平面A1ABB1垂线，垂足为H，则CH长是C到平面A1ABB1距离．连结HB，因为AB⊥BC，得AB⊥HB.又A1E⊥AB，知HB∥A1E，且BC∥ED，故∠HBC＝∠A1ED＝60°.∴CH＝BCsin60°＝为所求.第29页1.斜棱柱侧面积等于各个侧面面积之和，而求每个侧面面积关键在于确定每个侧面形状，可依据例2、例3提供条件，探究斜棱柱体积和侧面积 计算方法．2． 斜棱柱体积和侧面积计算可利用斜棱柱直截面转化为直棱柱问题解 决．第30页【例3】如右图，斜三棱柱ABC－A1B1C1底面边长和侧棱长均为a，且∠A1AC＝∠A1AB＝60°. (1)求证：四边形BCC1B1为矩形 (2)求三棱柱ABC—A1B1C1侧面积和体积．第31页解答：(1)证实：证法一：连结A1B、A1C，取BC中点D，连结AD、A1D，①由AB＝AC＝AA1，如上图①，且∠A1AC＝∠A1AB＝60°知△A1AB≌△A1AC，则A1B＝A1C，∴A1D⊥BC，又AD⊥BC.所以BC⊥平面A1AD，则BC⊥AA1，又BB1∥AA1，则BB1⊥BC，所以▱BCC1B1是矩形．第32页证法二：以下列图②，取BC中点D，作A1O⊥平面ABC由∠A1AB＝∠A1AC＝60°知，垂足O∈AD.∵AB＝AC，则AD⊥BC，依据三垂线定理得AA1⊥BC，又BB1∥AA1，∴BB1⊥BC，即▱BCC1B1为矩形．②第33页(2)如图②，作BE⊥AA1垂足为E，连结CE，∵∠EAB＝60°，则E为AA1中点，又△ABE≌△ACE，则CE⊥AA1，又BE＝CE＝AB＝a，则S侧面积＝(BE＋CE＋BC)·AA1＝(＋1)a2

三棱柱体积V＝S△BEC·AA1＝a3.第34页1．要熟练应用棱柱、直棱柱和正棱柱性质处理棱柱中点、直线和平面位置关系问题，主要处理平行和垂直、计算成角和距离等问题．2．要注意例2、例3变式中出现一些常见斜棱柱．3．要注意平行六面体与三棱柱、三棱锥与三棱柱等几何体之间联络，同时要了解斜棱柱直截面意义和作用，注意几何体割补转化思想.

【方法规律】

第35页(·全国Ⅱ)(本题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C中点，DE⊥平面BCC1.(1)证实：AB＝AC；(2)设二面角A－BD－C为60°，求B1C与平面BCD所成角大小.第36页解答：(1)证实：取BC中点O连接EO，AO，由AD綊