2021年广东省潮州市田家炳实验中学高三数学文联考试题含解析

2021年广东省潮州市田家炳实验中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若二次函数的两零点分别在（0，1）和（1,2）区间内，则该命题成立的充要条件为

A.

B.

C.

D.参考答案：D2.若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A3.设集合，集合（

）

A．

B．

C．（1，+∞）

D．（-∞，1）参考答案：B略4.设i是虚数单位，则复数（

）A.2－2i B.2+2i C.4－2i D.4+2i参考答案：C=3-2i-i2=4-2i．故选：C．

5.已知，点满足，则的最大值为（

）A．－5

B．－1

C．0

D．1参考答案：D

6.命题“”的否定为（

）A.

B.C.

D.参考答案：C7.如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出(

)A.性别与喜欢理科无关B.女姓中喜欢理科的比例为80%C.男生比女生喜欢理科的可能性大D.男生中不喜欢理科的比例为60%参考答案：C8.如图是一个算法流程图，若输入n的值是13，输出S的值是46，则a的取值范围是(

)A.9≤a<10

B.9<a≤10

C.10<a≤11

D.8<a≤9参考答案：B9.如图是一个四棱锥在空间直角坐标系、、三个平面上的正投影，则此四棱锥的体积为A．94 B．32 C．64 D．16参考答案：B10.在△ABC中，G为重心，记,，则=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在矩形ABCD中，

。参考答案：12考点：数量积的应用试题解析：因为所以所以所以所以所以故答案为：1212.已知单位向量的夹角为30°，则

．参考答案：1

13.设数列的前n项的和为，且，则等于__._.参考答案：6因为，所以，所以数列是以为公比的等比数列，所以，所以.14.的概率是

参考答案：15.在平面上，，，．若，则的取值范围是

．参考答案：分别以、为、轴建立直角坐标系，设，由得.设，由得，，两式相加得，即，于是，又，故，即的取值范围是.16.在锐角中，，垂足为，且，则

的大小为

***

。参考答案：17.已知点M（a，b）在不等式组确定的平面区域内运动，则动点N（a+b，a﹣b）所在平面区域的面积为．参考答案：16【考点】简单线性规划的应用．【分析】将点的坐标设出，据已知求出点的横坐标、纵坐标满足的约束条件，画出可行域，求出图象的面积．【解答】解：令s=a+b，t=a﹣b，则P（a+b，a﹣b）为P（s，t）

由s=a+b，t=a﹣b可得2a=s+t，2b=s﹣t因为a，b是正数，且a+b≤4有，在直角坐标系上画出P（s，t）

s横坐标，t纵坐标，即可得知面积为：=16．故答案为：16．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足，记（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为．求不超过的最大整数．参考答案：（1）设奇数项构成等差数列的公差为，偶数项构成等比数列的公比为由可得，由得所以，，．…6分（2）由不超过的最大整数为2014．…12分19.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完．（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？参考答案：解：（1）当0＜x＜80，x∈N*时，当x≥80，x∈N*时，L（x）=﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）∴．（2）当0＜x＜80，x∈N*时，，当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950当x≥80，x∈N，∵，∴当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000＞950．综上所述，当x=100时L（x）取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．略20.（本小题满分13分）给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程.（2）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线使得与椭圆都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点，求证：为定值.参考答案：（Ⅰ），椭圆方程为准圆方程为。

（Ⅱ）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，当方程为时，此时与准圆交于点，此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或），即为（或），显然直线垂直；同理可证方程为时，直线垂直.

②当都有斜率时，设点，其中.设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，则消去，得.由化简整理得：因为，所以有.设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，所以满足上述方程，所以，即垂直.

综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直，所以线段为准圆的直径，所以=4.21.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设=λ．（1）若点P的坐标为（1，），且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈[，]，求实数λ的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，利用椭圆的定义可得△PQF2的周长为4a．由点P的坐标为（1，），可得+=1，解出即可得出．（2）利用向量坐标运算性质、点与椭圆的位置关系即可得出．【解答】解：（1）∵F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，∴PF1+PF2=QF1+QF2=2a，从而△PQF2的周长为4a．由题意，得4a=8，解得a=2．

∵点P的坐标为（1，），∴+=1，解得b2=3．∴椭圆C的方程为+=1．（2）∵PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P（c，y0），y0＞0．设Q（x1，y1）．∵P在椭圆上，∴+=1，解得y0=，即P（c，）．∵F1（﹣c，0），∴=（﹣2c，﹣），=（x1+c，y1）．由=λ，得﹣2c=λ（x1+c），﹣=λy1，解得x1=﹣c，y1=﹣，∴Q（﹣c，﹣）．∵点Q在椭圆上，∴（）2e2+=1，即（λ+2）2e2+（1﹣e2）=λ2，（λ2+4λ+3）e2=λ2﹣1，∵λ+1≠0，∴（λ+3）e2=λ﹣1，从而λ==﹣3．∵e∈[，]，∴≤e2≤，即≤λ≤5．∴λ的取值范围为[，5]．22.已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若f（x）≥（log2a）2﹣a对任意实数x恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】3R：函数恒成立问题；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值符号，然后求解不等式即可解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）利用绝对值的几何意义，求出f（x）的最小值，利用恒成立，转化不等式求解即可．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）原不等式可化为：