浙教版八年级三角形中几种模型

一、手拉手模型：手的判别：判断左右，将等腰三角形顶角顶点朝上，左边为左手顶点，右边为右手顶点。手拉手的定义两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。 （左手拉左手，右手拉右手）手拉手基本结论①△ABC≌△AB'C'(SAS)②∠BAB'=∠BOB'AOBOC'二、例题1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△

ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（（1）△ABE≌△DBCD（2）AE=DC（3）（4）AEDC的夹角为△AGB≌△DFB60。（5）△EGB≌△CFBHFG（6）BHAHC（7）GF∥AC

A B C变式练习1、如果两个等边三角形△ ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC（2）AE=DC D（3）AE与DC的夹角为60。 C（4）AEDC的交点设为H,BHAHCEA B变式练习2：如果两个等边三角形△ ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBCD（2）AE=DC（3）AEDC60。（4）AEDC的交点设为H,BHAHCBAH EC变式训练3：两个等腰三角形 ABD与BCE，其中连接AE与CD. D问（1）△ABEDBC是否成立（2）AE是否与CD相等（3）AE与CD之间的夹角为多少度 EH（4）HB是否平分∠AHCABC2ABCDDEFGAGCEH问：（1）△ADGCDE是否成立（2）AG是否与CE相等 B C（3）AGCE之间的夹角为多少度（4）HDAHEH GFA DE例3：如图两个等腰直角三角形 ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.问（1）△ADGCDE是否成立C（2）AG是否与CE相等（3）AGCE之间的夹角为多少度（4）HD是否平分∠AHEH GA DE二、半角模型11、条件： 2

且 1800.2、思路：①截长补短②旋转1、在正方形ABCD中，若MN分别在边BCCD上移动，且满足MN=BM+DN，.∠MAN=45②.CCMN2AB③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.45例2拓展：在正方形ABCD中，已知∠MAN=

MNCBDC的延长线上移动，.MNBMDN..AB=AH.3.在四边形ABCDB+1

180

，若E、F分别在边BC、CD上，且满足 EF=BE+DF.求证：

EAF

BAD.2练习巩固1：（1）1ABCDE、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断EF三

BE、DF与条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；（2）如图2(1)问中的条件变为“在四边形ABCDADBD＝180EF分别是边CD上的

BC、1点，且∠EAF= ∠则（1）问中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；2（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别 E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（ 1）问中的结论是否发生变化若变化，请给出结论并予以证明 ..练习巩固2：已知：正方形ABCD中， MAN 45o，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交 CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．（1）如图1，当MAN绕点A旋转到BM DN时，有BM DN MN．当MAN 绕点A旋转到BM DN时，如图21中的结论还是否成立如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MANA旋转到如图3的位置时，线段BMDNMN之间有怎样的等量关系请写出你的猜想，并证明．L（2）如图②，当点M，NAB，ACDM明；

DN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗写出你的猜想并加以证DADAADNNBCBCMBCM MN练习巩固3：在等边ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为ABC外一点，且MDNBDC120，DADAADNNBCBCMBCM MN练习巩固3：在等边ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为ABC外一点，且MDNBDC120，BDCD，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，BN，MN之间的数量关系及60，AMN的周长Q与等边 ABC的周长L的关系．NAAANMNMBCBCBCMDD图②D图③（1）如图①，当点QM，NAB，AC上，且DMDN时，BM，NC，MN之间的数量关系式 ；此时MAN练习巩固4：如图，已知在正方形 ABCD中， =45°，连接BD与AM，AN分别交于E、F两点求证：（1）MN=MB+DN；（2）AMN的距离等于正方形的边长；VCMN（3）

S 的周长等于正方形 ABCD边长的2倍；（4）

ABCDW

2AB；（5）

VCMN

MN=20°，求 ；（6）

MABMAB 0

AMNp45o ，求 ；AMN（7）EF2 ；（8）VAENVAFM是等腰三角形；S（9

VAEF 1。SVAMN 2三、三垂直模型（一线三等角）（K型）1、常见的一线三垂直的模型。例1：如图，正方形 ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．求证：AE=BF．变式训练：等腰RtABCAC=AB，BAC＝90DACAFBDE，BCF，DF，求证：∠1=∠2。2：.PABCDAB()PDPDP90PEPEBCFBEDF。ADP=EPBCBE的度数；3ABC，其中AB=ACBAC=90B、CA点直线L的垂线，垂足分别为MN．（1）你能找到一对三角形的全等吗并说明．（2）BM，CN，MN之间有何关系若将直线l旋转到如图2的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依旧成立？四、角平分线模型1、边垂直 M如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作 APA⊥OM于点PB⊥ON于点B。 P结论：PB=PA OB N例1：（1）如图①，在△ABC中，∠C=90°，AD平CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB的距离是 分∠（2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。APBAC。AACB2 341C D B P2图12：如图，△ABCACD的平分线CPABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。PABC D例3：．如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。求证：∠BAD+∠BCD=180°。ADCB2、翻折全等（对称）PMONAOMONOB=OAPB。结论：△OPB≌△OPA。MAPOB N例1：（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△ABC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较 PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由；（2）ADABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PBAC-AB的大小，并说明理由。AA2ABCACB的P P C 平B C D B D图1 图2

分线，AC=16，AD=8。求线 段BC的长。AB CD3ABCA=100°，∠A=40°，BDABCBDE，DE=AD。求证：BC=AB+CE。AEDB C4ABCAB=ACA=108BDABCBC=AB+CD。ADCB3、角平分线+垂线→等腰（三线合一）PMO的平分线上一点，APOPPAPB。AOB是等腰三角形。MAPOB N例1：如图，已知等腰直角三角形 ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E。求证：BD=2CE。AD EB C2ABCBEBED2=1+C。AE 1 2DBC3：（1）BDCEABC的外角平分，过点ABD、AECEDE，连接DE。求证：(1)AB+AC+BC=MN（2）如图②，BDCEABCMNABC三边又有怎样的数量关系请写出你的猜想，并进行证明。（3）如图③，BDABC的内角平分，CEABC量关系请写出你的猜想，并进行证明。

成立请说明理由，若不成立，MNABC三边又有怎样的数4、角平分线+平行线→等腰（底角相等）如图，P是∠MO的平