(完整版)高三复习导数专题

导数一、导数的基本知识1、导数的定义：2、导数的公式：=.（为常数）（）3、导数的运算法则：4、掌握两个特殊函数（1）对勾函数（，）其图像关于原点对称（2）三次函数三次函数的图像三次函数是关于M对称的中心对称图导数的基本题型和方法1、、导数的意义：（1）导数的几何意义：（2）导数的物理意义：2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间；（2）判断或证明函数的单调性；（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围。3、、函数的极值与最值：(1)求函数极值或最值；（2）由函数的极值或最值，求参数的值或参数的范围。4、导数与不等式。通过研究函数的最值，进而证明不等式证明不等式f(x)>g(x)在区间A上成立是极值点方法一：构造函数F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求出函数在区间A上的最小值方法二：转化为证明f(x)>g(x)在区间A恒成立,求参数取值范围。构造函数F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求函数在区间A上的最小值不等式f(x)>g(x)的解集为空集，求参数取值范围。构造函数F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求出函数在区间A上的最小值不等式f(x)>g(x)的解集非空，求参数取值范围。：构造函数F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求出函数在区间A上的最小值比较两个代数式f(x)和g(x的大小：构造函数F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求函数在区间A上的最值，若最小值,解此不等式既得参数的范围解此不等式既得参数的范围解此不等式既得参数的范围，则；若最大值，则5、讨论讨论函数f(x)零点（方程根）的个数：通过研究函数的单调性、极值等，画出函数图像，进而讨论零点的个数三、习题精选：【例1】导数的意义(特别提醒利用导数求切线的斜率时要判断点是否在已知的曲线上切点处的三个性质）1、(2010·新课标全国)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为A．y＝x－1B．y＝－x＋1C．y＝2x－2D．y＝－2x＋2解析：y′＝3x2－2，∴y′|x＝1＝3－2＝1，∴切线方程为：y－0＝x－1，即y＝x－1.(A)2、（2012全国）曲线在点（1,1）处的切线方程为________【解析】∵，∴切线斜率为4，则切线方程为：.3、[2014·广东]曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．5x＋y＋2＝0[解析]∵y′＝－5ex，∴所求切线斜是k＝－5e0＝－5，∴切线方程是y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.4、2014课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝alnx＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.则b=；分析：在第(1)问中，根据导数的几何意义将问题转化为f′(1)＝0，即可求出b的值；解：(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b.由题设知f′(1)＝0，解得b＝1.5、(2011湖南)曲线y＝－在点M处的切线的斜率为()A．－B.C．－D.答案By′＝＝，故切线斜率k＝y′|x＝＝，选B.6、[2014·江西]若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．(e，e)[解析]由题意知，y′＝lnx＋1，直线斜率为2.由导数的几何意义知，令lnx＋1＝2，得x＝e，所以y＝elne＝e，所以P(e，e)．7、如果质点A按规律s＝2t3(s的单位是m)运动，则在t＝3s时的瞬时速度为(C)A．6m/sB．18m/sC．54m/sD．81m/s解析：∵s′＝6t2，∴s′|t＝3＝54.8、已知曲线y=，则曲线过Q(1,0)点处的切线方程为9、若直线y＝3x＋1是曲线y＝x3－a的一条切线，求实数a=．解：设切点为P(x0，y0)，对y＝x3－a求导数得y′＝3x2，∴3x＝3，∴x0＝±1.当x0＝1时，∵P(x0，y0)在y＝3x＋1上，∴y0＝3×1＋1＝4，即P(1,4)．又P(1,4)也在y＝x3－a上，∴4＝13－a，∴a＝－3；当x0＝－1时，∵P(x0，y0)在y＝3x＋1上，∴y0＝3×(－1)＋1＝－2，即P(－1，－2)．又P(－1，－2)也在y＝x3－a上，∴－2＝(－1)3－a，∴a＝1.综上可知，实数a的值为－3或1.10．[2014·江苏]在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．－3[解析]易知y′＝2ax－11、已知函数f(x)＝.根据题意有解得故a＋b＝－3.的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，则函数y＝f(x)=解：由函数f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，知－1＋2f(－1)＋5＝0，即f(－1)＝－2，f′(－1)＝－.∵f′(x)＝，∴即＝－.解得a＝2，b＝3(∵b＋1≠0，∴b＝－1舍去)．所以所求的函数解析式是f(x)＝.12、（2010辽宁）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是()(A)[0,)(B)（C）(D)解析：选D.，，即，13、设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是________．解析：设P(a，a2－a＋1)，y′|x＝a＝2a－1∈[－1,3]，∴0≤a≤2.而g(a)＝a2－a＋1＝2＋，当a＝时，g(a)min＝.a＝2时，g(a)max＝3，故P点纵坐标范围是.【例2】函数的单调性1、（2014·湖北）函数f(x)＝的单调递增区间为；单调递减区间为解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝，所以f′(x)＝.当f′(x)>0，即0<x<e时，函数f(x)单调递增；当f′(x)<0，即x>e时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．2、设函数f(x)＝x(ex－1)答案：x2则函数f(x)的单调递增区间为递增区间为，递减区间为3．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是A．[3，＋∞)B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞)D．(－∞，－3)解析：∵f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，(B)∴f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立．即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．又∵在(1，＋∞)上－3x2＜－3，∴a≥－3.4、(2014课标全国Ⅱ11)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)(D）解析：由f′(x)＝k－，又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则f′(x)≥0在x∈(1，＋∞)上恒成立，即在x∈(1，＋∞)上恒成立．又当x∈(1，＋∞)时，，故k≥1.故选D.5、(2014湖南)若0＜x1＜x2＜1，则(C)A．C．＞lnx2－lnx1B．＜lnx2－lnx1D．解析：设f(x)＝ex－lnx，则.当x＞0且x趋近于0时，x·ex－1＜0；当x＝1时，x·ex－1＞0，因此在(0,1)上必然存在x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)，因此A，B不正确；设，当0＜x＜1时，，所以g(x)在(0,1)上为减函数．所以g(x1)＞g(x2)，即，所以.故选C.6、若函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是________．解析：由题意可得：f′(x)＝2mx＋－2在(0，＋∞)上有f′(x)≥0恒成立，所以2mx＋－2≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2m≥－在(0，＋∞)上恒成立，设t(x)＝－＋＝－2＋1，只要求出t(x)在(0，＋∞)上的最大值即可．而当＝1，即x＝1时，t(x)max＝1，所以2m≥1，即m≥.答案：7、已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．解：(1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0得ex≥a，当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立；当a＞0时，有x≥lna.综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a＞0时，f(x)的单调增区间为[lna，＋∞)．(2)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.故当a≤0时，f(x)在定义域R内单调递增．8、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.设函数f(x)在区间内是减函数，求a的取值范围．解析：若函数在区间内是减函数，则说明f′(x)＝3x2＋2ax＋1＝0两根在区间外，由此f′≤0，且f′≤0，由此可以解得a≥2.因此a的取值范围是[2，＋∞)或用变量分离法9、【2012高考新课标文21】（本小题满分12分）设函数f(x)=ex－ax－2求f(x)的单调区间【例3】函数的极值与最值1、函数f(x)＝x3－3x2＋2的极大值是2极小值是解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0，x＝22、(2014北京)已知函数f(x)＝2x3－3x.，则f(x)在区间[－2,1]上的最大值为解：(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3，令f′(x)＝0，得或.因为f(－2)＝－10，，，f(1)＝－1，所以f(x)在区间[－2,1]上的最大值为.3、函数在上的值域是_______________，则f(x)的极小值为4、(2014陕西)设函数解析：，则，∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋＝2，∴f(x)的极小值为2.5、已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么函数在[－2,2]上的最小值是(A)A．－37B．－29C．－5D．以上都不对解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∵f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x＝0时，f(x)＝m最大．∴m＝3，从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值为－37.6、函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是(B)A．(0,3)B.C．(0，＋∞)D．(－∞，3)解析：令y′＝3x2－2a＝0，得x＝±(a＞0，否则函数y为单调增函数)．若函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则＜1，∴0＜a＜.7、∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则(A)A．a＜－1B．a＞－1C．a＞－D．a＜－解析：由y′＝(ex＋ax)′＝ex＋a＝0得ex＝－a，即x＝ln(－a)＞0⇒－a＞1⇒a＜－1.8、y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax则a的值等于，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，(D)A.B.C.D．1解析：∵f(x)是奇函数，∴f(x)在(0,2)上的最大值为－1，当x∈(0,2)时，f′(x)＝－a，令f′(x)＝0得x＝，又a＞，∴0＜＜2.令f′(x)＞0，则x＜，∴f(x)在上递增；令f′(x)＜0，则x＞，∴f(x)在上递减，∴f(x)max＝f＝ln－a·＝－1，∴ln＝0，得a＝1.9、函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．解：f′(x)＝3[(x－a)2＋1－a2]．当1－a2≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；当1－a2＜0时，f′(x)＝0有两个根，x1＝a－，x2＝a＋＜3.②.由题意知，2＜a－＜3，①或2＜a＋①式无解，②式的解为＜a＜，因此a的取值范围是.或用二次函数根的分布做此题10、（2013年福建）已知函数(,为自然对数的底数).(1)若曲线(2)求函数在点处的切线平行于轴,求的值;的极值;【答案】解:(Ⅰ)由又曲线,得.在点处的切线平行于轴,得,即,解得.(Ⅱ),①当②当时,,为上的增函数,所以函数无极值.时,令,得,.,;,.所以故在上单调递减,在处取得极小值,且极小值为上单调递增,在,无极大值.综上,当时,函数无极小值;当,在处取得极小值,无极大值.11、(2014四川)已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值；分析：(1)先利用求导求出g(x)的解析式，再求出其导函数g′(x)，根据a的不同取值分类讨论g′(x)的符号变化，判断其单调性，从而求其最值；解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，有g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.所以g′(x)＝ex－2a.当x∈[0,1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．当当当时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,1]上单调递增，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0,1]上单调递减，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0,1)．所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.综上所述，当时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；当当时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.【例4】导数与函数的零点1、若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是(A)A．(－2,2)B．[－2,2]C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)解析：由f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，且当x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.所以当x＝－1时函数f(x)有极大值，当x＝1时函数f(x)有极小值．要使函数f(x)有3个不同的零点，只需满足解之得－2＜a＜2.（或转换成两个函数的图像来做）2、(2014课标全国Ⅰ12)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是A．(2，＋∞)(C)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)解析：当a＝0时，f(x)＝－3x2＋1存在两个零点，不合题意；当a＞0时，f′(x)＝3ax2－6x＝，令f′(x)＝0，得x1＝0，，，所以f(x)在x＝0处取得极大值f(0)＝1，在要使f(x)有唯一的零点，需处取得极小值，但这时零点x0一定小于0，不合题意；当a＜0时，f′(x)＝3ax2－6x＝，令f′(x)＝0，得x1＝0，，这时f(x)在x＝0处取得极大值f(0)＝1，在要使f(x)有唯一零点，应满足处取得极小值，，解得a＜－2(a＞2舍去)，且这时零点x0一定大于0，满足题意，故a的取值范围是(－∞，－2)．3、已知函数．判断函数零点的个数；解：，其定义域是∴令当，即时，，解得时，或．，∴舍去．；当．∴函数在区间上单调递增，在区间取得最大值，其值为上单调递减．∴当x=1时，函数当时，，即．∴函数只有一个零点．4、(2014陕西)设函数，m∈R.，讨论函数零点的个数；解析：由题设令g(x)＝0，得设(x＞0)，(x＞0)，(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，∴φ(x)的最大值为.又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图像(如图)，可知①当②当③当时，函数g(x)无零点；时，函数g(x)有且只有一个零点；时，函数g(x)有两个零点；④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．综上所述，当时，函数g(x)无零点；当当或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；时，函数g(x)有两个零点．5、(2014北京)已知函数f(x)＝2x3－3x.若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；解析：设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，则，且切线斜率为，所以切线方程为因此，．整理得，设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”．g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．g(x)与g′(x)的情况如下：x(－∞，0)＋0(0,1)－1(1，＋∞)＋g′(x)g(x)0t＋30t＋1所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(0)＞0，且g(1)＜0，即－3＜t＜－1时，因为g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，所以g(x)分别在区间[－1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1个零点．由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．【例5】导数与不等式1、已知函数f(x)＝x3－求c的取值范围．x2＋bx＋c.若f(x)在x＝1时取得极值，且x∈[－1,2]时，f(x)＜c2恒成立，解：由题意，x＝1是方程3x2－x＋b＝0的一个根，设另一根为x0，则∴∴f(x)＝x3－x2－2x＋c，f′(x)＝3x2－x－2，当x∈当x∈时，f′(x)＞0；时，f′(x)＜0；x∈(1,2)时，f′(x)＞0；∴当x＝－时，f(x)有极大值又f(－1)＝＋c，f(2)＝2＋c，＋c，即当x∈[－1,2]时，f(x)的最大值为f(2)＝2＋c，∵对x∈[－1,2]时，f(x)＜c2恒成立，∴c2＞2＋c，解得c＜－1或c＞2，故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．2、已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)与(1，＋∞)上是减函数，且f′＝.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[0，m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范围．解：(1)由f(x)＝ax3＋bx2＋cx，得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.又由f(x)在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)与(1，＋∞)上是减函数，可知x＝0和x＝1是f′(x)＝0的解，∴即解得∴f′(x)＝3ax2－3ax.又由f′＝，得f′＝－＝，∴a＝－2，即f(x)＝－2x3＋3x2.或x≥1.(2)由f(x)≤x，得－2x3＋3x2≤x，即x(2x－1)(x－1)≥0，∴0≤x≤又f(x)≤x在区间[0，m](m＞0)上恒成立，∴0＜m≤.3、当lnx＜ax在(0，＋∞)上恒成立时，求a的取值范围．解：设函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．f′(x)＝－a.∵x＞0，所以当a≤0时，f′(x)＝－a＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；当a≤0时，f(x)＝lnx－ax＜0在(0，＋∞)上不恒成立当a＞0时，f(x)在故f(x)在上f′(x)＝－a＞0，f(x)在上f′(x)＝－a＜0，上是增函数，f(x)在上是减函数．f(x)在x＝处取得最大值ln－1，因此ln－1＜0，即a＞时，f(x)＜lnx－ax＜0在(0，＋∞)上恒成立，即lnx＜ax在(0，＋∞)上恒成立．所以当lnx＜ax在(0，＋∞)上恒成立时，a的取值范围为.4、设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．解析：若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x＞0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间因此g(x)max＝g上单调递增，在区间上单调递减，＝4，从而a≥4.当x＜0，即x∈[－1,0)时，同理a≤g(x)在区间[－1,0)上单调递增，－.∴g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上可知a＝4.(或看做函数x来做)5、(2014辽宁，文12)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(C)．A．[－5，－3]B．C．[－6，－2]D．[－4，－3]解析：∵当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，即当x∈[－2,1]时，不等式ax3≥x2－4x－3(*)恒成立．(1)当x＝0时，a∈R.(2)当0＜x≤1时，由(*)得恒成立．设，则.当0＜x≤1时，x－9＜0，x＋1＞0，∴f′(x)＞0，∴f(x)在(0,1]上单调递增．当0＜x≤1时，可知a≥f(x)max＝f(1)＝－6.(3)当－2≤x＜0时，由(*)得.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝9(舍)．∴当－2≤x＜－1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，∴f(x)在[－2，－1)上递减，在(－1,0)上递增．∴x∈[－2,0)时，f(x)min＝f(－1)＝－1－4＋3＝－2.∴可知a≤f(x)min＝－2.综上所述，当x∈[－2,1]时，实数a的取值范围为－6≤a≤－2.故选C.【例6】用导数比较大小设，．（1）求的单调区间和最小值；（2）讨论与的大小关系；（3）求的取值范围，使得【分析】（1）先求出原函数＜对任意＞0成立．，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意＞0成立的恒成立问题转化为函数的最小值问题．【解】（1）由题设知当∈（0，1）时，当∈（1，+∞）时，，∴令0得=1，的单调减区间。的单调递增区间，＜0，＞0，是减函数，故（0，1）是是增函数，故（1，+∞）是因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值为(2)，设，则，当时，，即，当时，，因此，在内单调递减，当时，，即（3）由（1）知的最小值为1，所以，，对任意是函数，成立即从而得。【例7】函数的图像1、已知函数的图象如右下图所示(其中的导函数)，下面四个图象中的图象大致是(C）2、(2013浙江)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是(B)．答案：解析：由导函数图象知，函数f(x)在[－1,1]上为增函数．当x∈(－1,0)时f′(x)由小到大，则f(x)图象的增长趋势由缓到快，当x∈(0,1)时f′(x)由大到小，则f(x)的图象增长趋势由快到缓，故选B.3、、若函数【A】的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是A．B．C．D．4、（08福建11）如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数的图象可能是（A）答案A由图形语言，不妨设函数y＝f(x)在(－b，－a)和(0，a)上为增函数(b＞a＞0)．在(－a，0)和(a，b)上为减函数，则导函数y＝f′(x)在(－b，－a)和(0，a)上有f′(x)＞0.在(－a，0)和(a，b)上有f′(x)＜0，∴函数y＝f′(x)的图象在(－b，－a)上时在x轴上方，在(－a，0)上时在x轴下方，在(0，a)上时在x轴上方，在(a，b)上时在x轴下方．故选A.5、（08全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（A）答案A刚开始时，瞬时速度在变大，即曲线上对应切线的斜率变大；加速行驶过程中，瞬时速度变大得更快；匀速行驶过程中，速度不变，即曲线上对应切线的斜率不变；减速行驶过程中，瞬时速度在变小，即曲线上对应切线的斜率变小，故选A.6、（浙江理8）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（D）【分析】：检验易知A、B、C均适合，D中不管哪个为均不成立。7、(2010·青岛模拟)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在区间(a，b)内的图象如图，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内极大值的个数为()A．1B．2C．3D．4答案：B8、设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝x·f′(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是A．f(1)与f(－1)C．f(2)与f(－2)(D)B．f(－1)与f(1)D．f(－2)与f(2)解析：由y＝x·f′(x)的图象知±2是y＝f′(x)的两个零点，设f′(x)＝a(x－2)(x＋2)．当x＞2时，xf′(x)＝ax(x－2)·(x＋2)＞0，∴a＞0.由f′(x)＝a(x－2)(x＋2)知f(－2)是极大值，f(2)是极小值，故选D.10、(2012重庆)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()答案C∵f(x)在x＝－2处取得极小值，∴在x＝－2附近的左侧f′(x)<0，当x<－2时，xf′(x)>0.在x＝－2附近的右侧f′(x)>0，当－2<x<0时，xf′(x)<0，故选C.11、(2011浙江)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是()答案D设F(x)＝f(x)·ex，则f′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]．因为x＝－1是F(x)的一个极值点，所以F′(－1)＝0，得出f′(－1)＋f(－1)＝0，在选项D中，由图象观察得到f(－1)＞0,f′(－1)＞0，所以f(－1)＋f′(－1)＞0与f′(－1)＋f(－1)＝0矛盾．故选D.12、(2012长春名校联考，10，5分)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)>f(c)>f(d)C．f(c)>f(b)>f(a)B．f(b)>f(a)>f(e)D．f(c)>f(e)>f(d)答案C依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，选C.【例8】综合题1、已知函数（1）当．时，判断函数在区间零点的个数；（2）若函数解：（Ⅰ）当上是减函数，求实数的取值范围．，其定义域是时，∴令当，即，解得时，或．，∴舍去．时，；当．∴函数在区间上单调递增，在区间取得最大值，其值为上单调递减．∴当x=1时，函数当时，，即．∴函数只有一个零点．（Ⅱ）显然函数的定义域为∴………8分1当时，时，在区间上为增函数，不合题意……9分2当等价于，即此时的单调递减区间为．依题意，得解之得．综上，实数的取值范围是法二：①当时，在区间上为增函数，不合题意……9分②当立，时，要使函数只要在区间上是减函数，只需时恒成立，在区间解得上恒成，且综上，实数的取值范围是2、设函数.（1）若x＝（2）若时，取得极值，求的值；在其定义域内为增函数，求的取值范围.解：，（1）因为时，时，取得极值，所以，即故．此时是极大值点.（2）(1)当的定义域为.方程的判别式,,即时，,在内恒成立,此时为增函数.(2)当,即或时，要使在定义域内为增函数,只需在内有即可,设，由得,所以.由(1)(2)可知,若（或参变分离）3、已知函数在其定义域内为增函数，的取值范围是.的图像如图所示。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数在处的切线方程为的解析式；，求函数，方程（Ⅲ）若有三个不同的根，求实数的取值范围.解：函数的导函数为(Ⅰ)如图可知：函数（3分）的图像过点（0，3），且得…………(Ⅱ)依题意所以且解得……（8分）（Ⅲ）依题意由①…………（9分）若方程有三个不同的根，当且仅当满足②……（10分）由①②得：所以当时方程有三个不同的根…………（12分）4、已知函数（I）若，判断函数在定义域内的单调性；（II）若函数在内存在极值，求实数m的取值范围。解：（I）显然函数定义域为（0，+）若m=1，由导数运算法则知令当单调递增；当单调递减。（II）由导数运算法则知，令当单调递增；当单调递减。故当有极大值，根据题意5、已知函数（I）若曲线（II）求函数其中.在处的切线与直线平行，求的值；在区间上的最小值.解：，.（I）由题意可得，解得，此时，在点处的切线为，与直线平行.故所求值为1.（II）由①当可得，在，时，时，上恒成立，所以在上递增，所以在上的最小值为.②当....................................8分＋－0极小在由上表可得在上的最小值为.......................................9分上递减.③当所以时，在上恒成立，所以在上的最小值为......................................11分综上讨论，可知：当当当时，时，在在在上的最小值为上的最小值为上的最小值为；；.…12分时，6、已知函数（Ⅰ）当.时，求函数在的单调递减区间；（Ⅱ）若上是单调函数，求实数的取值范围.解：（Ⅰ）由题意可知，函数的定义域为，，故函数在当时，的单调递减区间为上是单调函数.上恒成立，即.……4分（Ⅱ）由题意可得，函数①若为上是单调增函数，则在在上恒成立，又在上单调递减，，故.②若为上是单调减函数，则在上恒成立，不可能.综上可知：的取值范围为.……………12分7、已知函数在处取得极值。（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求证：对于区间上任意两个自变量的值，都有；（Ⅲ）若过点解：（Ⅰ）可作曲线的三条切线，求实数的取值范围。，依题意，，即，解得经检验符合。（Ⅱ）当时，，故在区间上为减函数，∵对于区间上任意两个自变量的值，都有（Ⅲ），∵曲线方程为，∴点不在曲线上，设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足。因，故切线的斜率为。，整理得∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线，∴关于的方程有三个实根。…………9分设由，则，，得或在上单调递增，在（0,1）上单调递减。∴函数的极值点为，…………11分∴关于方程有三个实根的充要条件是，解得故所求的实数a的取值范围是8、已知函数……12分（）．（1）当时，求函数在在上的最的大值；（2）当函数单调时，求