2021-2022学年山西省大同市九年级（上）期末数学试题及答案解析

第=page2424页，共=sectionpages2424页2021-2022学年山西省大同市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.下列事件中，属于必然事件的是(

)A.任意购买一张电影票，座位号是奇数

B.抛一枚硬币，正面朝上

C.五个人分成四组，这四组中有一组必有2人

D.打开电视，正在播放动画片抛物线y=x2+A.x=−2 B.x=2 方程2x2+4A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.有一个实数根 D.没有实数根古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线利用数学原理，来测量金字塔的高度．如图，在某一时刻，测得木杆EF的长为2m，它的影长FD为3m，同时测得OA为201m，求金字塔的高度BA.图形的轴对称 B.图形的平移 C.图形的旋转 D.图形的相似如图，已知太原南站某自动扶梯AB的倾斜角为31°，自动扶梯AB的长为15m，则大厅两层之间的高度BC为A.15sin31∘m B.15已知点A(3,−4)A.图象位于第一、三象限 B.点(2,6)在该函数图象上

C.当x<0时，y随x的增大而增大如图，D是△ABC的BC边上一点，AB=4，AD=2，∠D

A.5 B.152 C.10 D.如图，AB是⊙O的直径，⊙O的弦DC的延长线与AB的延长线相交于点P，OD⊥AC于点A.5π3 B.5π6 C.已知二次函数y=ax2+A.abc<0

B.a−b二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）在△ABC中，∠B=75°，t如图，某小区地下停车场的栏杆短臂OA长1m，长臂OB长8m.当短臂外端A下降0.5m时，长臂外端B

合作小组的4位同学坐在课桌旁讨论问题，学生A的座位如图所示，学生B，C，D随机坐到其他三个座位上，则学生B坐在2号座位的概率是______．

如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当B

如图，点O是Rt△ABC的AB边上一点，∠ACB=90°，以OB长为半径作⊙O，与A

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题10.0分)

(1)计算：2sin30°+(本小题7.0分)

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx(x>0)的图象相交于A(1,3)，B(3,n)(本小题7.0分)

如图1是一间安装有壁挂式空调的卧室的一部分，如图2是该空调挂机的侧面示意图．已知空调挂机底部BC垂直于墙面CD，且当导风板所在的直线AE与竖直直线AB的夹角α为42°时，空调风刚好吹到床的外边沿E处，CD⊥ED于点D，AB⊥ED于点F.若AB=0.02m(本小题9.0分)

小军准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形，设其中一个正方形的边长为x cm，这两个正方形的面积之和为ycm2.请解答下列问题：

(1)另一个正方形的边长为______cm(用含x的代数式表示)(本小题8.0分)

太原是国家历史文化名城，有很多旅游的好去处，周末哥哥计划带弟弟出去玩，放假前他收集了太原动物园、晋祠公园、森林公园、汾河湿地公园四个景点的旅游宣传卡片，这些卡片的大小、形状及背面完全相同，分别用D，J，S，F表示，如图所示，请用列表或画树状图的方法，求下列事件发生的概率．

(1)把这四张卡片背面朝上洗匀后，弟弟从中随机抽取一张，作好记录后，将卡片放回洗匀，哥哥再抽取一张，求两人抽到同一景点的概率；

(2)把这四张卡片背面朝上洗匀后，弟弟和哥哥从中各随机抽取一张(不放回)(本小题10.0分)

请阅读下面材料，并完成相应的任务；

阿基米德折弦定理

阿基米德(Arehimedes，公元前287−公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．

阿拉伯Al−Biruni(973年−1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al−Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．

阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．

这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．

证明：如图2，过点M(本小题11.0分)

问题情境：

数学活动课上，同学们将Rt△ABC(∠C=90°)绕点A顺时针旋转得到Rt△AB′C′，点C′落在边AB上，连接BB′，过点B′作B′D⊥AC于点D．

特例分析：

(1)如图(本小题13.0分)

如图，已知抛物线y=x2−2x−8与x轴相交于点A，B(点B在点A的右侧)，与y轴相交于点C，其顶点为点D，连接AC，BC．

(1)求点A，B，D的坐标；

(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第四象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F.若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；

(3)设点M是线段BC上的一个动点，过点M作MN答案和解析1.【答案】D

【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、是中心对称图形，故此选项正确；

故选：D．

根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．

此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．2.【答案】C

【解析】解：A、任意购买一张电影票，座位号是奇数是随机事件；

B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件；

C、五个人分成四组，这四组中有一组必有2人是必然事件；

D、打开电视，正在播放动画片是随机事件；

故选C．

根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

3.【答案】A

【解析】解：∵抛物线的对称轴的公式为x=−b2a，

∴y=x2+4x4.【答案】D

【解析】解：∵a=2，b=4，c=3，

∴Δ=16−4×2×3=−8<0，

5.【答案】D

【解析】解：在解决这个问题的过程中，主要运用的数学知识是图形的相似，

故选：D．

在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．

本题主要考查相似三角形的应用，解答时要了解：同一时刻物高和影长成正比．

6.【答案】B

【解析】解：在Rt△ABC中，sinA=BCAB，

则BC=AB⋅si7.【答案】C

【解析】解：∵点A(3,−4)在反比例函数y=kx的图象上，

∴k=xy=3×(−4)=−12，

A、∵k=−12<0，

∴此函数的图象位于二、四象限，故本选项错误；

B、∵2×6=12≠−12，

∴点(2、6)不在此函数的图象上，故本选项错误；

C、∵k=−12<0，

∴在每一象限内8.【答案】A

【解析】解：如图，∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，

∴△ACD∽△BCA，

∴S△ACDS△BCA=(DAAB)2

∵AB=4，AD=2，即DA=2，

∴DAAB9.【答案】B

【解析】解：连接OC，

∵OA=OC，OD⊥AC，

∴AE=CE，

∵OE=OE，

∴△AEO≌△CEO(SSS)，

∴S△AEO=S10.【答案】D

【解析】解：由图象可知，抛物线的开口向下，

∴a<0，

∵图象与y轴的交点在x轴的上方，

∴c>0，

∵图象的对称轴在y轴的左侧，

∴−b2a<0，

∴b<0，

∴abc>0，

∴A选项不合题意，

由图象可知，当x=−1时，y=a−b+c>0，

∴B选项不合题意，

当x=−2时，y11.【答案】45°【解析】解：∵tanA=3，

∴∠A=60°，

∵∠B=7512.【答案】4

【解析】解：设长臂端点升高x米，

则0.5x=18，

∴x=4．

经检验x=4是分式方程的解．13.【答案】13【解析】解：根据题意得：

所有可能的结果有6种，其中学生B坐在2号座位的情况有2种，

则P=26=13．

故答案为：13

根据题意画出树状图，找出所有可能的情况数，找出学生B坐在214.【答案】15°或165【解析】解：①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，

∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，

当BE=DF时，

∴AB=ADBE=DFAE=AF，

∴△ABE≌△ADF(SSS)，

∴∠BAE=∠FAD，

∵∠EAF=60°，

∴∠BAE+∠FAD=30°15.【答案】209【解析】解：连接OD，

∵⊙O与AC相切于点D，

∴∠ADO=90°，

在Rt△ABC中，BC=4，sinA=BCAB=45，

∴AB=5，

设⊙O的半径为r，则OB=OD=OE16.【答案】解：(1)原式=2×32+(22)2−12−|−12|

=3+12【解析】(1)原式利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，绝对值的意义计算即可得到结果．

(2)17.【答案】解：(1)∵反比例函数y=mx(x>0)的图象过A(1,3)，

∴m=1×3=3，

∴反比例函数的解析式为y=3x，

把B(3,n)点代入得，n=33=1，

【解析】(1)把A的坐标代入y=mx(x>018.【答案】解：由题知，四边形BCDF是矩形，

∵BC=0.2m，ED=2.4m，

∴EF=ED−F【解析】根据题意求出EF，再利用三角函数求出AF，根据CD=BF19.【答案】(10【解析】解：(1)依题意得：另一个正方形的边长为40−4x4=(10−x)cm．

故答案为：(10−x)．

(2)依题意得：x2+(10−x)2=68，

整理得：x2−10x+16=0，

解得：x1=2，x2=8．

当x=2时，10−x=10−2=8；

当x=8时，10−x=10−8=2．

又∵2×4=8(cm)，8×4=32(cm)20.【答案】解：(1)画树状图如下：

共有16种等可能的结果，弟弟和哥哥两人抽到同一景点的结果有4种，

∴两人抽到同一景点的概率为416=14；

(2)画树状图如下：

共有12种等可能的结果，弟弟和哥哥两人抽到动物园和森林公园的结果有2种，【解析】(1)画树状图，共有16种等可能的结果，两人抽到同一景点的结果有4种，再由概率公式求解即可；

(2)画树状图，共有12种等可能的结果，两人抽到动物园和森林公园的结果有2种，再由概率公式求解即可．

21.【答案】4+【解析】(1)证明：如图2中，

∵AM=CM，

∴AM=CM，

∵MH⊥AH，MD⊥BC，

∴∠H=∠CDM=90°，

∵∠A=∠C，

∴△AHM≌△CDM(AAS)，

∴MH=DM，AH=CD，

∵∠H=∠BDM=90°，BM=BM，

∴Rt△BMH≌△BMD(HL)，

∴BH=22.【答案】(1)证明：由旋转得，∠BAC=∠BAD，

∵B′D⊥AC，

∴∠CAB′=90°，

∴∠BAC=∠BAB′=45°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=45°=∠CAB，

∴AC=C【解析】(1)由旋转的性质得到∠BAC=∠BAD，根据垂直的定义得到∠CAB′=90°，求得∠23.【答案】解：(1)令x=0，则y=−8，

∴C(0,−8)，

令y=0，则x2−2x−8=0，

∴x=−2或x=4，

∴A(−2,0)，B(4,0)，

∵y=x2−2x−8=(x−1)2−9，

∴对称轴为直线x=1，顶点D(1,−9)；

(2)设直线BC的解析式为y=kx+b，

∴4k+b=0b=−8，

∴k=2b=−8，

∴y=2x−8，

∴E(1,