近代数学的两座灯塔课件

第六章近代数学的两座灯塔课件1第六章近代数学的两座灯塔课件2第六章近代数学的两座灯塔课件3第六章近代数学的两座灯塔课件4第六章近代数学的两座灯塔课件5万能顾问

欧拉（LeonhardEuler公元1707-1783年）1707年出生在瑞士的巴塞尔（Basel）

城，13岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（JohannBernoulli，1667-1748年）的精心指导．欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！万能顾问欧拉（LeonhardEuler公元1707-6他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文．到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清．他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下7他对数学分析的贡献更独具匠心，《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为"分析学的化身"．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年．他对数学分析的贡献更独具匠心，《无穷小分析引论》一书便8欧拉出生於牧师家庭，自幼受到父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣的是数学。在上大学时，他已受到约翰·伯努利的特别指导，专心研究数学。18岁时，他彻底的放弃了当牧师的想法而专攻数学，并开始发表文章。欧拉出生於牧师家庭，自幼受到父亲的教育。13岁时入读91727年，在丹尼尔·伯努利的推荐下，欧拉到俄国的彼得堡科学院从事研究工作，并在1731年接替丹尼尔·伯努利，成为物理学教授。

在俄国的14年中，他努力不懈地投入研究工作，在分析学、数论及力学方面均有出色的表现。此外，欧拉还应俄国政府的要求，解决了不少如地图学、造船业等的实际问题。1727年，在丹尼尔·伯努利的推荐下，欧拉到俄国的彼101735年，他因工作过度以致右眼失明。在1741年，他受到普鲁士腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职，长达25年。他在柏林期间的研究内容更加广泛，涉及行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等等，这些工作与他的数学研究互相推动着。与此同时，他在微分方程、曲面微分几何及其他数学领域均有开创性的发现。1735年，他因工作过度以致右眼失明。在1741年，11

1766年，他应俄国沙皇喀德林二世的礼聘重回彼得堡。1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了．沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来．

1766年，他应俄国沙皇喀德林二世的礼聘重回彼得堡。12在他完全失明之前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A·欧拉（数学家和物理学家）笔录．欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久在他完全失明之前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的13欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，心算并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成．有一个例子足以说明他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来．欧拉在失明的17年中；还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题．欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代14欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家，从19岁起和欧拉通信，讨论等周问题的一般解法，这引起变分法的诞生．等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就，并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传，并赢得巨大的声誉．欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家，15他晚年的时候，欧洲所有的数学家都把他当作老师，著名数学家拉普拉斯（Laplace）曾说过："欧拉是我们的导师．"欧拉充沛的精力保持到最后一刻，1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王星刚发现不久，欧拉写出了计算天王星轨道的要领.他晚年的时候，欧洲所有的数学家都把他当作老师，著名数16这时还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地说："我死了"，欧拉终于"停止了生命和计算"．欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的．这时还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从17欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tan（1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等．欧拉还创设了许多数学符号，18哥尼斯堡七桥问题18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。哥尼斯堡七桥问题18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城19ABCDABCD20七桥问题引起了著名数学家欧拉的关注。他把具体七桥布局化归为图2所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点？七桥问题引起了著名数学家欧拉的关注。他把具体七桥布局21第六章近代数学的两座灯塔课件22欧拉经过研究得出的结论是：该图是不能一笔画出的图形。这就是说，七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢？请看下面的分析。如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。如果画笔经过该点n次，那么就有2n条线与该点相连结。因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。欧拉经过研究得出的结论是：该图是不能一笔画出的图形。23如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果24图中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。1736年，欧拉在圣彼得堡科学院作了一次学术报告。在报告中，他证明了上述结论。后来他又给出了鉴别任一图形能否一笔画出的准则，即欧拉定理。图中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相25分析的化身欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。此外，他是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》，《微分学原理》，以及《积分学原理》都成为数学中的经典着作。除了教科书外，欧拉平均以每年800页的速度写出创造性论文。他去世后，人们整理出他的研究成果多达74卷。分析的化身欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不26欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支，如无穷级数、微分方程等的产生与发展奠定了基础。

欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目。他计算出了ξ函数在偶数点的值，他证明了是有理数，而且可以伯努利数来表示。此外，他对调和级数亦有所研究，并相当精确的计算出欧拉常数γ的值，其值近似为0.57721566490153286060651209…欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析27在18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理方面的问过程中，创立了微分方程这门学科。其中在常微分方程方面，他完整地解决了n阶常系数线性齐次方程的问题，对於非齐次方程，他提出了一种降低方程阶的解法；在偏微分方程方面，欧拉将二维物体振动的问题，归结出了一、二、三维波动方程的解法。欧拉所写的《方程的积分法研究》更是偏微分方程在纯数学研究中的第一篇论文。在18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理方面的问28在微分几何方面，欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了空间曲线曲率半径的解析表达方式。在1766年，他出版了《关於曲面上曲线的研究》，这是欧拉对微分几何最重要的贡献，更是微分几何发展史上一个里程碑。他将曲面表为z=f(x,y)，并引入一系列标准符号以表示z对x,y的偏导数，这些符号至今仍通用。此外，在该著作中，他亦得到了曲面在任意截面上截线的曲率公式。在微分几何方面，欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了29欧拉在分析学上的贡献不胜枚举，如他引入了G函数和B函数，这证明了椭圆积分的加法定理，以及最早引入二重积分等等。数学史家认为，欧拉的著作《无穷小分析引论》是第一部最系统的分析学的著作。《引论》首次把函数概念放在突出的地位，并把函数的概念作为全书的基础。欧拉在分析学上的贡献不胜枚举，如他引入了G函数和B函30《引论》的第一章就是函数概念，第四章是用无穷级数解释函数，给无穷级数理论注入了新的生命。第六章是用函数观点讨论指数与对数。《引论》把三角学发展到一个崭新的阶段，使三角学脱离了天文学而发展为分析学的一个分支。欧拉用分析方法研究三角学时，发现了一个重要公式：欧拉令x=π,便得到一个奇妙的恒等式。《引论》的第一章就是函数概念，第四章是用无穷级数解释31这个恒等式把数学中最基本的5个数1，0，i，π，e用一个恒等式联系起来了。德国数学家克莱因认为，这时整个数学中最卓越最漂亮的公式之一。欧拉的《引论》及他的其他一些著作，对以后的数学家有极大的吸引力。因为欧拉是杰出的方法发明家，是善于用归纳法进行数学研究的大师。这个恒等式把数学中最基本的5个数1，0，i，π，e用一32他在自己的著作中，总是下功夫把有关的归纳证明细心地，详尽地，有条有理地写出来，坦率地表述把他引向发现的那些思想。因此读欧拉的著作，不只是能学到现成的结论，更重要的是能学到获得这些结论的思考方法。大概由于这个缘故，欧拉的著作被视为学习数学的最好学校。高斯在信中写到：“学习欧拉的著作，乃是认识数学的最好工具。”他在自己的著作中，总是下功夫把有关的归纳证明细心地，33鉴于欧拉对微积分的贡献，同时代的人称他为“分析的化身”，约翰·伯努利这样赞许这位学生在分析方面青出于蓝：“我介绍高等分析时，它还是个孩子，而欧拉正将它带大成人。”鉴于欧拉对微积分的贡献，同时代的人称他为“分析的化身342.数学王子高斯2.数学王子高斯35在德国哥廷根大学的广场上，引人注目地矗立着一座用白色大理石砌成的纪念碑，它的底座砌成正十七边形，纪念碑上是一个青铜雕像，他就是高斯。高斯是德国最伟大的数学家，1777年4月30日生于德国的不伦瑞克，1855年2月23日逝世于哥廷根。由于他非凡的数学才华和伟大成就，人们尊崇他为“数学王子”。在德国哥廷根大学的广场上，引人注目地矗立着一座用36高斯出生在一个贫苦的家庭，祖父是农民，父亲没有固定职业，为了维持生计，做过多种工作，没有受太多的教育，但也能写会算。母亲是父亲第二个妻子，在结婚前是一个贵族家的女仆，聪慧善良，仅能识字而不会写。在高斯亲属中的长辈中对他影响最大的要数腓特烈舅舅。腓特烈舅舅很有智慧，他靠自己钻研成为艺术绸缎的著名织匠，他十分喜爱聪明的高斯。高斯出生在一个贫苦的家庭，祖父是农民，父亲没有固定37有一次，舅舅带高斯在河边玩。舅舅看到河的上游漂来一根木头，便问高斯：“小高斯，你说木头为什么沉不下去?”

“木头轻呗!”小高斯不加思索地回答。

舅舅弯下腰，拾起一颗小石子，又问：“这颗石子重还是那根木头重?”

“木头重，大木头重多啦!”

舅舅并不吱声，只见他用力一扔，扑通一声，石子沉到了河底。

“……”有一次，舅舅带高斯在河边玩。舅舅看到河的上游漂来一38舅舅没有给小外甥解释，为什么比大木头轻的小石子会沉下去，但是，这件事给小高斯留下了难忘的印象。他认识到，要得到正确的结论，必须有严密的推理。他逐渐养成习惯，遇事一定要问几个“为什么”。在整个数学史上，没有人像高斯那样早熟，说来简直令人难以置信。当他还在咿呀学语时，母亲怀抱中的他就能把鸡栏中的小鸡数得一清二楚；舅舅没有给小外甥解释，为什么比大木头轻的小石子会沉下39他在3岁的时候就已经显示出不凡的智慧。有一个星期六的晚上，高斯的父亲在费力地计算工人的工资，他一点也没察觉到儿子在旁边观看着，当他好不容易计算出来后，松了一口气。不料小高斯过来拉拉他的衣角，细声说：“算错啦，爸爸。总数是……”父亲惊讶不已，决定重算一遍，结果是儿子对了!高斯父亲原来并不打算让高斯上学，看到如此聪明的儿子，他改变了主意。7岁时，父亲把高斯送进国民小学。他在3岁的时候就已经显示出不凡的智慧。有一个星期六的晚上，高40圣·凯瑟琳小学是高斯走进的第一所学校，管理学校的是个叫布特纳的教师，一位从柏林来的大学生。布特纳认为让他来教这些顽皮的乡下孩子，简直是大材小用，心情不好的他经常把怒气撒到学生身上，动辄揪着小学生的耳朵罚站墙角。小学生见到他，就像老鼠见了猫，吓得几乎连自己的名字都记不清子。可是，就从这个使孩子胆战心惊的老师身上，高斯找到了幸运。圣·凯瑟琳小学是高斯走进的第一所学校，管理学校的是41高斯上四年级的一天，神情严厉的布特纳夹着讲义来上算术课。这一天，他好像特别不高兴，阴沉着脸向大家说，如果做不好今天的题，就不用回家吃饭了。他让学生们计算1+2+3+…+100=?

随后，他拿出一本书读起来，教室里一片寂静，所有的学生都在急忙地计算，数字越加越大，稍不留心错一位，又得重新开始，有的同学满头是汗，有的同学急出了泪花。高斯上四年级的一天，神情严厉的布特纳夹着讲义来上算42高斯没有急于计算，而是细心地观察，他发现1+100=101，2+99=101，3+98=101，……，50+51=101。总共有50个101，他立刻得到：1+2+3+…+99+100=50×51=5050。

当他把写有答案的石板交给老师时，布特纳认为这个全班最小的学生准是瞎写了些什么或交了白卷，不耐烦地说：“再算算。”高斯捧着自己的小石板，轻声地说：“老师，我算完了。”高斯没有急于计算，而是细心地观察，他发现1+100=143

当布特纳的目光不经意地向石板上瞟了一眼时，他大吃一惊。要知道高斯用的这个方法，是许多古代数学家经过长期努力找出来的求等差级数和的方法，有经验的布特纳意识到这是一件不寻常的事。这个聪明的乡下孩子改变了他昔日的看法，他从柏林买来最好的算术书送给小高斯。

当布特纳的目光不经意地向石板上瞟了一眼时，他大吃一惊44

这些新书带给高斯极大的兴趣和喜悦，他把一个大萝卜挖成空心，在中间放上一块油脂，插上一个灯芯，一盏萝卜灯就做好了，每天晚上它陪伴着高斯在阁楼上学习到深夜。没用多长时间小高斯就把老师送给他的书都看完了，并且不断探索新问题。

“他已经超过我了，”布特纳不得不承认，“我没有更多东西可以教他了。”

这些新书带给高斯极大的兴趣和喜悦，他把一个大萝卜挖成45

幸好，这位校长有个年轻的助手巴特尔斯，他为人和善，对数学有特殊的爱好，他只比高斯大8岁，高斯很快和他结成形影不离的好朋友。两个人一起学习，相互切磋。他们冲破一道道障碍，解决一个个疑难。尤为可贵的是，现成的结论已经不能使高斯满足。他以批判的眼光对书上的结论逐个进行审查，一连要问上好几个“为什么”。在这个基础上，他开始对数学大师们的某些“证明”不客气地提出挑战。

幸好，这位校长有个年轻的助手巴特尔斯，他为人和善，对46

高斯成了当地有名的神童。有一天他边走边读书，不知不觉中闯入勃朗斯威克公爵费迪南的花园，公爵夫妇听说这个孩子就是高斯时，便对他进行了测验，发现高斯确实聪明。高斯的聪明才智得到费迪南公爵的赏识，他决定资助高斯深造。

15岁的高斯被送进卡罗琳学院，在那里他掌握了希腊文、拉丁文、法文，又学会了代数、几何、微积分，语言学和数学是他最喜欢的两门课程。

高斯成了当地有名的神童。有一天他边走边读书，不知不觉47这里的一切强烈地吸引着这个渴望知识的农村孩子，这是他步入科学殿堂的新起点。

课余时间，高斯常常留连于图书馆中钻研外文和数学。他专心研读了英国的牛顿、法国的拉格朗日、瑞士的欧拉这些大名鼎鼎的数学家的外文原著，他学习但不迷信，对大师们的某些证明有时也不客气地提出挑战。勤奋的学习得到了丰硕的成果。两年后，17岁的高斯发现了数论中的二次互反律。这个问题大数学家欧拉和勒让德都曾研究过，但第一个给出严格证明的是高斯。学院院长为此感到十分荣耀，亲自发给高斯奖状。这里的一切强烈地吸引着这个渴望知识的农村孩子，这是他48

18岁时，高斯在费迪南公爵的推荐下进入了哥廷根大学。这所大学的办学方式追随英国牛津大学、剑桥大学，奖金充裕。高斯对它格外倾心的原因还有两个，一是这里有极丰富的藏书，二是它注重改革，侧重科学的好名声。

数学和语言等几科学问都是高斯所钟爱的，究竟把哪种学问作为自己终生研究的职业，高斯久久拿不定主意。

18岁时，高斯在费迪南公爵的推荐下进入了哥廷根大学。491796年3月30日，19岁的高斯用直尺和圆规作出了正十七边形，自欧几里得时代起就困扰着历代数学家的尺规作图这一难题，两干多年后被高斯这个青年学生解决了，这一成果震动了数学界。这一成果最终决定了他走数学之路而非文学之路，高斯真正认识了自己的能力之所在。从1796年至1801年是高斯学术创作的最旺盛的阶段，他提出的定理、证明、概念、假设和理论每年平均25项之多，一颗璀璨的数学新星冉冉升起。1796年3月30日，19岁的高斯用直尺和圆规作出50

1807年，高斯被他的母校哥廷根大学聘为常任数学教授和天文台台长。天文台台长这个职务比一个通常的大学职位更适合于高斯，他是一个寡言的人，缜密思考是他的强项，他对教学的兴趣可不大，而天文台的工作可以激发他对应用数学和天文学的极大兴趣。在这个职位上他一直工作到1855年2月23日逝世之前。

1807年，高斯被他的母校哥廷根大学聘为常任数学教授51高斯几乎对数学的所有领域都做出了重大贡献，是许多数学学科的开创者和奠基人。数学家评论说：“在数学世界里，高斯处处留芳。”在代数学方面，他第一个证明了任何一个复系数的单变量的代数方程都至少有一个复数根。这一定理被称为代数基本定理。他还严谨地证明了任何复系数单变量n次方程有n个复数根。这两个定理的证明奠定了代数方程的理论基础高斯几乎对数学的所有领域都做出了重大贡献，是许多数学52

在数论方面，高斯在18世纪末完成了他的传世之作《算术研究》，其中的论等分圆周问题是这部专著的精华部分。这部著作给数论的研究开创了一个新纪元，是现代数论的基础。高斯非常偏爱数论，他曾经说过：“数学是科学之王，数论是数学之王。”以后的100年间，几乎所有数论方面的发现都能追溯到他的研究里去。

在数论方面，高斯在18世纪末完成了他的传世之作《算术53

高斯在曲面论、单复变函数论及其他方面也有卓越的贡献。此外，他还有大量成果在生前没有发表，其中最著名的有椭圆函数和非欧几何。高斯对科学持严谨慎重的态度，他绝不把没有完全成熟的成果拿出来发表，在他的日记里记载着大量非常有价值的研究成果，直到高斯去世后，人们才发现并被这些重大成果所震惊。

高斯在曲面论、单复变函数论及其他方面也有卓越的贡献。54

高斯24岁时，一个名叫皮亚齐的天文学家在意大利西西里岛的巴勒莫天文台核对星图时，发现了一个“没有尾巴的彗星”，它的直径只有770公里，他观察这个新面孔40多天，不久它被阳光所掩，随之就消失在太空中了。全世界的天文学家都竭尽全力搜寻它，可是在无垠的太空中去寻找一颗小星星，宛如大海里捞针，谈何容易。

高斯24岁时，一个名叫皮亚齐的天文学家在意大利西西里55高斯采用了新的数学方法，创立了行星椭圆轨道法，解决这个问题导致一个8次方程。为了算这个8次方程的近似解，高斯发明了“最小二乘法”，为了评价这种近似解的可信度，又建立了“误差论”。用高斯的新方法，只需三次观测数据就可以给小行星定位。高斯采用了新的数学方法，创立了行星椭圆轨道法，解决56

高斯取得的成果，当时并没有引起天文学家的重视。但是，当人们在高斯预言小行星将要出现的位置和时刻发现了小行星时，天文学家们大吃一惊。这就是人类历史上观测到的第一颗小行星，著名的“谷神星”。1802年，他又准确预测了小行星二号－－智神星的位置，这时他的声名远播，荣誉滚滚而来，俄国圣彼得堡科学院选他为会员，请他当哥廷根天文台主任，他没有立刻答应，到了1807年才前往哥廷根就任。

高斯取得的成果，当时并没有引起天文学家的重视。但是，571809年他写了《天体运动理论》二册，第一册包含了微分方程、圆锥截痕和椭圆轨道，第二册他展示了如何估计行星的轨道。高斯在天文学上的贡献大多在1817年以前，但他仍一直做着观察的工作到他七十岁为止。虽然做着天文台的工作，他仍抽空做其他研究。为了用积分解天体运动的微分力程，他考虑无穷级数，并研究级数的收敛问题，在1812年，他研究了超几何级数，并且把研究结果写成专题论文，呈给哥廷根皇家科学院。1809年他写了《天体运动理论》二册，第一册包含了微581820到1830年间，高斯为了测绘汗诺华公国的地图，开始做测地的工作，他写了关於测地学的书，由於测地上的需要，他发明了日观测仪。为了要对地球表面作研究，他开始对一些曲面的几何性质作研究。1827年他发表了《曲面的一般研究》，涵盖一部分现在大学念的《微分几何》。1820到1830年间，高斯为了测绘汗诺华公国的地59在1830到1840年间，高斯和一个比他小廿七岁的年轻物理学家－韦伯(WithelmWeber)一起从事磁的研究，他们的合作是很理想的：韦伯作实验，高斯研究理论，韦伯引起高斯对物理问题的兴趣，而高斯用数学工具处理物理问题，影响韦伯的思考工作方法。1833年高斯从他的天文台拉了一条长八千尺的电线，跨过许多人家的屋顶，一直到韦伯的实验室，以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机。在1830到1840年间，高斯和一个比他小廿七岁的601835年高斯在天文台里设立磁观测站，并且组织「磁协会」发表研究结果，引起世界广大地区对地磁作研究和测量。高斯已经得到了地磁的准确理论，他为了要获得实验数据的证明，他的书《地磁的一般理论》拖到1839年才发表。1835年高斯在天文台里设立磁观测站，并且组织「磁611840年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置。1841年美国科学家证实了高斯的理论，找到了磁南极和磁北极的确实位置。高斯一生勤奋努力，刻苦钻研，治学严谨，成果丰硕，对人类的科学事业做出了巨大贡献。他的格言是“宁肯少些，但要好些”。1840年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而62他的著作都是精心构思，反复推敲后以最精辟的形式论证的。高斯的个性孤僻，他更喜欢独自从事研究。他尽力避免学术论争，一些前瞻性的研究成果，为了避免“蠢人的讥笑，”他宁可把它们锁在抽屉的深处。他特别注意他的著作可能产生的影响，不达尽善尽美的程度绝不发表。所以他的著作远没有欧拉的著作多，但一旦下笔，就会在数学界引起反响。他的著作都是精心构思，反复推敲后以最精辟的形式论证的63他一生共发表论著155篇(部)，他是最后一位卓越的古典数学家，又是一位杰出的现代数学家。他不仅预见了19世纪的数学，还为19世纪的数学发展奠定了基础。

1855年2月3日清晨，高斯在睡眠中故去。许多政府和大学的高级官员都来参加高斯的葬礼，为这个不同凡响的数学巨匠送行他一生共发表论著155篇(部)，他是最后一位卓越的古64他的学生(后来成为法国科学院、柏林科学院、罗马科学院院士)戴德金是送葬抬棺者之一，高斯的女婿在悼词中赞扬他是难得的无与伦比的天才。高斯的大脑具有深而多的沟回，作为解剖标本被收藏于哥廷根大学。高斯被后人誉为“数学王子”。这种赞誉恰如其分，他是数学史上一个转折时期的杰出代表人物，起着承上启下的作用。在他身后，哥廷根大学对高斯的遗著及文稿进行整理，历时67年，出版了《高斯全集》共12卷。他的学生(后来成为法国科学院、柏林科学院、罗马科学65谢谢谢谢66第六章近代数学的两座灯塔课件67第六章近代数学的两座灯塔课件68第六章近代数学的两座灯塔课件69第六章近代数学的两座灯塔课件70第六章近代数学的两座灯塔课件71万能顾问

欧拉（LeonhardEuler公元1707-1783年）1707年出生在瑞士的巴塞尔（Basel）

城，13岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（JohannBernoulli，1667-1748年）的精心指导．欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！万能顾问欧拉（LeonhardEuler公元1707-72他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文．到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清．他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下73他对数学分析的贡献更独具匠心，《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为"分析学的化身"．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年．他对数学分析的贡献更独具匠心，《无穷小分析引论》一书便74欧拉出生於牧师家庭，自幼受到父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣的是数学。在上大学时，他已受到约翰·伯努利的特别指导，专心研究数学。18岁时，他彻底的放弃了当牧师的想法而专攻数学，并开始发表文章。欧拉出生於牧师家庭，自幼受到父亲的教育。13岁时入读751727年，在丹尼尔·伯努利的推荐下，欧拉到俄国的彼得堡科学院从事研究工作，并在1731年接替丹尼尔·伯努利，成为物理学教授。

在俄国的14年中，他努力不懈地投入研究工作，在分析学、数论及力学方面均有出色的表现。此外，欧拉还应俄国政府的要求，解决了不少如地图学、造船业等的实际问题。1727年，在丹尼尔·伯努利的推荐下，欧拉到俄国的彼761735年，他因工作过度以致右眼失明。在1741年，他受到普鲁士腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职，长达25年。他在柏林期间的研究内容更加广泛，涉及行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等等，这些工作与他的数学研究互相推动着。与此同时，他在微分方程、曲面微分几何及其他数学领域均有开创性的发现。1735年，他因工作过度以致右眼失明。在1741年，77

1766年，他应俄国沙皇喀德林二世的礼聘重回彼得堡。1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了．沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来．

1766年，他应俄国沙皇喀德林二世的礼聘重回彼得堡。78在他完全失明之前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A·欧拉（数学家和物理学家）笔录．欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久在他完全失明之前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的79欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，心算并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成．有一个例子足以说明他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来．欧拉在失明的17年中；还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题．欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代80欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家，从19岁起和欧拉通信，讨论等周问题的一般解法，这引起变分法的诞生．等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就，并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传，并赢得巨大的声誉．欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家，81他晚年的时候，欧洲所有的数学家都把他当作老师，著名数学家拉普拉斯（Laplace）曾说过："欧拉是我们的导师．"欧拉充沛的精力保持到最后一刻，1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王星刚发现不久，欧拉写出了计算天王星轨道的要领.他晚年的时候，欧洲所有的数学家都把他当作老师，著名数82这时还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地说："我死了"，欧拉终于"停止了生命和计算"．欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的．这时还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从83欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tan（1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等．欧拉还创设了许多数学符号，84哥尼斯堡七桥问题18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。哥尼斯堡七桥问题18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城85ABCDABCD86七桥问题引起了著名数学家欧拉的关注。他把具体七桥布局化归为图2所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点？七桥问题引起了著名数学家欧拉的关注。他把具体七桥布局87第六章近代数学的两座灯塔课件88欧拉经过研究得出的结论是：该图是不能一笔画出的图形。这就是说，七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢？请看下面的分析。如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。如果画笔经过该点n次，那么就有2n条线与该点相连结。因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。欧拉经过研究得出的结论是：该图是不能一笔画出的图形。89如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果90图中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。1736年，欧拉在圣彼得堡科学院作了一次学术报告。在报告中，他证明了上述结论。后来他又给出了鉴别任一图形能否一笔画出的准则，即欧拉定理。图中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相91分析的化身欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。此外，他是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》，《微分学原理》，以及《积分学原理》都成为数学中的经典着作。除了教科书外，欧拉平均以每年800页的速度写出创造性论文。他去世后，人们整理出他的研究成果多达74卷。分析的化身欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不92欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支，如无穷级数、微分方程等的产生与发展奠定了基础。

欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目。他计算出了ξ函数在偶数点的值，他证明了是有理数，而且可以伯努利数来表示。此外，他对调和级数亦有所研究，并相当精确的计算出欧拉常数γ的值，其值近似为0.57721566490153286060651209…欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析93在18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理方面的问过程中，创立了微分方程这门学科。其中在常微分方程方面，他完整地解决了n阶常系数线性齐次方程的问题，对於非齐次方程，他提出了一种降低方程阶的解法；在偏微分方程方面，欧拉将二维物体振动的问题，归结出了一、二、三维波动方程的解法。欧拉所写的《方程的积分法研究》更是偏微分方程在纯数学研究中的第一篇论文。在18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理方面的问94在微分几何方面，欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了空间曲线曲率半径的解析表达方式。在1766年，他出版了《关於曲面上曲线的研究》，这是欧拉对微分几何最重要的贡献，更是微分几何发展史上一个里程碑。他将曲面表为z=f(x,y)，并引入一系列标准符号以表示z对x,y的偏导数，这些符号至今仍通用。此外，在该著作中，他亦得到了曲面在任意截面上截线的曲率公式。在微分几何方面，欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了95欧拉在分析学上的贡献不胜枚举，如他引入了G函数和B函数，这证明了椭圆积分的加法定理，以及最早引入二重积分等等。数学史家认为，欧拉的著作《无穷小分析引论》是第一部最系统的分析学的著作。《引论》首次把函数概念放在突出的地位，并把函数的概念作为全书的基础。欧拉在分析学上的贡献不胜枚举，如他引入了G函数和B函96《引论》的第一章就是函数概念，第四章是用无穷级数解释函数，给无穷级数理论注入了新的生命。第六章是用函数观点讨论指数与对数。《引论》把三角学发展到一个崭新的阶段，使三角学脱离了天文学而发展为分析学的一个分支。欧拉用分析方法研究三角学时，发现了一个重要公式：欧拉令x=π,便得到一个奇妙的恒等式。《引论》的第一章就是函数概念，第四章是用无穷级数解释97这个恒等式把数学中最基本的5个数1，0，i，π，e用一个恒等式联系起来了。德国数学家克莱因认为，这时整个数学中最卓越最漂亮的公式之一。欧拉的《引论》及他的其他一些著作，对以后的数学家有极大的吸引力。因为欧拉是杰出的方法发明家，是善于用归纳法进行数学研究的大师。这个恒等式把数学中最基本的5个数1，0，i，π，e用一98他在自己的著作中，总是下功夫把有关的归纳证明细心地，详尽地，有条有理地写出来，坦率地表述把他引向发现的那些思想。因此读欧拉的著作，不只是能学到现成的结论，更重要的是能学到获得这些结论的思考方法。大概由于这个缘故，欧拉的著作被视为学习数学的最好学校。高斯在信中写到：“学习欧拉的著作，乃是认识数学的最好工具。”他在自己的著作中，总是下功夫把有关的归纳证明细心地，99鉴于欧拉对微积分的贡献，同时代的人称他为“分析的化身”，约翰·伯努利这样赞许这位学生在分析方面青出于蓝：“我介绍高等分析时，它还是个孩子，而欧拉正将它带大成人。”鉴于欧拉对微积分的贡献，同时代的人称他为“分析的化身1002.数学王子高斯2.数学王子高斯101在德国哥廷根大学的广场上，引人注目地矗立着一座用白色大理石砌成的纪念碑，它的底座砌成正十七边形，纪念碑上是一个青铜雕像，他就是高斯。高斯是德国最伟大的数学家，1777年4月30日生于德国的不伦瑞克，1855年2月23日逝世于哥廷根。由于他非凡的数学才华和伟大成就，人们尊崇他为“数学王子”。在德国哥廷根大学的广场上，引人注目地矗立着一座用102高斯出生在一个贫苦的家庭，祖父是农民，父亲没有固定职业，为了维持生计，做过多种工作，没有受太多的教育，但也能写会算。母亲是父亲第二个妻子，在结婚前是一个贵族家的女仆，聪慧善良，仅能识字而不会写。在高斯亲属中的长辈中对他影响最大的要数腓特烈舅舅。腓特烈舅舅很有智慧，他靠自己钻研成为艺术绸缎的著名织匠，他十分喜爱聪明的高斯。高斯出生在一个贫苦的家庭，祖父是农民，父亲没有固定103有一次，舅舅带高斯在河边玩。舅舅看到河的上游漂来一根木头，便问高斯：“小高斯，你说木头为什么沉不下去?”

“木头轻呗!”小高斯不加思索地回答。

舅舅弯下腰，拾起一颗小石子，又问：“这颗石子重还是那根木头重?”

“木头重，大木头重多啦!”

舅舅并不吱声，只见他用力一扔，扑通一声，石子沉到了河底。

“……”有一次，舅舅带高斯在河边玩。舅舅看到河的上游漂来一104舅舅没有给小外甥解释，为什么比大木头轻的小石子会沉下去，但是，这件事给小高斯留下了难忘的印象。他认识到，要得到正确的结论，必须有严密的推理。他逐渐养成习惯，遇事一定要问几个“为什么”。在整个数学史上，没有人像高斯那样早熟，说来简直令人难以置信。当他还在咿呀学语时，母亲怀抱中的他就能把鸡栏中的小鸡数得一清二楚；舅舅没有给小外甥解释，为什么比大木头轻的小石子会沉下105他在3岁的时候就已经显示出不凡的智慧。有一个星期六的晚上，高斯的父亲在费力地计算工人的工资，他一点也没察觉到儿子在旁边观看着，当他好不容易计算出来后，松了一口气。不料小高斯过来拉拉他的衣角，细声说：“算错啦，爸爸。总数是……”父亲惊讶不已，决定重算一遍，结果是儿子对了!高斯父亲原来并不打算让高斯上学，看到如此聪明的儿子，他改变了主意。7岁时，父亲把高斯送进国民小学。他在3岁的时候就已经显示出不凡的智慧。有一个星期六的晚上，高106圣·凯瑟琳小学是高斯走进的第一所学校，管理学校的是个叫布特纳的教师，一位从柏林来的大学生。布特纳认为让他来教这些顽皮的乡下孩子，简直是大材小用，心情不好的他经常把怒气撒到学生身上，动辄揪着小学生的耳朵罚站墙角。小学生见到他，就像老鼠见了猫，吓得几乎连自己的名字都记不清子。可是，就从这个使孩子胆战心惊的老师身上，高斯找到了幸运。圣·凯瑟琳小学是高斯走进的第一所学校，管理学校的是107高斯上四年级的一天，神情严厉的布特纳夹着讲义来上算术课。这一天，他好像特别不高兴，阴沉着脸向大家说，如果做不好今天的题，就不用回家吃饭了。他让学生们计算1+2+3+…+100=?

随后，他拿出一本书读起来，教室里一片寂静，所有的学生都在急忙地计算，数字越加越大，稍不留心错一位，又得重新开始，有的同学满头是汗，有的同学急出了泪花。高斯上四年级的一天，神情严厉的布特纳夹着讲义来上算108高斯没有急于计算，而是细心地观察，他发现1+100=101，2+99=101，3+98=101，……，50+51=101。总共有50个101，他立刻得到：1+2+3+…+99+100=50×51=5050。

当他把写有答案的石板交给老师时，布特纳认为这个全班最小的学生准是瞎写了些什么或交了白卷，不耐烦地说：“再算算。”高斯捧着自己的小石板，轻声地说：“老师，我算完了。”高斯没有急于计算，而是细心地观察，他发现1+100=1109

当布特纳的目光不经意地向石板上瞟了一眼时，他大吃一惊。要知道高斯用的这个方法，是许多古代数学家经过长期努力找出来的求等差级数和的方法，有经验的布特纳意识到这是一件不寻常的事。这个聪明的乡下孩子改变了他昔日的看法，他从柏林买来最好的算术书送给小高斯。

当布特纳的目光不经意地向石板上瞟了一眼时，他大吃一惊110

这些新书带给高斯极大的兴趣和喜悦，他把一个大萝卜挖成空心，在中间放上一块油脂，插上一个灯芯，一盏萝卜灯就做好了，每天晚上它陪伴着高斯在阁楼上学习到深夜。没用多长时间小高斯就把老师送给他的书都看完了，并且不断探索新问题。

“他已经超过我了，”布特纳不得不承认，“我没有更多东西可以教他了。”

这些新书带给高斯极大的兴趣和喜悦，他把一个大萝卜挖成111

幸好，这位校长有个年轻的助手巴特尔斯，他为人和善，对数学有特殊的爱好，他只比高斯大8岁，高斯很快和他结成形影不离的好朋友。两个人一起学习，相互切磋。他们冲破一道道障碍，解决一个个疑难。尤为可贵的是，现成的结论已经不能使高斯满足。他以批判的眼光对书上的结论逐个进行审查，一连要问上好几个“为什么”。在这个基础上，他开始对数学大师们的某些“证明”不客气地提出挑战。

幸好，这位校长有个年轻的助手巴特尔斯，他为人和善，对112

高斯成了当地有名的神童。有一天他边走边读书，不知不觉中闯入勃朗斯威克公爵费迪南的花园，公爵夫妇听说这个孩子就是高斯时，便对他进行了测验，发现高斯确实聪明。高斯的聪明才智得到费迪南公爵的赏识，他决定资助高斯深造。

15岁的高斯被送进卡罗琳学院，在那里他掌握了希腊文、拉丁文、法文，又学会了代数、几何、微积分，语言学和数学是他最喜欢的两门课程。

高斯成了当地有名的神童。有一天他边走边读书，不知不觉113这里的一切强烈地吸引着这个渴望知识的农村孩子，这是他步入科学殿堂的新起点。

课余时间，高斯常常留连于图书馆中钻研外文和数学。他专心研读了英国的牛顿、法国的拉格朗日、瑞士的欧拉这些大名鼎鼎的数学家的外文原著，他学习但不迷信，对大师们的某些证明有时也不客气地提出挑战。勤奋的学习得到了丰硕的成果。两年后，17岁的高斯发现了数论中的二次互反律。这个问题大数学家欧拉和勒让德都曾研究过，但第一个给出严格证明的是高斯。学院院长为此感到十分荣耀，亲自发给高斯奖状。这里的一切强烈地吸引着这个渴望知识的农村孩子，这是他114

18岁时，高斯在费迪南公爵的推荐下进入了哥廷根大学。这所大学的办学方式追随英国牛津大学、剑桥大学，奖金充裕。高斯对它格外倾心的原因还有两个，一是这里有极丰富的藏书，二是它注重改革，侧重科学的好名声。

数学和语言等几科学问都是高斯所钟爱的，究竟把哪种学问作为自己终生研究的职业，高斯久久拿不定主意。

18岁时，高斯在费迪南公爵的推荐下进入了哥廷根大学。1151796年3月30日，19岁的高斯用直尺和圆规作出了正十七边形，自欧几里得时代起就困扰着历代数学家的尺规作图这一难题，两干多年后被高斯这个青年学生解决了，这一成果震动了数学界。这一成果最终决定了他走数学之路而非文学之路，高斯真正认识了自己的能力之所在。从1796年至1801年是高斯学术创作的最旺盛的阶段，他提出的定理、证明、概念、假设和理论每年平均25项之多，一颗璀璨的数学新星冉冉升起。1796年3月30日，19岁的高斯用直尺和圆规作出116

1807年，高斯被他的母校哥廷根大学聘为常任数学教授和天文台台长。天文台台长这个职务比一个通常的大学职位更适合于高斯，他是一个寡言的人，缜密思考是他的强项，他对教学的兴趣可不大，而天文台的工作可以激发他对应用数学和天文学的极大兴趣。在这个职位上他一直工作到1855年2月23日逝世之前。

1807年，高斯被他的母校哥廷根大学聘为常任数学教授117高斯几乎对数学的所有领域都做出了重大贡献，是许多数学学科的开创者和奠基人。数学家评论说：“在数学世界里，高斯处处留芳。”在代数学方面，他第一个证明了任何一个复系数的单变量的代数方程都至少有一个复数根。这一定理被称为代数基本定理。他还严谨地证明了任何复系数单变量n次方程有n个复数根。这两个定理的证明奠定了代数方程的理论基础高斯几乎对数学的所有领域都做出了重大贡献，是许多数学118

在数论方面，高斯在18世纪末完成了他的传世之作《算术研究》，其中的论等分圆周问题是这部专著的精华部分。这部著作给数论的研究开创了一个新纪元，是现代数论的基础。高斯非常偏爱数论，他曾经说过：“数学是科学之王，数论是数学之王。”以后的100年间，几乎所有数论方面的发现都能追溯到他的研究里去。

在数论方面，高斯在18世纪末完成了他的传世之作《算术119

高斯在曲面论、单复变函数论及其他方面也有卓越的贡献。此外，他还有大量成果在生前没有发表，其中最著名的有椭圆函数和非欧几何。高斯对科学持严谨慎重的态度，他绝不把没有完全成熟的成果拿出来发表，在他的日记里记载