重积分-重积分的概念与性质课件

8.1重积分的概念与性质18.1重积分的概念与性质18.1.1重积分的定义回顾在第五章中用定积分计算物体的质量问题，假定物体的密度是连续变化的。首先考虑一根长度为l的细直杆的质量。不妨假定它在轴上占据区间[0，l]，设其线密度为28.1.1重积分的定义回顾在第五章中用定积分如果我们所考虑的物体是一平面薄板，不妨假定它占有xoy坐标面上的区域D，并设其面密度函数为=(x,y)≠常数。这里(x,y)>0且在D上连续。yxo3如果我们所考虑的物体是一平面薄板，不妨假定它占有如果我们考虑的物体占据三维空间o-xyz的闭区域Ω，其体密度函数为=(x,y,z)≠常数,则其质量可表示为4如果我们考虑的物体占据三维空间o-xyz的闭区域Ω，定义8.1.1设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将区域D任意分割成n个小区域如果当各小区域直径的最大值趋于零时，上述和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作5定义8.1.1设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数积分区域积分和积分变量被积表达式面积元素被积函数由二重积分的定义可知，平面薄板的质量是面密度函数在薄板所占闭区域上的二重积分6积分区域积分和积分变量被积表达式面积元素被积函数定义8.1.2设是Rn中一个可求体积（n=2时为面积）的有界闭区域，f(X)是在上有定义的有界函数，将分割为彼此没有公共内点的任意闭子域7定义8.1.2设是Rn中一个可求体积（n=2时为面如果当0时，上述和式的极限存在，并且该极限与的分割方式及Xi的取法无关，我们称该极限值为函数f(X)在上的n(重)积分，记为其中f(X)称为被积函数，称为积分区域，也称函数f(X)在上可积。特别地，当n=2时函数f(X)=f(x,y)(x,y)D，即为函数f(x,y)在D上的二重积分，d称为面积元素。8如果当0时，上述和式的极限存在，并且该极限当n=3时函数f(X)=f(x,y,z)(x,y,z)，即为函数f(x,y,z)在上的三重积分，dv称为体积元素。有了上述定义，空间立体的质量也可以通过密度函数的三重积分来表示，即可以证明定理8.1.1

(1)（充分条件）若f(X)在上连续，则它在上可积；(2)（必要条件）若f(X)在上可积，则它在上有界。9当n=3时函数f(X)=f(x,y,z)(x,8.1.2 重积分的性质我们仅给出二重积分的性质，三重积分的性质完全类似。假设性质中涉及的函数在相应区域上均可积，D、D1、D2都是平面上的有界闭区域。(2)(关于被积函数的线性可加性）若、为常数，则表示D的面积108.1.2 重积分的性质我们仅给出二重积(3)（关于积分区域的可加性）无公共内点，则(4)（积分不等式）如果在D上有f(x,y)g(x,y),则特别地，有11(3)（关于积分区域的可加性）无公共内点，则(4)（积分不等(5)（估值定理）设M、m分别是f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，表示D的面积，则(6)（中值定理）设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，表示D的面积，则至少存在一点(,)，使下面仅给出结论(5)、(6)的证明。12(5)（估值定理）设M、m分别是f(x,y)在有界闭区域D上1313(1)D1：x轴、y轴及x+y=1所围；(2)D2：(x2)2+(y1)22解

(1)因为在区域D1上0

x+y1，(x+y)3

(x+y)2根据性质5，得14(1)D1：x轴、y轴及x+y=1所围；解(1)因为在12从图形易知在D上除切点外，处处有x+y>1(x+y)2<(x+y)3所以有(x－2)2+(y－1)22该圆域与直线x+y=1相切。1512从图形易知在D上除切点外，处处有x例3利用二重积分的性质，估计积分的值。解因为fx=2x，fy=8y，所以有驻点(0,0)。先求f(x,y)=x2+4y2+1在D上的最大值、最小值。f(0,0)=1。16例3利用二重积分的性质，估计积分的值。解因为fx=2x显然，在边界上f(x,y)的最小值为2，最大值5。于是f(x,y)在D上的最小值为1，最大值为5，积分区域的面积为。所以有17显然，在边界上f(x,y)的最小值为2，最大值5。8.2二重积分的计算法利用二重积分的定义直接计算二重积分一般很困难，计算二重积分的基本途径是将二重积分转化为累次积分，然后通过计算两次定积分来计算二重积分。188.2二重积分的计算法利用二重积分8.2.1利用直角坐标计算二重积分设f(x,y)是定义在平面区域D上的非负连续函数，以D为底面，以曲面f(x,y)为顶面，以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面为侧面所围成的立体称为曲顶柱体。如何求该曲顶柱体的体积呢？1、曲顶柱体的体积------

二重积分的几何意义198.2.1利用直角坐标计算二重积分设f((1)分割用一组曲线网将D分成n个小闭区域1,2,

…,n

，分别以这些小区域的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，这些柱面将原来的曲顶柱体分割成n个细曲顶柱体。20(1)分割用一组曲线网将D分成n个小闭区域1,(2)近似当这些小区域的直径di很小时，由于f(x,y)连续，对于同一个小区域上的不同点，f(x,y)的变化很小，细曲顶柱体可近似地看作平顶柱体21(2)近似当这些小区域的直径di很小时，由于21由二重积分定义立即得到这也是二重积分的几何意义。22由二重积分定义立即得到这也是二重积分的几何意义。2223232.区域的不等式组表示(举例)例下列不等式组各表示什么区域242.区域的不等式组表示(举例)例下列不等式组各表示什么区例下列图形怎么用不等式（组）表示25例下列图形怎么用不等式（组）表示253、二重积分的计算法用几何观点讨论。应用“定积分”中求“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法计算这个曲顶柱体的体积。(1)设f(x,y)0，f(x,y)在D上连续。［X－型］oabxyoabxy263、二重积分的计算法用几何观点讨论。应用“定积分”中求“平oax0

bxyz在区间[a,b]上任取一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间[

1(x0),

2(x0)]为底、曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形，其截面面积为：先计算截面面积。27oax0b一般地，过区间[a,b]上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面面积为：

于是，应用计算平行截面面积为已知的立方体体积的方法，得曲顶柱体体积为

这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式oax

bxyz28一般地，过区间[a,b]上任一点x且平行于yOz面的上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。就是说，先把x看作常数，把f(x,y)只看作y的函数，并对y计算从1(x)到

2(x)的定积分；再把计算所得的结果（是x的函数）对x计算在区间[a,b]上的定积分。这个先对y、后对x的二次积分也常记作29上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。［Y－型］DyoxdcyoxdcD30［Y－型］DyoxdyoxdD30计算时先把y看作常数，因此f(x,y)是x的一元函数，在区间1(y)x2(y)上对x积分,得到一个关于y的函数,再在区间cyd上对y积分,。这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分的公式。31计算时先把y看作常数，因此f(x,y)是x的应用公式(1)时，积分区域必须是X型区域。应用公式(2)时，积分区域必须是Y型区域。X型区域D的特点是：穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点。Y型区域D的特点是：穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点。32应用公式(1)时，积分区域必须是X型区域。若积分区域D既不是X型区域也不是Y型区域，D，此时要将积分区域D分成几部分，使得每一部分是X型区域或Y型区域，再利用积分关于区域的可加性可得整个区域上的积分。yox若积分区域D既是X型区域也是Y型区域，则。这表明二次积分可以交换积分次序。33若积分区域D既不是X型区域也不是Y型区域，D，此时4二重积分计算的一般方法要依被积函数及积分区域两方面的情况选定积分顺序。化为两次单积分(1)作图，确定D的类型。(2)选定积分顺序。(3)定出积分上下限。(4)计算定积分。确定积分顺序之后，积分的上下限是依D的特点而定的。要使两次积分都能“积得出”，“易积出”。344二重积分计算的一般方法要依被积函数及积分区3535O1x(4,-2)-221

y(1，1)评注本例说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序，这时既要考虑区域D的形状，又要考虑函数f(x,y)的特性。36O15交换积分顺序①由所给的积分顺序及积分限写出D的不等式表示并画出积分区域的草图②由积分区域按新的积分顺序确定积分限。例3

交换以下积分的积分顺序375交换积分顺序①由所给的积分顺序及积分限写出D的不等式表课内练习一

改变以下二次积分的积分次序38课内练习一改变以下二次积分的积分次序381o2xy1yx391o2xy1yx39y40y408.1重积分的概念与性质418.1重积分的概念与性质18.1.1重积分的定义回顾在第五章中用定积分计算物体的质量问题，假定物体的密度是连续变化的。首先考虑一根长度为l的细直杆的质量。不妨假定它在轴上占据区间[0，l]，设其线密度为428.1.1重积分的定义回顾在第五章中用定积分如果我们所考虑的物体是一平面薄板，不妨假定它占有xoy坐标面上的区域D，并设其面密度函数为=(x,y)≠常数。这里(x,y)>0且在D上连续。yxo43如果我们所考虑的物体是一平面薄板，不妨假定它占有如果我们考虑的物体占据三维空间o-xyz的闭区域Ω，其体密度函数为=(x,y,z)≠常数,则其质量可表示为44如果我们考虑的物体占据三维空间o-xyz的闭区域Ω，定义8.1.1设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将区域D任意分割成n个小区域如果当各小区域直径的最大值趋于零时，上述和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作45定义8.1.1设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数积分区域积分和积分变量被积表达式面积元素被积函数由二重积分的定义可知，平面薄板的质量是面密度函数在薄板所占闭区域上的二重积分46积分区域积分和积分变量被积表达式面积元素被积函数定义8.1.2设是Rn中一个可求体积（n=2时为面积）的有界闭区域，f(X)是在上有定义的有界函数，将分割为彼此没有公共内点的任意闭子域47定义8.1.2设是Rn中一个可求体积（n=2时为面如果当0时，上述和式的极限存在，并且该极限与的分割方式及Xi的取法无关，我们称该极限值为函数f(X)在上的n(重)积分，记为其中f(X)称为被积函数，称为积分区域，也称函数f(X)在上可积。特别地，当n=2时函数f(X)=f(x,y)(x,y)D，即为函数f(x,y)在D上的二重积分，d称为面积元素。48如果当0时，上述和式的极限存在，并且该极限当n=3时函数f(X)=f(x,y,z)(x,y,z)，即为函数f(x,y,z)在上的三重积分，dv称为体积元素。有了上述定义，空间立体的质量也可以通过密度函数的三重积分来表示，即可以证明定理8.1.1

(1)（充分条件）若f(X)在上连续，则它在上可积；(2)（必要条件）若f(X)在上可积，则它在上有界。49当n=3时函数f(X)=f(x,y,z)(x,8.1.2 重积分的性质我们仅给出二重积分的性质，三重积分的性质完全类似。假设性质中涉及的函数在相应区域上均可积，D、D1、D2都是平面上的有界闭区域。(2)(关于被积函数的线性可加性）若、为常数，则表示D的面积508.1.2 重积分的性质我们仅给出二重积(3)（关于积分区域的可加性）无公共内点，则(4)（积分不等式）如果在D上有f(x,y)g(x,y),则特别地，有51(3)（关于积分区域的可加性）无公共内点，则(4)（积分不等(5)（估值定理）设M、m分别是f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，表示D的面积，则(6)（中值定理）设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，表示D的面积，则至少存在一点(,)，使下面仅给出结论(5)、(6)的证明。52(5)（估值定理）设M、m分别是f(x,y)在有界闭区域D上5313(1)D1：x轴、y轴及x+y=1所围；(2)D2：(x2)2+(y1)22解

(1)因为在区域D1上0

x+y1，(x+y)3

(x+y)2根据性质5，得54(1)D1：x轴、y轴及x+y=1所围；解(1)因为在12从图形易知在D上除切点外，处处有x+y>1(x+y)2<(x+y)3所以有(x－2)2+(y－1)22该圆域与直线x+y=1相切。5512从图形易知在D上除切点外，处处有x例3利用二重积分的性质，估计积分的值。解因为fx=2x，fy=8y，所以有驻点(0,0)。先求f(x,y)=x2+4y2+1在D上的最大值、最小值。f(0,0)=1。56例3利用二重积分的性质，估计积分的值。解因为fx=2x显然，在边界上f(x,y)的最小值为2，最大值5。于是f(x,y)在D上的最小值为1，最大值为5，积分区域的面积为。所以有57显然，在边界上f(x,y)的最小值为2，最大值5。8.2二重积分的计算法利用二重积分的定义直接计算二重积分一般很困难，计算二重积分的基本途径是将二重积分转化为累次积分，然后通过计算两次定积分来计算二重积分。588.2二重积分的计算法利用二重积分8.2.1利用直角坐标计算二重积分设f(x,y)是定义在平面区域D上的非负连续函数，以D为底面，以曲面f(x,y)为顶面，以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面为侧面所围成的立体称为曲顶柱体。如何求该曲顶柱体的体积呢？1、曲顶柱体的体积------

二重积分的几何意义598.2.1利用直角坐标计算二重积分设f((1)分割用一组曲线网将D分成n个小闭区域1,2,

…,n

，分别以这些小区域的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，这些柱面将原来的曲顶柱体分割成n个细曲顶柱体。60(1)分割用一组曲线网将D分成n个小闭区域1,(2)近似当这些小区域的直径di很小时，由于f(x,y)连续，对于同一个小区域上的不同点，f(x,y)的变化很小，细曲顶柱体可近似地看作平顶柱体61(2)近似当这些小区域的直径di很小时，由于21由二重积分定义立即得到这也是二重积分的几何意义。62由二重积分定义立即得到这也是二重积分的几何意义。2263232.区域的不等式组表示(举例)例下列不等式组各表示什么区域642.区域的不等式组表示(举例)例下列不等式组各表示什么区例下列图形怎么用不等式（组）表示65例下列图形怎么用不等式（组）表示253、二重积分的计算法用几何观点讨论。应用“定积分”中求“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法计算这个曲顶柱体的体积。(1)设f(x,y)0，f(x,y)在D上连续。［X－型］oabxyoabxy663、二重积分的计算法用几何观点讨论。应用“定积分”中求“平oax0

bxyz在区间[a,b]上任取一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间[

1(x0),

2(x0)]为底、曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形，其截面面积为：先计算截面面积。67oax0b一般地，过区间[a,b]上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面面积为：

于是，应用计算平行截面面积为已知的立方体体积的方法，得曲顶柱体体积为

这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式oax

bxyz68一般地，过区间[a,b]上任一点x且平行于yOz面的上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。就是说，先把x看作常数，把f(x,y)只看作y的函数，并对y计算从1(x)到

2(x)的定积分；再把计算所得的结果（是x的函数）对x计算在区间[a,b]上的定积分。这个先对y、后对x的二次积分也常记作69上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。［Y－型］DyoxdcyoxdcD70［Y－型］DyoxdyoxdD30计算时先把y看作常数，因此f(x,y)是x的一元函数，在区间1(y)x2(y)上对x积分,得到一个关于y的函数,再在区间