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2DD一、 公式1.区域连通性的分类设D为平面区域,如果D内任一简单闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域3公式设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则有Pdx

Qdyx

yQ

PLD(

)dxdy

(1)2.公式公式(1)称其中L是D的取正向的边界曲线.公式.4DLl他的左边.O

x注P、Q在闭区域D上一阶偏导数的连续性;曲线L是封闭的,并且取正向.规定

边界曲线L的正向当观察者沿边界行走时,区域DyLD5D

{(

x,

y)1

(

x)

y

2

(

x),a

x

b}D

{(

x,

y)

1

(

y)

x

2

(

y),c

y

d

}证明(1)先对简单区域证明:若区域D既是X

型又是Y

型即平行于坐标轴的直线和L至多交于两点.xyO

abdcD2y

(

x)ABCEx

2

(

y)y

1

(

x)x

1

(

y)6Dx

1

(

y)xQdxdy

c2Q(

(

y),

y)dy

CBE同理可证

Q(

x,

y)dy

dcdydc1Q(

(

y),

y)dyDPdx

Qdyx

yQ

P

)dxdy

L(EACQ(

x,

y)dyDdcddyQ(

x,

y)2

(

y

)1

(y

)dxx2

Q

(

y

)

1

(

y

)CBECAE

Q(

x,

y)dy

Q(

x,

y)dyLDQ

Px

yPdx

Qdy

)dxdy

(

L

Q(

x,

y)dyx

2

(

y)xyOdcABCE7DLL1D1D2D3x

yQ

P(

)dxdy

D积分区域的可加性(2)再对一般单连通区域证明:若区域D由一条按段滑的闭曲线围成.(如图)将D分成三个既是X

型又是Y

型的区域D1

,D2

,D3

.光y(Q

P

)dxdyD1

D2

D3

x2LL3L

Pdx

Qdy)1,23L

L

,(LD(

)dxdy1

2

3D

D

D(Q

P

)dxdyx

yx

yQ

P

)dxdyQ

P

(

x

y

)dxdyQ

Px

yQ

Px

y

)dxdy(1D2

(DD3L1

L2

Pdx

Qdy

Pdx

Qdy

L

Pdx

Qdy3DL1LL2L3D1D28D39L13LD由(2)知(Q

P

)dxdyx

y3L(

0,

0)AB

BA

CE

EC

L

Pdx

Qdy

(

L1,

L2

,

L3)2

L

AFC

CGA(3)

对复连通区域证明:对复区连通不区域D,格林闭公式(

Pdx

Qdy)2L

1L右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分,且边界的方向对区域D来说都是正向.GFCEAL2BLDP

Q

xd

xPQdyxy

d

d公式的实质沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系.便于

形式:

DPdx

Qdyx

yQ

P

)dxdy

L(102dxdy

L

xdy

ydx(1)计算平面闭区域面积3.简单应用Q

Px

y)dxdyL

y

xPdx

QdyD(公式L2闭区域D的面积

A

1

xdy

ydx得D11xy例1

求椭圆x

a

cos

t,

y

b

sin

t,0

t

2解由公式得ab(cos2

t

sin2

t

)dtDOA

1220

ab所围成的面积.12xdy

ydxA

L12.1(2)简化曲线积分的计算例2计算I

Lye

ydx

(

xy3

xe

2

y)dy,其中L为圆周x2

y2

2x

的正向.解

P

e

y

,

Q

xy3

xe

y

2

yP

e

y

,

Q

y3

e

yy

xQ

P

y3x

y

对称性由O2

xy公式有I

y3dxdy

0D13对平面闭曲线上的对坐标曲线积分,当Q

P

比较简单时,常常考虑通过x

y公式化为二重积分来计算.P、Q在闭区域D上一阶偏导数的连续性;曲线L是封闭的,并且取正向.14例3

计算x(e

cos

y

m)dy,AOx(e

sin

y

my)dx

xQ

e

cos

y

mxQ

ex

cos

y,yP

ex

cos

y

m可知Q

P

mx

y非常简单.其中⌒是从点A(a,0)到点O(0,0)的上半圆周AOx2

y2

ax.分析此积分路径A⌒O

不是闭曲线!x但由P

e sin

y

my,OxyA(a,

0)1516Oxy为应用公式再补充一段曲线,使之构成闭曲线.因在补充的曲线上还要算曲线积分,所以补充的曲线要简单,通常是补充与坐标轴平行的Dmdxdy(ex

sin

y

my)dx

(ex

cos

y

m)dy

AO

OA解

由

公式281

ma直线段.因而这里补加直线段OA.a00dx

故0

1

ma2

0

1

ma2

.8

8

所以,

I

AO

OA

OAOA的方程为y

0,

0

x

a0x

xOA

(e

sin

y

my)dx

(e

cos

y

m)dyA(a,

0)170(3)

简化二重积分x

y

e

y2

dxdy

D以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭区域.2解

令

P

0,

Q

xe

y则

Q

P

e

y2例4

计算

e

y2

dxdy,其中D是公式D

xe

y2

dyOA

AB

BOOA

y2

xe

dy

AB

y2xe

dy

xe

y2

dyBO211

(1

e

)102xe

dx

x

0

0Ox1Ay1

BD18解分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.记L所围成的闭区域为D,例5Lxdy

ydx

,

其中L为一条无重点,x2

y2计算令P

y

xx2

y2

x2

y2,

Q

则当x2

y2

0时有Q

xy2

x2

P(

x2

y2

)2

y19LLxdy

ydx

0x2

y2(1)当(0,0)

D时即L为不包围原点的任一闭曲线.(2)当(0,0)

D时即L为包围原点在内的任一由

公式LDQ

Px

yPdx

Qdy)dxdy

(Q

Pxy闭曲线.作位于D内圆周

l

:x2

y2

a2记D1由L和l所围成,应用由

公式,得DLxyO1DDalxyO20x2

y2xdy

ydx

d02

a2

cos2

a2

sin

2

2aLLx2

y2xdy

ydx

2注意公式的条件

dxdy

Q

P

0

∴0lx2

y2xdy

ydx

y

a

sin

x

a

cos1D

x

y

Q

Pxylx2

y2xdy

ydx其中l

的方向取逆时针方向l

:

x2

y2

a2L1DalxyO练习计算L

(3

x

y)dy

(x

y)dx.L是圆周:分析如把圆周写成参数方程:x

1

3

cos

,

y

4

(0

2

)再将线积分化为定积分计算,

则过程较麻烦.用

公式易求.答案:18(

x

1)2

(

y

4)2

921G1L2LPdx

QdyPdx

Qdy如果在区域G内有二、平面上曲线积分与路径无关的条件1.平面上曲线积分与路径无关的定义AL1BL2则称曲线积分L

Pdx

Qdy在G内与路径无关,否则，称与路径有关.22xyOP

Q曲线的曲线积分为零)的充要条件是

y

x在G

成立.L定理1

设开区域G是一个单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则曲线积分

Pdx

Qdy在G内与路径无关(或沿G内任意闭2.平面上曲线积分与路径无关的条件23开区域G

是一个单连通域.(1)(2)函数P(

x,

y),

Q(

x,

y)

在G

内具有一阶连续偏导数.两条件有关定理的说明：24若P

Qy

xP(

x,

y)dx

Q(

x,

y)dyA(

x0

,

y0

)1

1B(

x

,

y

)P(

x,

y

)dxxx100C(

x1

,y0

)B(

x1

,

y1

)yy100Q(

x

,

y)dy

D(x0

,

y1)yy101

Q(

x

,

y)dyP(

x,

y

)dxxx101或P(

x,

y)dx

Q(

x,

y)dyA(

x0

,

y0

)1

1B(

x

,

y

)则O25xy0

0A(

x

,

y

)xO解1523原式=x2

102x

dx104(1

y

)dy

Q

(

x2

2

xy)

2

xP

L例1

计算x2中L为2由点O(0,0)到点B(1,1)的曲线弧y

sin

x

.y

y

P

Qy

x积分在xoy面上与路径无关.yB(1,1)(1,1)(0,0)(1,0)26解P(x,y)

xy2

,y

yx

xP

(

xy

2

)

2

xy,

Q

[

y

(

x)]

y

(

x)Q(

x,

y)

y

(

x)P

Qy

x27积分与路径无关设曲线积分与路径无关,L2

(

x)dyxy

dx

y其中

具有连续的导数,且

(0)

0,(1,1)(0,0)2xy

dx

y

(

x)dy.计算例2即y

(

x)

2xyxyO01

0dx

22dy1(1,0)10ydy由y(x)

2xy

(x)

x2

C由

(0)

0,知C

0

(x)

x2(1,1)法一(1,1)(0,0)2xy

dx

y

(

x)dy(1,1)(0,0)28xy(0,1)O法二(1,1)(1,1)(0,0)2xy

dx

y

(

x)dy0

1102x

1

dx

0

021x212)1)0y

0dy

29yL

y

2

fy(

2

fy

xy

y,

1设函数f

(x)在(,)内具有一阶连续导数,

L是上半平面(y

>0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(a,b),终点为(c,d).记I证明曲线积分I

与路径L无关;当ab

=cd

时,求I

的值.y

y

yy2x

xQ

{

x

[

y2

f

(

xy)

1]}

xyf

(

xy)y2(1)证

因为P

{

1

[1

y2

f

(

xy)]}

f

(

xy)

1所以在上半平面内曲线积分I

与路径L无关.30(2)解(c,d

)所以I

bac12[1

b f

(bx)]dx由于曲线积分I

与路径L无关,yy2c

[

y2

f

(cy)

1]dydb

bc

aca

bf

(bx)dxc

cd

bc

ad

bdbc

f

(cy)dy

c

ad

bcdbcbcabf

(t

)dt

f

(t

)dt

0

xO31(c,

b)(a,b)32三、二元函数的全微分求积考虑表达式P(x,y)dx

Q(x,y)dy如果存在一个函数

u(x,y),使得du(

x,

y)

P(

x,

y)dx

Q(

x,

y)dy则称P(x,y)dx

Q(x,y)dy为一全微分式,并将u

u(x,y)称为P(x,y原函数.由

d(

xy)

ydx

xdy例2xxdy

ydxd

,

x

y

y2

y

d

x

ydx

xdy

.x2y2可知:

ydx

xdy,

xdy

ydx

,

ydx

xdy都是全微分式.xy,

y

,

x

分别是上面的原函数.x

y33定理3Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx

Q(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充要条件是等式P

Qy

x设开区域G是一个单连通域,

函数P(x,y),在G成立.

求原函数下面说明一般怎样

判断全微分式34x于是u

P(x,y),2u2u

Q

2

u因而

xy

yx

.

2

u即P

Q

.y

xyu

Q(

x,

y)

2

u

2

u由设P、Q的偏导数连续,所以xy

,yx

连续.xy

y

,Pyx

xP

Qy

x证必要性.设存在某一函数u(x,y),使得du(

x,

y)

P(

x,

y)dx

Q(

x,

y)dy35y

xP(

x,

y)dx

Q(

x,

y)dy.0

0(

x

,

y

)u(

x,

y)

P(

x,

y)dx

Q(

x,

y)dy.P

Q充分性.

设已知条件

在G成立.则u(

x,

y)

(

x0

,

y0

)由定理2可知:起点为M0(x0,y0),终点为M(x,y)的曲线积分在区域G内与路径无关.于是把曲线积分写作:(

x,

y)当起点M0(x0,y0)固定时,此积分的值取决于终点M(x,y).上述积分x,y的函数,记为u(x,y),即(

x

,

y

)36下面证明函数u(x,y)的全微分就是:P(x,y)dx

Q(x,y)dy.因为P(x,y),Q(x,y)都是连续的.因此只要证明x

y37u

P(

x,

y),

u

Q(

x,

y).其中用到下面的知识点:偏导数定义,曲线积分与路径无关,积分中值定理.若P

Qy

x0

0B(

x,

y)A(

x

,

y

)u(x,

y)

P(x,

y)dx

Q(x,

y)dy00xx0C(x,

y

)B(x,

y)00yyD(x0

,

y)0Q(x,

y)dyyyP(x,

y

)dx

0xxQ(x

,

y)dy

P(x,

y)dx或则O38xy0

0A(

x

,

y

)0

0B(

x,

y)A(

x

,

y

)u(x,

y)

P(x,

y)dx

Q(x,

y)dy例3问(ey

x)dx

(xe

y

2

y)dy如是,求其一个原函数.解yP22

x2y

xe

yy所以上式是全微分式.全平面为单连通域，因而一个原函数是：(

x

,

y

)(0,0)(e

x)dx

(

xe

y

2

y)dyu(

x,

y)

yy(

xe

2

y)dy0x00(e

x)dxxyO法一在全平面成立

e

y

x(

x,0)39(x,y)法二这个原函数也可用下法“分组”凑出:(e

y

x)dx

(

xe

y

2

y)dy

(e

ydx

xe

ydy)

(

xdx

2

ydy)2

2

y

x2

d

xe

y2x2u(

x,

y)

2y

xe

yy402

y

2

d(

xe

)

d

x2u(

x,

y)

x

Px故u

(e

y

x)dx

(

y)y的待定函数

(

y)

2

yy

y

C2所以,

u(

x,

y)

e x

从而

(y)

2