安徽普高专升本统考《高等数学》试题解析

安徽普高专升本统考《高等数学》试题分析安徽普高专升本统考《高等数学》试题分析安徽普高专升本统考《高等数学》试题分析安徽省2012年一般高等学校专升本招生考试高等数学注意事项：1．试卷共8页，请用签字笔答题，答案按要求写在指定的地址。2．答题前将密封线内的项目填写完好。一、选择题（以下每题的选项中，只有一项为哪一项吻合题意的，请将表示该选项的字母填在题后的括号内。共10小题，每题3分，共30分）3ex,x01.若函数f(x)sinxa,x0在x0在处连续，则a（C）xA.0B.1C.2D.3解：由f(00)f(00)f(0)得a13a2,应选C.2.当x0时，与函数f(x)x2是等价无量小的是（A）A.ln(1x2)B.sinxC.tanxD.1cosx解：由limf(x)limx21应选A.x2)x2)x0ln(1x0ln(13.设yf(x)可导，则[f(ex)]=（D）A.f(ex)B.f(ex)C.exf(ex)D.exf(ex)解：[f(ex)]f(ex)(ex)exf(ex),应选D.4.设1是f(x)的一个原函数，则x3f(x)dx（B）xA.1x2CB.1x2CC.1x3CD.1x4lnxC2234解：因1是f(x)的一个原函数,所以f(x)11,所以xxx21/10x3f(x)dxxdx1x2C应选B.25.以下级数中收敛的是（C）A.4n7nB.1C.n3D.13n3n2n12nsinn1n1n12n(n1)31(n1)31n32n1解：因limlim1,所以n收敛,应选C.3n3212nn2nn2n6.交换I1dyyf(x,y)dx2dy1f(x,y)dx的积分次序，则以下各项正确的01y11y22是（B）yy=2xx2A.1dxf(x,y)dyB.1dy2xf(x,y)dy02x0x22y=x22dxx2f(x,y)dy22x1C.12xD.dxx2f(x,y)dy1解：由题意画出积分地域如图:应选B.O1x7.设向量1,2是非齐次线性方程组AX=b的两个解，则以下向量中仍为该方程组解的是（D）A.12B.解：因A(12)A

12C.212D.2121A22,同理得bbbA(12)0,A(212)3b,A(212)b,应选D.8.已知向量1(1,2,1,1),2(2,0,k,0),3(0,4,5,2)线性相关,则k（D）A.-21解:23

B.2C.-3D.312111211121120k004k2204k220452045200k30因为1,2,3线性相关,所以r(1,2,3)2,所以k32/109.设A,B为事件，且P(A)0.6,P(B)0.4,P(AB)0.2,则P(AB)（A）C.0.6D.0.8解:P(AB)P(AB)1P(AB)1[P(A)P(B)P(AB)]0.210.有两个口袋,甲袋中有3个白球和1个黑球,乙袋中有1个白球和3个黑球.现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球,则拿出白球的概率是（B）A.37C.1D.1B.421620解:由全概率公式得p32117454520二、填空题(本题共10小题，每题3分，共30分，把答案填在题中横线上。)11．设函数yarcsinx11x2，则函数的定义域为[2,4).3161x11,16x202x44.解：4x2x3412．设曲线yx2x2在点M处的切线斜率为3,则点M的坐标是(1,0).解：y2x1，由y2x13x1，从而y0，故填(1,0).13．设函数yxarctanx，则y222.(1x)x11x22x22解：yarctanx1x2,y1x2(1x2)2(1x2)2.14．(lnx1)2012dx(lnx1)2013C.x2013解：(lnx1)2012dx(lnx1)2012d(lnx1)(lnx1)2013C.x20133/1015．0解：0

xex1dx=e.xex1dxexexdxe.016．幂级数(x2)n的收敛域为[3,7).n15nn(x2)n1x2解：由limun1(x)lim5n1nn1limnx21.nun(x)n(x2)n5n155nn得3x7级数收敛,当x3时,级数为(1)n收敛;当x7时,级数为1发散;n1nn1n故收敛域为[3,7).17．设A是n阶矩阵，E是n阶单位矩阵，且A2则(A2E)1AE.A3E0，解：A2A3E0(A2E)(AE)E(A2E)1(AE)0111表示A的逆矩阵,A*表示A的陪同矩阵,则18．设A101，记A001011(A1)*101.00119．设型随机变量X~N(1,8),且P(Xc)P(Xc),则c=1.解：由正态分布的对称性得c1.20．设型随机变量X在区间[2,4]上遵从均匀分布,则方差D(X)1.34/10解：直接由均匀分布得(42)21D(X)12.3三、计算题：本大题共8小题，此中第21-27题每题7分，第28题11分，共60分。21．计算极限limxsinx.x0tan2xxsinx解：原式=limx2x0=lim1cosxx02xsinx=lim=0.x0222．求由方程yxxy确立的隐函数的导数dy.dx解：两边取对数得xlnylnxlny,两边求导得lnyxy11y,yxy从而dyy(1xlny).dxx(x1)21dx23．计算定积分x2x221解：令xsect,则dxsecttantdt,当x2时,t;当x2时,t.43所以原式=3secttant3sint|312dt=costdt==(32).4secttant4425/1024．求微分方程y2yex0的通解.解：原方程可整理为y2yex这是一阶线性微分方程,此中P(x)2,Q(x)ex.所以原方程的通解为P(x)dxQ(x)eP(x)dxyedxC2dx(exe2dxedxC).e2x(exdxC)e2x(exC)exCe2x25．计算二重积分x2yd,此中D是由直线x2、y2x和xy2所围成的区D域.解：地域D如图暗影部分所示.22xyy=2x故x2yd1dx2x2ydy4Dx122x222xy=221xy|2dyxO12x12(4x44)dx21(2x52x)|1102.255101126．设矩阵A130，B3,且满足AXBA2BX,求矩阵X.02326/10解：由AXBA2BX可得(AE)X(A2E)B(AE)(AE)By00120,所以A2y=x因|AE|140E可逆,11024xy20110Ox所以X(AE)B12035图5-702222x11231x1230处的导数.27．设行列式D(x)2x1,求D(x)在x13123x1x1123x7123解：D(x)1x123x7x12312x13x72x13123x1x723x1112310001x123(x1x00(x7)2x137)1x1011123x1111x2x(x7)(x1)(x2)(x27x)(x23x2).故D(x)(2x7)(x23x2)(x27x)(2x3).从而D(0)14.0,x0,a,0x1,28．已知失散型随机变量X的密度函数为F(x)11x且数学希望,2,21,x2.4E(X).37/10求:(1)a的值;(2)X的分布列；(3)方差D(X)．解：(1)由分布函数的性质知,随机变量X的可能取值为0、1、2，且P(X0)a,P(X1)12)1a,P(X22因E(X)0a1(1a)213a422231所以a.6由（1）即得X的分布列为X012P111632(3)E(X2)0211212217,6323解：由题意知:1ab1,E(X)1b1a1,b166332E(X2)112,故D(X)E(X2)(EX)2215.623399四、证明题与应用题：本大题共3小题，每题10分，共30分。29．设uxy2f(x)，此中f(t)可微，证明:xzyz3u.yxy证明：因为uy2f(x)xy2f(x)1xyyyy2f(x)xyf(x),yy2xyf(x)yy

xy2f(x)xyy22xyf(x)x2f(x),yy8/10故xuyuxy2f(x)x2yf(x)2xy2f(x)x2yf(x)xyyyyy3xy2f(x)3u.(9分)y30．设D是由曲线ylnx,xe及x轴所围成的的平面地域求:(1)平面地域D的面积S;(2)D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积解:地域D如图暗影部分所示。曲线ylnx与x轴及yxe的交点坐标分别为(1,0),(e,1)（1）平面地域D的面积y=lnxeeS1lnxdx(xlnxx)|11.O1（2）D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积VV1(ey)2dye21012e2y1e20e2ydye2|0

V．(e,1)ex(e21).231．证明不等式：当abe时，blnba(e2.71828).alnab证明:设f(x)xlnx,x(e,),则f(x)1lnx0,x(e,)