-2017年新课标全国卷2理科数学试题分类汇编(数列)

2011年一2017年新课标全国卷II理科数学试题分类汇编9．数列一、选择题(2017・3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()TOC\o"1-5"\h\zA．1盏B．3盏C．5盏D．9盏(2015・4)已知等比数列｛a｝满足at=3，a.+a3+a5=21，则a3+a5+a7=()n1135357A．21B．42C．63D．84(2013・3)等比数列｛a｝的前n项和为S，已知S=a+10a，11B.—1B.—3C.-D・—9TOC\o"1-5"\h\z(2012・5)已知｛a｝为等比数列,a4+a7=2，a5a6=8,则a1+a=()n4756110A.7B.5C.-5D.-7二、填空题(2017・15)等差数列｛a｝的前n项和为S，a=3，S=10,则=nn34Sk=1k(2015・16)设S是数列｛a｝的前项和，且a=-1，a=SS，则S=.nn1n+1nn+1n(2013・16)等差数列｛a｝的前n项和为S，已知S=0，S=25，则nS的最小值为—nn1015n(2012・16)数列｛a｝满足a+(-1)na=2n—1，则｛a｝的前60项和为nn+1nn三、解答题(2016・17)(满分12分)Sn为等差数列｛an｝的前n项和，且a1=1，S7=28.记bn=[lga“],其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1.(I)求叽,b”b101；(II)求数列｛b｝的前1000项和.111101n(2014・17)已知数列｛a｝满足a=1,a’=3a+1.n1n+1n证明｛a+丄｝是等比数列，并求｛a｝的通项公式;n2n证明：丄+丄+・・•+丄＜3.aaa2TOC\o"1-5"\h\z12n(2011.17)等比数列｛a｝的各项均为正数，且2a+3a=1,a2=9aa.n12326求数列｛a｝的通项公式；n设b=loga+loga+LL+loga，求数列｛丄｝的前n项和.n31323nbn2011年一2017年新课标全国卷II理科数学试题分类汇编9．数列(逐题解析版)一、选择题(2017・3)B【解析】一座7层塔共挂了381盏灯，即S?=381；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,a(1—qn)a(1—2n)即q=2，塔的顶层为a；由等比前n项和S=—1(q丰1)可知：S=—1=381，解得a=3.1n1—q71—21(20154)B【解析】：设等比数列公比为q,(20154)B【解析】：设等比数列公比为q,则a1+a1q2+a1q4=21,又因为a1=3,所以q4+q2-6=0,解得q2=2,所以a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42，故选B.(2013.3)【答案：C】解析：由S3=a2+10a1,得，a1+a2+a3=a2+10a1即，a3=9a1，亦即a1q2=9a1，解得q2=9.°.°a5=a「q4=9，即81。1=9,・。1=丄・9(2012・5)・【答案：D】解析：•a+a=247a成等比数列，.a+a10110a,a,a,147aa=aa=—85647=—7.a=4,a47=—2或a=—2,a=44二、填空题2nn+1(2017・15),neN*【解析】•・•S=10,4314a+a=523a=3,・3n(n(a+a)1n—21=2Sn(n+1)n・•・工丄Si=】n2nn+1.y12n…=,n・•・工丄Si=】n2nn+1.y12n…=,nSn+1i=1n1得Sn+111(2015.16)—-【解析】由已知得a=S—S=S-S,两边同时除以Snn+1n+1nn+1nn+1故数列是以—1为首项，—1为公差的等差数列，则=—1—(n-1)=—n，所以S=—-Snnn(2013・16)-49【解析】设数列｛an｝的首项为a^公差为d,则S10=d=10a]+45d=0①，15x14=15a+d=15a,+105d=25②，联立①②，121n(n—1)2110110S=—3n+x-=_n2—n.令f(n)=nS，贝9f(n)=n3—nn2333n33得a1=，f'(n)=n20j3所以令f'(n)=0,得nTOC\o"1-5"\h\z20202020=0或n=・当n>20时，广(n)>0,0vnv20时，广(n)V0,所以当n=20时，f(n)取最小值，而n^N3333卡则f(6)=-48,f(7)=-49，所以当n=7时，f(n)取最小值-49.[a—a=4k—3L^0(2012・16)1830【解析】由a+(—1)»a=2n—1得]2k2k-1n+1nIa+a=4k—1L②2k+12k由②—①得，a+a=2③2k+12k—1由①得，S-S=(a-a)+(a-a)+(a-a)+L+(a-a)=1+5+9+L+117=(1+117疑30_1770,偶奇21436560592由③得，S=(a+a)+(a+a)+(a+a)+L+(a+a)=2x15=30,奇31751195957所以S=S+S=(S—S)+2S=1770+2x30=1830.60偶奇偶奇奇三、解答题(2016").(满分12分)Sn为等差数列｛an｝的前n项和，且a1=1,S7=28.记b“=[lga“],其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1.(I)求叽,b”b101；(II)求数列｛b｝的前1000项和.111101n(2016・17)解析：⑴设数列｛a｝的公差为d,S=7a=28，•：a=4,•:d=$1=1,n7443••a=a+(n—1)d=n・••b=Hga」=Ug1」=0,bn11111b=bga」=[lgl01」=2・101101⑵记｛b｝的前n项和为T，则Tnn1000121000=[lga」=[lg11」=1,11=hga」+hga」+•••+12[lga」・1000当0Wlga<1时，n=1,2，…，9；当1Wlga<2时，n=10,11,•••,99；nn当2Wlga<3时，n=100,101,•••,999；当lga=3时，n=1000・nnT=0x9+1x90+2x900+3x1=1893・1000(2014・17)・解析：(I)证明：Ta=3a+1a+丁=3(a+7?)，即:n+1nn+12n2an+1—1a+n21+213=3,又a+=,122・•・｛a+2｝是以2为首项，3为公比的等比数列•・•・a+秒=2•3"-1,22n22I)证明：由(I)知an=3n—1=丁'3n-11231=<=(ngN*),a3n—13n3n-1n1・•・+—+•••+a1111<1+—++•••+an3323n1-(3)313=3-=-[1-(-)n]<-112321—3故：a2故：a2

n1+—+•••+—<—aa12(2011・17)解析：(设数列｛an｝的公比为q,由a2=9aa得a3=9a2所以q2=-.由条件可知a>0,故326349故数列故数列｛an｝的通项式为anq=丄