2022年数理方程第二版-课后习题答案

..精品文本精品文本.精品文本第一章曲线论§1向量函数1.证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。略2.求证常向量的微商等于零向量。证：设r=c，lim所以r'3.证明d证：d证毕4.利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，那么此向量在该区间上是常向量。证：设r=rt=x(t)rt在区间I上可导当且仅当数量函数x(t)，y(t)和z(t)在区间I上可导。所以，∀xyz其中θ1，θ2，θ3介于tr==上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中ε=x'θ1y'θ2z'θ35.证明r=rt证：必要性：设r=rt具有固定方向，那么r=rt可表示为r=充分性：如果r×r'=0，可设r≠0，令r=rr因为r≠0，故ρ2e为常向量，于是，r=rt6.证明r=rt证：必要性：设r=rt平行于固定平面，那么存在一个常向量p，使得pr=0，对此式连续求导，依次可得pr'=0和pr"=0充分性：设r,r',r"=0，即r×r'r"=0，其中，如果r×r'=0，根据第5题的结论知，r=rt具有固定方向，那么r=rt可表示为r=rt=ρ(t)e，其中ρ(t)为某个数量函数，e其中ρ(t)，φ(t)为数量函数，令n=r×r'，那么n'=r×r"=φ(t)n，这说明n与n'共线，从而n×n'=0，根据第5题的结论知，n§2曲线的概念1.求圆柱螺线r={cost解：r'={-sint,cost,1}，点r'={x-1法平面的方程为y+z=02.求三次曲线r=at,bt解：r'={a,2bt,3ct2}，当t=t于是切线的方程为：x-a法平面的方程为a3.证明圆柱螺线r={acos证：r令θ为切线与z轴之间的夹角，因为切线的方向向量为r'={-asint,acosθ=证毕4.求悬链线r=at,a解：rs=5.求抛物线y=bx2对应于解：ys====6.求星形线x=acost3解：s=47.求旋轮线x=a(t-sint)，y=a(1-解：s=8.求圆柱螺线r={3acost,3a解：圆柱螺线r={3acost,3asint,4at}与Oxy平面z=0的交点为s=9.求曲线x3=3a2y，2xz=解：取x为曲线参数，曲线的向量参数方程为：rrr平面y=a3对应于参数x=a，平面y=9a对应于参数s=10.将圆柱螺线r={解：r'={s=s所以r11.求极坐标方程ρ=ρ(θ)给定的曲线的弧长表达式。解：极坐标方程ρ=ρ(θ)给定的曲线的方程可化为向量参数形式：rrs=§3空间曲线1.求圆柱螺线r={解：密切平面的方程为X-即ab2.求曲线r={解：rrr原点(0,0,0)对应于参数t=0,于是在t=0处，rrrαγβ密切平面的方程为X+Y-Z=0副法线的方程为X法平面的方程为：Y+Z切线的方程为X从切平面的方程为2主法线的方程为X3.证明圆柱螺线r={acos证：rrrαγβ一方面，主法线的方程为X-a另一方面，过圆柱螺线r={a作平面π与z轴垂直，π的方程为Z-bt=0，π与z轴的交点为N(0,0,bt)，过M与N的直线显然与z轴垂直相交，而其方程为X-a这正是主法线的方程，故主法线和z轴垂直相交。证毕4．在曲线r={解：令a=cosC设C1的副法线向量为γγ根据题意，新曲线的方程可表示为C2将a=cosCρρρ于是新曲线C2sin+Z-(即：sin5.证明球面曲线的法平面通过球的中心。证：设曲线(C):r=r(s)为球心在原点，半径为a的球面上的曲线,其中s为自然参数。曲线(C)上任意一点P〔P点的向径为r〕处的根本向量为α1上式两边关于s求导，得2设ρ为法平面上的点的向径，那么曲线(C)上任意一点P处的法平面的向量方程为3根据(2)式ρ=06.证明过原点平行于圆柱螺线r={acos证：rrrαγ设过原点(0,0,0)且与γ平行的直线上的点为(X,Y,Z),那么直线的方程为X化为参数方程，得X那么有a这说明直线上的点(X,Y,Z)都在锥面a27.求以下曲线的曲率和挠率。1r解:对于曲线(1)rkτ对于曲线(2)rkτ8.给定曲线r=(cost)3,解:对于给定曲线，有1234其中，ε5678910根据(5)(6)(8)式可得α=kβ，根据(6)(9)(10)式，可得另一方面，根据(4)(7)(8)(10)式，可得-从而，β=-9.证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么此曲线是直线。证1：设曲线(C)的向量参数方程为：r=r(s)，其中s为自然参数。(C)上任意一点P〔P点的向径为r〕处的根本向量为α，β，γ。因为(C)在P点处的切线都经过一定点Q〔Q点的向径设为r0〕，所以r(1)r上式两端关于s求导并利用Frenet公式，得：(2)k(2)式中的k为(C)在P点处的曲率。又(2)式中r-r-r0×β=0，那么r-r0同时与α和β证2：设曲线的方程为，因为曲线上任一点的切线经过一定点，那么与共线，但，于是与共线，从而=0,由此可知具有固定的方向，即与一个常向量平行，于是=,或，这说明曲线上的点都在以为方向向量，过点的直线上，所以曲线为直线。证毕10.证明：如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么此曲线是平面曲线。证：设曲线(C)的向量参数方程为：r=r(s)，其中s为自然参数。曲线(C)上任意一点P〔P点的向径为r〕处的根本向量为α，β，γ。因为我们只研究不含逗留点的曲线〔参见教科书P.31的脚注〕，即而r即(C)上任何点的曲率k≠0。设(C)在P点处的密切平面都经过一个定点Q〔Q点的向径设为r0〕，那么r-r0为(Cr(1)式两端关于s求导并利用Frenet公式，得：(2)τ(2)式中的τ为(C)在P点处的挠率。由(2)式可知，τ=0或者r但r-r0∙β≠0(3)r(3)式两端关于s求导并利用Frenet公式，得：(4)k(4)式中的k为(C)在P点处的曲率。因为k≠0，所以r-r0×β=0，结合(3)知r-r0这个矛盾说明r-r0∙β≠11.证明：如果曲线的所有法平面都包含常向量e，那么此曲线是平面曲线。证1：设曲线(C)的向量参数方程为：r=r(s)，其中s为自然参数。(C)上任意一点P〔P点的向径为r〕处的根本向量为α，β，γ。因为(C)在P点处的法平面都包含常向量(1)e注意到α=r，(1)式两端关于s从s0(2)e〔2〕式说明曲线(C)在以常向量e为法向量且过点rs证2：设曲线(C)的向量参数方程为：r=r(s)，其中s为自然参数。(C)上任意一点P〔P点的向径为r〕处的根本向量为α，β，γ。因为我们只研究不含逗留点的曲线〔参见教科书P.31的脚注〕，即而r即(C)上任何点的曲率k≠0。因为(C)在P点处的法平面都包含常向量e，那么(1)e上式两端关于s求导并利用Frenet公式，得：(2)k因为k≠0，所以(3)eβ结合(1)式可知e与γ共线，从而(4)e(4)式两端关于s求导并利用Frenet公式，得：(5)τ(5)式中e×β≠0，否那么，根据(3)式，e×β=0和eβ=0将同时成立，即β既与12.证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率等于常数的曲线。证：设曲率为常数k的空间曲线(C)的向量参数方程为：r=r(s)，其中s为自然参数。(C)上任意一点P处的根本向量为α，β，γ，曲率半径为R=1/k，又设(C)的曲率中心的轨迹为Γ，Γ的曲率记为k，根据题意，1(1)式两边关于s求导，得234(4)式说明Γ的曲率k也是常数且k=13.证明曲线(C)：r=解：rτ=由上式可知，(C)为平面曲线。令t=0，那么有rrr(C)所在平面的方程为2x-114.设在两条曲线C1和C证：设曲线C1的方程为r1=r1(s)，s∈I1，其中s为C1的自然参数，曲线C2的方程为r2=r2(s)，s∈I2，其中s为曲线C2的自然参数。因为所讨论的曲线都是正那么曲线，于是曲线C1上的点1设α1，β1，和γ1为曲线C1在点P处的根本向量，α2，β2，和γ2为曲线C2在点Q处的根本向量，曲线C1在点P处的曲率和挠率分别记为k和τ，曲线C22α(2)式两边关于s求导，得3从而，4(4)式说明C1和C2在对应点P与Q处的主法线平行。又因为5(5)式说明C1和C2在对应点P与15.设在两条曲线C1和C证：设曲线C1的方程为r1=r1(s)，s∈I1，其中s为C1的自然参数，曲线C2的方程为r2=r2(s)，s∈I2，其中s为曲线C2的自然参数。因为所讨论的曲线都是正那么曲线，于是曲线C1上的点1设α1，β1，和γ1为曲线C1在点P处的根本向量，α2，β2，和γ2为曲线C2在点Q处的根本向量，曲线C1在点P处的曲率和挠率分别记为k和τ，曲线C22β根据(2)式，可得3设α1与α2之间的夹角为4(4)式说明C1和C2在对应点P与16.如果曲线C1的主法线是曲线C2的副法线，C1的曲率和挠率分别为k和τ，求证k=a(证：设曲线C1的方程为r1=r1(s)，s∈I1，其中s为C1的自然参数，曲线C2的方程为r2=r2(s)，s∈I2，其中s为曲线C2的自然参数。因为所讨论的曲线都是正那么曲线，于是曲线C1上的点1设α1，β1，和γ1为曲线C1在点P处的根本向量，α2，β2，和γ2为曲线C2在点Q处的根本向量，曲线C1在点P处的曲率和挠率分别记为k和τ，曲线C22γ23(3)式两边关于s求导，得4整理(4)式，可得5利用(2)式，在(5)式两边与β16(6)式中由于ds故t=0，从而7(7)式两边关于s求导，得8因为γ2=ε9根据(7)式，(9)式等价于k即k从而，k=a(k17.曲线r在哪些点的曲率半径最大？解：解:对于给定曲线，有1=2asin234其中，ε567根据(7)式，当t=(2k±1)π，k=0,±1,±2,⋯时，R=818.曲线(C)：r=r(s)∈C3上一点r(s)的邻近一点r(s+∆s)，求点r(s+∆s)到点r(s)的密切平面、法平面的距离〔设(解：设曲线(C)在点r(s)的根本向量分别为α，β和γ，那么点r(s+∆s)到点12其中，lim因为rs=αr将它们代入(1)式和(2)式中，得3319.如果曲线C1：r=r(s)为一般螺线，其中s为C1的自然参数。α，β，γ为C1上任意一点P处的根本向量，R为C1ρ也是一般螺线。证：曲线C2的方程两边关于s123根据(1)式和(3)式，得5其中ε67因为曲线C1：r=r(s)为一般螺线，故存在一个常向量p8(8)式说明曲线C220.证明：一条曲线(C)：r=r(s)为一般螺线的充要条件是证：充分性：如果r,r,r(4)=0，那么曲线(C')：r=r(s)的挠率为零，(C')为平面曲线，于是存在一个常向量p，使得pr=0，但必要性：如果(C)为一般螺线，存在一个常向量p使得pβ=0，但β=k-1α=k-1r,从而，pr21.证明：一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。证：因为我们只研究不含逗留点的曲线，故所讨论的两条曲线的曲率均不为0，设曲线C1的方程为r1=r1(s)，s∈I1，其中s为C1的自然参数，曲线C2的方程为r2=r2(s)，s∈I2，其中s为曲线C2的自然参数。因为所讨论的曲线都是正那么曲线，于是曲线C1上的点1设α1，β1，和γ1为曲线C1在点P处的根本向量，α2，β2，和γ2为曲线C2在点Q处的根本向量，曲线C1在点P处的曲率和挠率分别记为k和采用反正法来证明结论。如果曲线C1在点P的切线总是曲线C2的在对应点Q处的切线，那么点P与1上式两边关于s求导，得2因为P与Q共有同一条切线，于是α2=εα1，其中ε=±1，(2)式两边同时与β1作内积，得tk=0，但k≠022.设在两条曲线C1和C2的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也分别平行，而且它们的挠率和曲率都成比例，因此如果C1证：设曲线C1的方程为r1=r1(s)，s∈I1，其中s为C1的自然参数，曲线C2的方程为r2=r2(s)，s∈I2，其中s为曲线C2的自然参数。因为所讨论的