圆锥曲线的性质及其推广运用

2021届本科毕业论文圆锥曲线的性质及推广运用学院：数学科学院专业班级：信息与计算科学数单班学生姓名：华正东指导教师：王奇辩论日期：目录TOC\o"1-2"\h\z\u1引言 42圆锥曲线的分类，性质及应用 52.1圆锥曲线的分类 52.2圆锥曲线的性质 52.3圆锥曲线在生活中的应用 93圆锥曲线性质的推广应用 93.1利用圆锥曲线性质求解圆锥曲线的最值 93.2直线与圆锥曲线的位置关系的实际应用 133.3数学问题在圆锥曲线中的推广 19参考文献： 21致谢 21圆锥曲线的性质及推广应用摘要：本文首先探究圆锥曲线在解析几何下的分类，总结了三类圆锥曲线的性质及应用，主要利用平面解析几何的知识及数形结合思想，对圆锥曲线的根本性质及推广性质进行了总结和证明，并将它在日常生活中的应用和在解题中的应用做了简要说明。关键词：圆锥曲线；性质；应用；推广；ThenatureandpromoteapplicationofconiccurvesAbstracts:ThearticlefirstexplorestheconiccurvesinthreedifferentclassificationsofAnalyticgeometry.Italsosummarizesnatureandapplicationofconiccurvesbyusingflatanalyticgeometryknowledgeandsymbolic-graphiccombination.Atlastitmakessomesummariesandverificationonthebasisofthenatureandpromoteapplicationofconicsections.Andputitinourdailylivesandinthesolutionofapplicationinabriefexplanation.Keywords:coniccurve;nature;application;promotion;圆锥曲线的性质及推广应用引言圆锥曲线是高中和大学解析几何的重要内容，是用代数方法来研究几何问题，它处于代数与几何的交汇处。圆锥曲线的性质及推广是其中的热点问题之一。圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。研究圆锥曲线的分类和性质，有利于开阔学生的解题思路，沟通知识间的横向联系，培养学生的直觉思维和逻辑推理能力，而且能较高观点的理解圆锥曲线的定义。通过圆锥曲线的定义，根本性质，数形结合及巧设参数等方法加以解决。不管是在宏观世界还是微观世界，圆锥曲线都和我们有着密切相关的联系。从宏观上来说我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳那么位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的根本形式。从微观上来说，任何物体都是由原子构成的，原子是原子核和其周围围绕的电子高速旋转形成，而电子的运动轨迹近似认为是圆周运动或椭圆运动，相对于每一个原子，又符合库伦定律。从每一个原子到分子，最后形成物体，也就是我们的现实的世界。本文通过探讨圆锥曲线在解析几何下的分类及其性质，重点研究圆锥曲线的性质及推广应用。2圆锥曲线的分类，性质及应用2.1. 圆锥曲线的分类在〔平面〕直角坐标系中，设二次曲线的方程为记那么我们称是二次曲线的不变量，为二次曲线的半不变量。由不变量给出二次曲线的分类：I椭圆型：⑴椭圆，⑵虚椭圆〔无轨迹〕，⑶一点，II双曲型：⑷双曲线，⑸一对相交直线，III抛物型：⑹抛物线，⑺一对平行直线，，⑻一对虚平行直线〔无轨迹〕，，⑼一对重合直线，，当二次方程的图形是一点或直线的情形时，称二次曲线是退化的。因此从上述二次曲线的分类可知，的符号判别了曲线的类型，而或就判别了曲线的非退化或退化的情形。椭圆，双曲线和抛物线这三种曲线统称为圆锥曲线。2.2.圆锥曲线的性质圆锥曲线焦点位置的判断〔首先化成标准方程，然后再判断〕：〔1〕椭圆：由,分母的大小决定，焦点在表示焦点在y轴上的椭圆，那么m的取值范围是__〔答：〕〔2〕双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；〔3〕抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。椭圆〔1〕椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数〔大于〕的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。假设为椭圆上任意一点，那么有。椭圆的标准方程为：〔〕〔焦点在x轴上〕或〔〕〔焦点在y轴上〕。注：①以上方程中的大小，其中；②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆〔，，〕当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。〔2〕椭圆的性质①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，假设以代替方程不变，所以假设点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，那么曲线关于轴对称。假设同时以代替，代替方程也不变，那么曲线关于原点对称。所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令，得，那么，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。2．双曲线〔1〕双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线〔〕。注意：①〔*〕式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支〔含的一支〕；时为双曲线的另一支〔含的一支〕；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。椭圆和双曲线比拟：椭圆双曲线定义方程焦点注意：如何有方程确定焦点的位置！〔2〕双曲线的性质①范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。②对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。1〕注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的〔椭圆有四个顶点〕，双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2〕实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。⑤等轴双曲线：1〕定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；2〕等轴双曲线的性质：〔1〕渐近线方程为：；〔2〕渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即假设题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3〕注意到等轴双曲线的特征，那么等轴双曲线可以设为：，当时交点在轴，当时焦点在轴上。⑥注意与的区别：三个量中不同〔互换〕相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。3．抛物线〔1〕抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。方程叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F〔,0〕，它的准线方程是；〔2〕抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程图形焦点坐标准线方程范围对称性轴轴轴轴顶点离心率说明：〔1〕通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；〔2〕抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；〔3〕注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。定理1抛物线的过焦点的所有弦中，以抛物线的通经为最短。定理2设AB是抛物线的长为m的动弦，那么(1)当〔通径长〕时，AB的中点M到轴的距离的最小值为；(2)当〔通径长〕时，AB的中点M到轴的距离的最小值为。定理3抛物线焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A〔x,y〕,B(x,y)两点，直线OA与OB的斜率分别为k,k，直线l的倾斜角为，那么有，，，，，，。2.3.圆锥曲线在生活中的应用随着新课程理念的深入，一些以圆锥曲线在生活和生产实际中的应用为背景的应用问题已经进入了我们的教材，并且越来越受到重视．利用椭圆、双曲线、抛物线可以有效地解决数学、物理及生活实际中的许多问题．下面举例说明圆锥曲线在实际生活中的应用

2.3.1生活中的椭圆：油罐车的横截面。圆柱形的容器在同样容器的要求下，它的外表积最小也就是容器所用的材料最少，在装入物品后尤其是液体，对罐内壁各局部的受力大小情况也比拟平均，而在高度和宽度〔即车的允许高度和车的宽度〕都有限制的情况下，其横截面作成椭圆形就可以到达既节省了罐体材料，也保证了容积，由利用了有限的“空间〞和保证了罐体的稳定性。双曲线的应用：火电厂及核电站的冷却塔冷却塔从底部到中部直径变小，是将蒸汽抽到塔内，防止底部逸出，而上部直径变大，可以降低上升到顶部热气的流动速度，从而降低抽力，使蒸汽尽可能的留在塔内，提高冷却回收率。抛物线的应用：美丽的赵州桥采用抛物线的结构使得赵州桥用料精简，结构稳定巩固，赵州桥距离现在1400多年，经历了10次水灾，8次战乱，和屡次地震，著名桥梁专家茅以升说过：先不管桥的内部结构，仅就他能够存在1400多年就说明了一切。探照灯截面由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面，他也有一条轴，即抛物线的轴，在这个轴上有一个奇妙的焦点，任何一条过焦点的直线反射出来以后，都将成为平行于轴的直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。圆锥曲线的性质及推广应用3.1利用圆锥曲线性质求解圆锥曲线的最值抛物线，定点A(3,1)，F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点P,使|AP|+|PF|取最小值，并求的最小值。分析：由点A引准线的垂线，垂足Q，那么|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即为最小值。OF(1,0)xA(3,1)yQP解：如图，,焦点F(1,0)。由点A引准线x=-1的垂线，垂足Q，那么|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即为最小值OF(1,0)xA(3,1)yQP由,得为所求点. 假设另取一点，显然。[点悟]利用圆锥曲线性质求最值是一种特殊方法。在利用时技巧性较强，但可以避繁就简，化难为易。又如圆锥曲线内一点A与其上一动点P，求的最值时，常考虑圆锥曲线第二定义。设AB为过椭圆中心的弦,焦点,求的最大面积。分析：利用割补法，将分割为与，再根据圆锥曲线的性质，求得其最值。解：设，那么由椭圆的对称性得，那么〔由椭圆的性质知，且时等式成立〕所以的最大面积为。反思：当整体面积不好求时，可将其划分为能直接求解的假设干个面积之和。椭圆的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为1.求椭圆的方程设点P在抛物线上，在点P处的切线与交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值。分析：此题主要考察椭圆、抛物线的几何性质，直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系等根底知识，考察解析几何的根本思想方法和综合解题能力。解：=1\*GB2⑴由题意，得从而因此，所求的椭圆的方程为=2\*GB2⑵如图，设那么抛物线在点处的切线斜率为直线的方程为将上式代入椭圆的方程中，得.即=1\*GB3①因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以=1\*GB3①式中的=2\*GB3②设线段的中点的横坐标是，那么设线段的中点的横坐标是，那么由题意，得即.=3\*GB3③由=3\*GB3③式中的得，或.当时，，那么不等式=2\*GB3②不成立，所以当时，代入方程=3\*GB3③得，将代入不等式=2\*GB3②，检验成立。所以，的最小值为1.小结：利用圆锥曲线的性质求最值是一种技巧性较强的特殊方法，但思路清晰，过程简捷，可以避繁就简，化难为易。3.2直线与圆锥曲线的位置关系的实际应用1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程f(x，y)＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,f(x，y)＝0))，消元如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.①假设a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．②假设a≠0，设Δ＝b2－4ac.a．Δ_>_0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b．Δ_=__0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c．Δ_<_0时，直线和圆锥曲线没有公共点．1．(4,2)是直线l被椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1所截得的线段的中点，那么l的方程为()A．x－2y＝0B．x＋2y－4＝0C．2x＋3y＋4＝0D．x＋2y－8＝0解析设l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),36)＋\f(y\o\al(2,1),9)＝1，,\f(x\o\al(2,2),36)＋\f(y\o\al(2,2),9)＝1.))两式相减，得kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(9(x1＋x2),36(y1＋y2))＝－eq\f(2×4,4×2×2)＝－eq\f(1,2).∴l的方程为：y－2＝－eq\f(1,2)(x－4)，即x＋2y－8＝0.在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，eq\r(2))且斜率为k的直线l与椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y正半轴的交点分别为A、B，是否存在实数k，使得共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.解(1)由条件，直线l的方程为y＝kx＋eq\r(2)，代入椭圆方程得eq\f(x2,2)＋(kx＋eq\r(2))2＝1，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋k2))x2＋2eq\r(2)kx＋1＝0①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋k2))＝4k2－2>0，解得k<－eq\f(\r(2),2)或k>eq\f(\r(2),2).即k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(2),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞)).(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程式①，x1＋x2＝－eq\f(4\r(2)k,1＋2k2)②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2eq\r(2)③x1＋x2＝－eq\r(2)(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝eq\f(\r(2),2).由(1)知k<－eq\f(\r(2),2)或k>eq\f(\r(2),2)，故没有符合题意的常数k.过原点且斜率为正值的直线交椭圆于E,F两点，设A(2,0),B(0,1),求四边形AEBF面积S的最大值。分析：由图形的对称性可知，当且仅当椭圆弧AB上的点F到直线AB的距离最大时，四边形AEBF的面积取最大值，不难发现此时的点F恰是椭圆平行于AB的切线与椭圆的共共点。解设直线是与直线AB平行的椭圆的两条切线，那么当E,F分别与两切点重合时，四边形AEBF面积S取最大值。设切线的方程为，代入椭圆方程可得，令得，即两切线的方程为，它们的距离为，而，故。△ABC的顶点A，B在椭圆x2＋3y2＝4上，C在直线l：y＝x＋2上，且AB∥l.(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；(2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．(1)求弦长|AB|→△ABC的AB边上的高即原点O到l的距离h→△ABC的AB边上的高即原点O到l的距离h→S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·h.将|AC|表示成m的函数→将|AC|表示成m的函数→由AC最大确定m的值．解(1)因为AB∥l，且AB边通过点(0,0)，所以AB所在直线的方程为y＝x.设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋3y2＝4，,y＝x，))得x＝±1，所以|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝2eq\r(2).又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以h＝eq\r(2)，S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·h＝2.(2)设AB所在直线的方程为y＝x＋m.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋3y2＝4，,y＝x＋m，))得4x2＋6mx＋3m2－4＝0.因为A，B在椭圆上，所以Δ＝－12m2＋64>0.设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．那么x1＋x2＝－eq\f(3m,2)，x1x2＝eq\f(3m2－4,4)，所以|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝eq\f(\r(32－6m2),2).又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即|BC|＝eq\f(|2－m|,\r(2)).因为|AC|2＝|AB|2＋|BC|2＝－m2－2m＋10＝－(m＋1)2＋11，所以当m＝－1时，AC边最长，(这时Δ＝－12＋64>0)此时AB所在直线的方程为