2004至2005年江苏专转本高数真题附答案

2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题 （本大题共 6小题，每小题 3分，满分 18分.）x3x3,01、f(x)，是：（）x3x0,2A、有界函数 B、奇函数 C、偶函数2、当x 0时，x2 sinx是关于 x的A、高阶无穷小 B、同阶但不是等价无穷小 C、低阶无穷小3、直线L与x轴平行且与曲线 y xex相切，则切点的坐标是A、1,1B、1,1C、0,14、x2y28R2设所围的面积为22R2x2dx的值为S，则8RS0SA、SB、C、425、设u(x,y)xlnx2y2，则下列等式成立的是arctan、v(x,y)yuvuvuvA、B、C、xyxxyxu vy y6 、 微 分 方 程 y'' 3y'2y xe2x 的 特 解 y 的（ ）

D、周期函数（ ）D、等价无穷小（ ）D、 0,1（ ）D、2S（ ）D 、形 式 应 为A、Axe2x B、(Ax B)e2x C、Ax2e2x D 、x(AxB)e2x二、填空题 （本大题共 6小题，每小题 3分，满分 18分）xx7、设 f(x) ，则limf(x)3 x

x8、过点 M(1,0, 2)且垂直于平面 4x 2y 3z2的直线方程为9、设f(x)x(x1)(x2)(xn)，nN，则f'(0)10、求不定积分arcsin3xdx1x212x11、交换二次积分的次序0dxx2f(x,y)dy(x1)n12、幂级数2n的收敛区间为n1三、解答题 （本大题共 8小题，每小题 5分，满分 40分）x13、求函数 f(x) 的间断点，并判断其类型 .sinxx14、求极限lim0(tantsint)dt2.x0(ex1)ln(13x2)15、设函数yy(x)由方程yxey1所确定，求d2yx0的值.dx2xe16、设 f(x)的一个原函数为 ，计算 xf'(2x)dx.x1dx.17、计算广义积分2xx118、设zf(xz、2zy,xy)，且具有二阶连续的偏导数，求.xxy19、计算二重积分 sinydxdy，其中D由曲线yx及y2 x所围成 .yD120、把函数 f(x) 展开为 x 2的幂级数，并写出它的收敛区间 .x 2四、综合题 （本大题共 3小题，每小题 8分，满分 24分）21、证明：sinx.20f(sinx)dx，并利用此式求0x1cos2xdx0xf(sinx)dxx1f(x)，求f(x).22、设函数f(x)可导，且满足方程tf(t)dtx2023、甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸 40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距 50公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里

500、700

元。问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管道的费用最省？2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共 6小题，每小题 4分，满分 24分）1、x0是f(x)xsin1的x（）A、可去间断点 B、跳跃间断点 C、第二类间断点 D、连续点12 、若 x 2是 函 数 y x ln( ax) 的 可 导 极值 点 ， 则 常 数 a2（ ）A、11B、23、若f(x)dxF(x)C（ ）

1C、 D、12， 则 sinxf(cosx)dxA、F(sinx) C B、 F(sinx) C C、F(cos) C D、 F(cosx)C4、设区域D是xoy平面上以点A(1,1)、B(1,1)、C(1,1)为顶点的三角形区域，区域D1是D在第一象限的部分，则：(xycosxsiny)dxdyD（）A、2(cosxsiny)dxdyB、2xydxdyD1D1C、4(xycosxsiny)dxdyD、0D15、设

x，v(x,y)lnx2y2，则下列等式成立的是u(x,y)arctany（ ）uvuvuuvA、B、C、vD、xyxxyxyy6、正项级数(1)un、(2)un3，则下列说法正确的是n1n1（）A、若（1）发散、则（2）必发散B、若（2）收敛、则（1）必收敛C、若（1）发散、则（2）可能发散也可能收敛D、（1）、（2）敛散性相同二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、limexex2x；x0xsinx8、函数f(x)lnx在区间1,e上满足拉格郎日中值定理的；1x1；9、1x210、设向量3,4,2、2,1,k；、互相垂直，则k；0dx1x211、交换二次积分的次序f(x,y)dy；1x112、幂级数 (2n 1)xn的收敛区间为 ；n1三、解答题（本大题共 8小题，每小题 8分，满分 64分）f(x)2sinx0、f'(0)6，13、设函数F(x)xx0在R内连续，并满足：f(0)ax0求a.x cost14、设函数 y y(x)由方程y sinttcost

2所确定，求 dy、dy.dx dx215、计算 tan3xsecxdx .116、计算arctanxdx017、已知函数zf(sinx,y2)，其中f(u,v)有二阶连续偏导数，求z、2zxxy18、求过点A(3,1,x4y3z2)且通过直线L:的平面方程.52119、把函数 f(x) x2 展开为x的幂级数，并写出它的收敛区间 .2 x x220、求微分方程 xy' y ex 0满足yx1 e的特解.四、证明题（本题8分）21、证明方程： x3 3x 1 0在 1,1上有且仅有一根 .五、综合题（本大题共 4小题，每小题 10分，满分 30分）22、设函数 y f(x)的图形上有一拐点 P(2,4)，在拐点处的切线斜率为 3，又知该函数的二阶导数 y'' 6x a，求 f(x).23、已知曲边三角形由 y2 2x、x 0、y 1所围成，求：（1）、曲边三角形的面积；（2）、曲边三角形饶 X轴旋转一周的旋转体体积 .uu24、设f(x)为连续函数，且f(2)1，F(u)dyf(x)dx，(u1)1y1）、交换F(u)的积分次序；2）、求F'(2).2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、A2、B3、C4、B5、A6、D7、e18、x1yz29、n!10、1arcsin4xC42341yf(x,y)dx22y1,311、dydyf(x,y)dx12、001013、间断点为xk，kZ，当x0时，limf(x)limx1，为可去间断点；xx0x0sinx当xk，k0，kZ时，lim，为第二类间断点.0sinx14 、 原 式limx(tantsint)dtlimtanxsinxlimtanx(1sinx)limx1x2.21x03x4x012x3x012x3x012x32415、x0代入原方程得y(0)1，对原方程求导得y'eyxeyy'0，对上式求导并将x 0、y 1代入，解得： y''2e2.'1)ex16、因为f(x)的一个原函数为ex，所以f(x)ex(x，xxx2xf'(2x)dx1xf'(2x)d(2x)1xdf(2x)1xf(2x)1f(2x)dx22221xf(2x)1f(2x)d(2x)x(2x1)e2xe2xCx1e2xC248x28x4x17、1dxtx12tdt21dt2arctant12xx11t(t21)1t212zf1'f2'y；18、x2z''''x'''(1)''xf11(1)f12f2yf21f22xyf''(xy)f'''''1112xyf22f2siny1ysiny119、原式Dydxdy0dyy2ydx0(1y)sinydy(y1)cosy11cosydy1sin10020、f(x)1111(1)n(x2)n，(24x241x24n04n421、证明：令tx，xf(sinx)dx0t)f(sin(t)dt(00f(sinx)dx0xf(sinx)dx故xf(sinx)dx2f(sinx)dx，证毕.00xsinxdxsinxdxarctan(cosx)02201cosx201cosx222、等式两边求导的xf(x)2xf'(x)即f'(x)xf(x)2x且q2x，pdxx2e2，ex2，pdxpdx2pdxx2x2qedx2xq2dx2e2x2x2x2所以f(x)(2e2C)e22Ce2，由f(0)1，x2，3e2解得C3f(x)223、设污水厂建在河岸离甲城x公里处，则

x 6)( t)f(sint)dt024f(0) 1，p x，M(x) 500x 700 402 (50 x)2 ，0 x 50，M'12(x50)05007002402(50x)2500解得x 50 （公里），唯一驻点，即为所求 .62005年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、A2、C3、D4、A5、A6、C7、28、e19、10、521y111、0dy1y2f(x,y)dx12、(1,1)13、因为F(x)在x0处连续，所以limF(x)F(0)，x0limF(x)limf(x)2sinxlimf(x)f(0)2f'(0)2628，x0x0xx0xF(0)a，故a8.dyd2y(y')t'14、dydtcostcosttsint1t.dxdxsintt，xt'sintdx2cscdt15、原式1sec3tan2xtanxsecxdx(sec2x1)dsecxsec2xdsecxsecxxsecxC3.、原式

xarctanx11x11d(1x2)0012dx1ln(1x4201x24x2)1021ln24217、z'，2z''2y)''cosxf1cosx(f122ycosxf12xxy18、l 5,2,1，B 4,3,0 ，AB 1,4,2ijklAB5218,9,22142平面点法式方程为：8(x 3) 9(y 1) 22(z 2) 0，即8x 9y 22z 59.19、f(x)x211)x21x21(32x1x6x31x12x2(1)n1xn，收敛域为1x1.3n02n1'1ex20、yy，通解为xxye1ex1xdxCCxdxdxxxxex因为y(1) e，e e C，所以C 0，故特解为 y .x21、证明：令f(x)x33x1，x1,1，且f(1)30，f(1)10，f(1) f(1) 0，由连续函数零点定理知， f(x)在( 1,1)上至少有一实根 .22、设所求函数为 y f(x)，则有 f(2) 4，f'(2) 3，f''(2) 0.由y'' 6x a，y''(2)0得a 12，即y'' 6x12.因为y'' 6x 12，故y'3