数学(理工农医类)诊断性检测题

20/20成都市高2010届毕业班第三次诊断性检测数学（理工农医类）解析：四川省成都市新都一中肖宏第一卷一、选择题（每小题5分，12个小题共计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是题目要求的，将所选答案的编号涂在机读卡相应位置上）不等式的解集为（）

(A){x|－1≤x≤2} (B){x|－1＜x≤2} (C){x|－1≤x＜2} (D){x|－1＜x＜2}

解析：原不等式等价于，

解得－1＜x≤2

答案：B计算的结果是()

(A) (B)3 (C) (D)2

解析：因为

因此＝3

答案：B若复数z＝(m2－1)＋(m＋1)i为纯虚数，则实数m的值等于()

(A)1 (B)0 (C)－1 (D)±1

解析：由题意m＝1答案：A已知向量a＝(－3,2),b＝(2,1),则|a＋2b|的值为()

(A)3 (B)7(C) (D)解析：因为a＋2b＝(1,4)

故|a＋2b|＝

答案：C设函数f(x)＝x2＋2(－2≤x＜0)，其反函数为f－1(x)，则f－1(3)＝()

(A)－1 (B)1 (C)0或1 (D)1或－1

解析：令f(t)＝3，则t＝f－1(3)(－2≤t＜0)

有t2＋2＝3t＝±1

但－2≤t＜0，故t＝－1

答案：A计算cot15°－tan15的结果是()

(A)EQ\f(\r(3),2) (B)EQ\f(\r(6),2) (C)3 (D)2

解法一：cot15－tan15

＝cot(45－30)－tan(45－30)

＝

＝

＝(2＋)－(2－)

＝2

解法二：cot15－tan15

＝

＝

＝

答案：Dαmn设m、n为不重合的两条直线，α、β为不重合的两个平面，下列命题为真命题的是()

(A)假如m、n是异面直线，mα，nα，那么n∥α；

(B)假如m、n是异面直线，mα，nα，那么n与α相交；

(C)假如m、n共面，mα，n∥α，那么m∥n；

(D)假如mβ，m∥α，nα，n∥β，那么m∥n.

解析：如图，可知(A)不正确

关于(B)，当n与α平行时，也能够满足m与n异面的条件，故(B)不正确

关于(C)，因为m、n共面，可设那个平面为γ，又因为mα，故m是平面α与γ的交线

依照线面平行的性质定理，当n∥α时，必定有m∥n。(C)正确

关于(D)，当α与β相交时命题正确，但当α∥β时，m、n可能是异面直线。故(D)错误

αmn某物流公司有6辆甲型卡车和4辆乙型卡车，此公司承接了每天至少运送280t物资的业务，已知每辆甲型卡车每天的运输量为30t，运输成本费用为0.9千元；每辆乙型卡车每天的运输量为40t，运输成本为1千元，则当每天运输成本费用最低时，所需甲型卡车的数量是()

(A)6 (B)5 (C)4 (D)3

解析：设需要甲型卡车x辆，乙型卡车y辆

由题意且x、y∈Z

运输成本目标函数z＝0.9x＋y

画出可行域(如图)可知，当目标函数通过A(4,4)时，z最小7.6千元

及需要甲型卡车和乙型卡车各4辆。

答案：C设数列{an}是项数为20的等差数列，公差d∈N*，且关于x的方程x2＋2dx－4＝0的两个实根x1、x2满足x1＜1＜x2，则数列{an}的偶数项之和减去奇数项之和的结果为()

(A)15 (B)10 (C)5 (D)－20

解析：记f(x)＝x2＋2dx－4

则函数f(x)的图象与x轴的两个交点分不在1的两侧

注意到f(x)开口向上，

故f(1)＜0d＜EQ\f(3,2)

又d∈N*，故d＝1

又a2n－a2n－1＝d

因此(a20＋a18＋a16＋……＋a2)－(a19＋a17＋a15＋……＋a1)

＝(a20－a19)＋(a18－a17)－……－(a2－a1)

＝10d＝10

答案：B10.设A、B为双曲线EQ\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)同一条渐近线上的两个不同的点，已知向量m＝(1,0)，|AB|＝6，＝3，则双曲线的离心率e等于()

(A)2 (B) (C)2或 (D)2或

解析：注意到向量m＝(1,0)是x轴上的单位向量，＝3表示向量在x轴上的射影长为3

而|AB|＝6，因此A、B点所在的渐近线与x轴的夹角为60.

(1)当λ＞0时，有＝tan60b＝

因此c2＝a2＋b2＝4a2e＝＝2

(2)当λ＜0时，有＝tan60a＝b

因此c2＝a2＋b2＝4b2e＝

答案：DACB11.如图为12个单位正方形组成的长方形图形，若沿格线从左下角顶点A走到右上角顶点B，每步只走一个单位长度，则所有最短路线的走法中，通过点C的走法种数是()

(A)42 (B)35

(C)20 (D)15

解析：从A到C的最短路线只有2种

从C到B横向有3段路，纵向有2段路，共5段路，其最短路线走法有C52＝10种，

故共有2×10＝20种

ACB12.设f(x)是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝()x－1，若在区间(－2，6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是()

(A)(1,2) (B)(2，＋∞) (C)(1,) (D)(,2)

解析：由f(x－2)＝f(x＋2)，知f(x)是周期为4的周期函数

因此可得f(x)在(－2,6]上的草图如图中实线所示

而函数g(x)＝loga(x＋2)(a＞1)的图象如图中虚线所示

结合图象可知，要使得方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)

在区间(－2，6]内恰有3个不同的实数根，

必需且只需

因此

解得：＜a＜2

答案：Dw－20246－20246xy3y＝loga(x＋2)13.假如直线l1：3x－4y－3＝0与直线l2关于直线x＝1对称，则直线l2的方程为______________.

解法一：l1与l2关于直线x＝1对称，

由于x＝1斜率不存在，故l1与l2斜率互为相反数，且它们与x＝1交于同一点(1,1)

可得直线l2的方程为3x＋4y－3＝0。

解法二：设P(x,y)是l2上任意一点，则点P关于x＝1的对称点Q(2－x,y)在l1上

因此3(2－x)－4y－3＝0

整理得：3x＋4y－3＝0，此即l2的方程。

答案：3x＋4y－3＝014.已知sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝，则cos2β的值为________________.

解析：因为sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sin

＝sin[(α＋β)－α]

＝sinβ＝

因此cos2β＝1－2sin22β＝1－

答案：15.如图，ABCD为菱形，CEFB为正方形，平面ABCD⊥平面CEFB，CE＝1，

∠AED＝30，则异面直线BC与AE所成角的大小为__________________.

解析：由题意，正方形和菱形变成均为1，

又平面ABCD⊥平面CEFB，因此CE⊥平面ABCD

因此CE⊥CD，从而DE＝

在△ADE中，AD＝1,DE＝,∠AED＝30

由正弦定理得：

因此sin∠DAE＝＝

故∠DAE＝45

又BC∥AD，故异面直线BC与AE所成角等于∠DAE

答案：4516.假如函数f(x)同时满足下列条件：①在闭区间[a,b]内连续，②在开区间(a,b)内可导且其导函数为f'(x)，那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a＜ξ＜b)，使得f(b)－f(a)＝f'(ξ)(b－a)成立，我们把这一规律称为函数f(x)在区间(a,b)内具有“Lg”性质，并把其中的ξ称为中值。有下列命题：

①若函数f(x)在(a,b)具有“Lg”性质，ξ为中值，点A(a,f(a)),B(b,f(b))，则直线AB的斜率为f'(ξ)；

②函数y＝在(0,2)内具有“Lg”性质，且中值ξ＝,f'(ξ)＝－;

③函数f(x)＝x3在(－1,2)内具有“Lg”性质，但中值ξ不唯一；

④若定义在[a,b]内的连续函数f(x)对任意的x1、x2∈[a,b],x1＜x2，有[f(x1)＋f(x2)]＜f()恒成立，则函数f(x)在(a,b)内具有“Lg”性质，且必有中值ξ＝.

其中你认为正确的所有命题序号是___________________.

解析：关于①，依照导函数的几何意义立即可得正确；

关于②，函数y在(0,2)上连续且可导，代值计算可得两端点连线的斜率为－

又y'＝，当x＝时，y'＝－，故②正确。

关于③，两端点连线斜率为3

而f'(x)＝3x2，令3x2＝3x＝±1，在(－1,2)内只有一个中值ξ＝1，故③错误；

关于④，[f(x1)＋f(x2)]＜f()只能保证f(x)是上凸函数，不能保证中值一定在中点处。④错误

答案：①②三、解答题：本大题共6小题。共74分．解承诺写出文字讲明。证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知函数在一个周期内的图象如图所示。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，设内角所对边的长分不是，若的面积，求的大小。（18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为梯形，点在底面内的射影恰为线段的中点，直线与底面所成的角为。（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小。(19)(本小题满分12分)某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验，预备用A、B、C三种人工降雨方式分不对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下方式实施地点大雨中雨小雨模拟实验总次数A甲4次6次2次12次B乙3次6次3次12次C丙2次2次8次12次假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不阻碍，请你依照人工降雨模拟试验的统计数据(I)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；(Ⅱ)考虑到旱情和水土流失，假如甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只能是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．(20)(本小题满分12分)设动圆M满足条件p：通过点F(，0)，且与直线l：相切；记动圆圆心M的轨迹为C．(Ⅰ)求轨迹C的方程；(Ⅱ)已知点为轨迹C上纵坐