高考文科数学第一轮复习经典习题集含答案解析

.97-/NUMPAGES99高中数学〔文科高考一轮复习习题集〔含答案目录第一章集合………………………1第一节集合的含义、表示及基本关系……………………1第二节集合的基本运算……………………3第二章函数………………………5第一节对函数的进一步认识………………5第二节函数的单调性………………………9第三节函数的性质………………………13第三章指数函数和对数函数……………………16第一节指数函数…………16第二节对数函数…………20第三节幂函数与二次函数的性质………24第四节函数的图象特征…………………28第四章函数的应用………………32第五章三角函数…………………33第一节角的概念的推广及弧度制………33第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式………39第三节正弦函数与余弦函数的图象及性质……………42第四节函数的图象……………45第六章三角恒等变换……………50第一节同角三角函数的基本关系………50第二节两角和与差及二倍角的三角函数………………53第七章解三角形…………………56第一节正弦定理与余弦定理……………56第二节正弦定理、余弦定理的应用……………………59第八章数列………………………60第九章平面向量…………………62第十章算法………………………65第一节程序框图…………65第二节程序语句…………69第十一章概率……………………73第一节古典概型…………73第二节概率的应用………………………75第三节几何概型…………79第十二章导数……………………83第十三章不等式…………………85第十四章立体几何………………88第一节简单几何体………………………88第二节空间图形的基本关系与公理……………………92第三节平行关系…………96第四节垂直关系…………100第五节简单几何体的面积与体积………104第十五章解析几何……………108第一节直线的倾斜角、斜率与方程……………………108第二节点与直线、直线与直线的位置关系……………111第三节圆的标准方程与一般方程………114第四节直线与圆、圆与圆的位置关系…………………117第五节空间直角坐标系…………………121第十六章圆锥曲线……………123.第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系A组1．已知A＝{1,2},B＝,则集合A与B的关系为________．解析：由集合B＝知,B＝{1,2}．答案：A＝B2．若,则实数a的取值范围是________．解析：由题意知,有解,故．答案：3．已知集合A＝,集合B＝,则集合A与B的关系是________．解析：y＝x2－2x－1＝<x－1>2－2≥－2,∴A＝{y|y≥－2},∴BA．答案：BA4．<20XX高考XX卷改编>已知全集U＝R,则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝关系的韦恩<Venn>图是________．解析：由N=,得N={-1,0},则NM．答案：②5．<20XX苏、锡、常、镇四市调查>已知集合A＝,集合B＝,若命题"x∈A"是命题"x∈B"的充分不必要条件,则实数a的取值范围是________．解析：命题"x∈A"是命题"x∈B"的充分不必要条件,∴AB,∴a<5．答案：a<56．<原创题>已知m∈A,n∈B,且集合A＝{x|x＝2a,a∈Z},B＝{x|x＝2a＋1,a∈Z},又C＝{x|x＝4a＋1,a∈Z},判断m解：∵m∈A,∴设m＝2a1,a1∈Z,又∵n∈B,∴设n＝2a2＋1,a2∈Z,∴m＋n＝2<a1＋a2>＋1,而a1＋a2∈Z,∴m＋n∈B组1．设a,b都是非零实数,y＝eq\f<a,|a|>＋eq\f<b,|b|>＋eq\f<ab,|ab|>可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：<1>a>0且b>0；<2>a>0且b<0；<3>a<0且b>0；<4>a<0且b<0,讨论得y＝3或y＝－1．答案：{3,－1}2．已知集合A＝{－1,3,2m－1},集合B＝{3,m2}．若B⊆A,则实数m＝________．解析：∵B⊆A,显然m2≠－1且m2≠3,故m2＝2m－1,即<m－1>2＝0,∴m＝1答案：13．设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P,b∈Q},若P＝{0,2,5},Q＝{1,2,6},则P＋Q中元素的个数是________个．解析：依次分别取a＝0,2,5；b＝1,2,6,并分别求和,注意到集合元素的互异性,∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：84．已知集合M＝{x|x2＝1},集合N＝{x|ax＝1},若NM,那么a的值是________．解析：M＝{x|x＝1或x＝－1},NM,所以N＝∅时,a＝0；当a≠0时,x＝eq\f<1,a>＝1或－1,∴a＝1或－1．答案：0,1,－15．满足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是________个．解析：A中一定有元素1,所以A有{1,2},{1,3},{1,2,3}．答案：36．已知集合A＝{x|x＝a＋eq\f<1,6>,a∈Z},B＝{x|x＝eq\f<b,2>－eq\f<1,3>,b∈Z},C＝{x|x＝eq\f<c,2>＋eq\f<1,6>,c∈Z},则A、B、C之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：AB＝C7．集合A＝{x||x|≤4,x∈R},B＝{x|x<a},则"A⊆B"是"a>5”解析：结合数轴若A⊆B⇔a≥4,故"A⊆B"是"a>5"的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．<20XXXX启东模拟>设集合M＝{m|m＝2n,n∈N,且m<500},则M中所有元素的和为________．解析：∵2n<500,∴n＝0,1,2,3,4,5,6,7,8．∴M中所有元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答案：5119．<20XX高考北京卷>设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k－1∉A,且k＋1∉A,那么称k是A的一个"孤立元"．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含"孤立元"的集合共有________个．解析：依题可知,由S的3个元素构成的所有集合中,不含"孤立元",这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A＝{x,xy,lg<xy>},B＝{0,|x|,y},且A＝B,试求x,y的值．解：由lg<xy>知,xy>0,故x≠0,xy≠0,于是由A＝B得lg<xy>＝0,xy＝1．∴A＝{x,1,0},B＝{0,|x|,eq\f<1,x>}．于是必有|x|＝1,eq\f<1,x>＝x≠1,故x＝－1,从而y＝－1．11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0},<1>若B⊆A,B＝{x|m＋1≤x≤2m－1},求实数m<2>若A⊆B,B＝{x|m－6≤x≤2m－1},求实数m<3>若A＝B,B＝{x|m－6≤x≤2m－1},求实数m解：由A＝{x|x2－3x－10≤0},得A＝{x|－2≤x≤5},<1>∵B⊆A,∴①若B＝∅,则m＋1>2m－1,即m<2,此时满足B⊆A②若B≠∅,则eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<m＋1≤2m－1,,－2≤m＋1,,2m－1≤5.>>解得2≤m≤3．由①②得,m的取值范围是<－∞,3]．<2>若A⊆B,则依题意应有eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2m－1>m－6,,m－6≤－2,,2m－1≥5.>>解得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<m>－5,,m≤4,,m≥3.>>故3≤m≤4,∴m的取值范围是[3,4]．<3>若A＝B,则必有eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<m－6＝－2,,2m－1＝5,>>解得m∈∅．,即不存在m值使得A＝B．12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0},B＝{x|x2－<a＋1>x＋a≤0}．<1>若A是B的真子集,求a的取值范围；<2>若B是A的子集,求a的取值范围；<3>若A＝B,求a的取值范围．解：由x2－3x＋2≤0,即<x－1><x－2>≤0,得1≤x≤2,故A＝{x|1≤x≤2},而集合B＝{x|<x－1><x－a>≤0},<1>若A是B的真子集,即AB,则此时B＝{x|1≤x≤a},故a>2．<2>若B是A的子集,即B⊆A,由数轴可知1≤a≤2．<3>若A=B,则必有a=2第二节集合的基本运算A组1．<20XX高考XX卷改编>设U＝R,A＝,B＝,则A∩∁UB＝____．解析：∁UB＝{x|x≤1},∴A∩∁UB＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}2．<20XX高考全国卷Ⅰ改编>设集合A＝{4,5,7,9},B＝{3,4,7,8,9},全集U＝A∪B,则集合∁U<A∩B>中的元素共有________个．解析：A∩B＝{4,7,9},A∪B＝{3,4,5,7,8,9},∁U<A∩B>＝{3,5,8}．答案：33．已知集合M＝{0,1,2},N＝,则集合M∩N＝________．解析：由题意知,N＝{0,2,4},故M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}4．<原创题>设A,B是非空集合,定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B},已知A＝{x|0≤x≤2},B＝{y|y≥0},则AⓐB＝________．解析：A∪B＝[0,＋∞>,A∩B＝[0,2],所以AⓐB＝<2,＋∞>．答案：<2,＋∞>5．<20XX高考XX卷>某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x,画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3,∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12<人>．答案：126．<20XXXXXX质检>已知集合A＝{x|x>1},集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．<1>当m＝－1时,求A∩B,A∪B；<2>若B⊆A,求m的取值范围．解：<1>当时,B＝{x|－1≤x≤2},∴A∩B＝{x|1<x≤2},A∪B＝{x|x≥－1}．<2>若B⊆A,则,即的取值范围为<1,＋∞>B组1．若集合M＝{x∈R|－3<x<1},N＝{x∈Z|－1≤x≤2},则M∩N＝________．解析：因为集合N＝{－1,0,1,2},所以M∩N＝{－1,0}．答案：{－1,0}2．已知全集U＝{－1,0,1,2},集合A＝{－1,2},B＝{0,2},则<∁UA>∩B＝________．解析：∁UA＝{0,1},故<∁UA>∩B＝{0}．答案：{0}3．<20XXXX市高三模拟>若全集U＝R,集合M＝{x|－2≤x≤2},N＝{x|x2－3x≤0},则M∩<∁UN>＝________．解析：根据已知得M∩<∁UN>＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0}4．集合A＝{3,log2a},B＝{a,b},若A∩B＝{2},则A∪B＝________解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2,∴a＝4,从而b＝2,∴A∪B＝{2,3,答案：{2,3,4}5．<20XX高考XX卷改编>已知全集U＝A∪B中有m个元素,<∁UA>∪<∁UB>中有n个元素．若A∩B非空,则A∩B的元素个数为________．解析：U＝A∪B中有m个元素,∵<∁UA>∪<∁UB>＝∁U<A∩B>中有n个元素,∴A∩B中有m－n个元素．答案：m－n6．<20XX高考XX卷>设U＝{n|n是小于9的正整数},A＝{n∈U|n是奇数},B＝{n∈U|n是3的倍数},则∁U<A∪B>＝________．解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8},A＝{1,3,5,7},B＝{3,6},∴A∪B＝{1,3,5,6,7},得∁U<A∪B>＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}7．定义A⊗B＝{z|z＝xy＋eq\f<x,y>,x∈A,y∈B}．设集合A＝{0,2},B＝{1,2},C＝{1},则集合<A⊗B>⊗C的所有元素之和为________．解析：由题意可求<A⊗B>中所含的元素有0,4,5,则<A⊗B>⊗C中所含的元素有0,8,10,故所有元素之和为18．答案：188．若集合{<x,y>|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{<x,y>|y＝3x＋b},则b＝________．解析：由eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋y－2＝0,,x－2y＋4＝0.>>⇒eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＝0,,y＝2.>>点<0,2>在y＝3x＋b上,∴b＝2．9．设全集I＝{2,3,a2＋2a－3},A＝{2,|a＋1|},∁IA＝{5},M＝{x|x＝log2|a|},则集合M解析：∵A∪<∁IA>＝I,∴{2,3,a2＋2a－3}＝{2,5,|a＋1|},∴|a＋1|＝3,且a2＋2a－3＝5,解得a＝－4或a＝2,∴M＝{log22,log2|－4|}＝{1答案：∅,{1},{2},{1,2}10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0},B＝{x|x2＋2<a＋1>x＋<a2－5>＝0}．<1>若A∩B＝{2},求实数a的值；<2>若A∪B＝A,求实数a的取值范围．解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2,故集合A＝{1,2}．<1>∵A∩B＝{2},∴2∈B,代入B中的方程,得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；当a＝－1时,B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2},满足条件；当a＝－3时,B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2},满足条件；综上,a的值为－1或－3<2>对于集合B,Δ＝4<a＋1>2－4<a2－5>＝8<a＋3>．∵A∪B＝A,∴B⊆A,①当Δ<0,即a<－3时,B＝∅满足条件；②当Δ＝0,即a＝－3时,B＝{2}满足条件；③当Δ>0,即a>－3时,B＝A＝{1,2}才能满足条件,则由根与系数的关系得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<1＋2＝－2<a＋1>,1×2＝a2－5>>⇒eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a＝－\f<5,2>,,a2＝7,>>矛盾．综上,a的取值范围是a≤－3．11．已知函数f<x>＝eq\r<\f<6,x＋1>－1>的定义域为集合A,函数g<x>＝lg<－x2＋2x＋m>的定义域为集合B．<1>当m＝3时,求A∩<∁RB>；<2>若A∩B＝{x|－1<x<4},求实数m的值．解：A＝{x|－1<x≤5}．<1>当m＝3时,B＝{x|－1<x<3},则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3},∴A∩<∁RB>＝{x|3≤x≤5}．<2>∵A＝{x|－1<x≤5},A∩B＝{x|－1<x<4},∴有－42＋2×4＋m＝0,解得m＝8,此时B＝{x|－2<x<4},符合题意．12．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．<1>若A＝∅,求实数a的取值范围；<2>若A是单元素集,求a的值及集合A；<3>求集合M＝{a∈R|A≠∅}．解：<1>A是空集,即方程ax2－3x＋2＝0无解．若a＝0,方程有一解x＝eq\f<2,3>,不合题意．若a≠0,要方程ax2－3x＋2＝0无解,则Δ＝9－8a<0,则a>eq\f<9,8>．综上可知,若A＝∅,则a的取值范围应为a>eq\f<9,8>．<2>当a＝0时,方程ax2－3x＋2＝0只有一根x＝eq\f<2,3>,A＝{eq\f<2,3>}符合题意．当a≠0时,则Δ＝9－8a＝0,即a＝eq\f<9,8>时,方程有两个相等的实数根x＝eq\f<4,3>,则A＝{eq\f<4,3>}．综上可知,当a＝0时,A＝{eq\f<2,3>}；当a＝eq\f<9,8>时,A＝{eq\f<4,3>}．<3>当a＝0时,A＝{eq\f<2,3>}≠∅．当a≠0时,要使方程有实数根,则Δ＝9－8a≥0,即a≤eq\f<9,8>．综上可知,a的取值范围是a≤eq\f<9,8>,即M＝{a∈R|A≠∅}＝{a|a≤eq\f<9,8>}第二章函数第一节对函数的进一步认识A组1．<20XX高考XX卷改编>函数y＝eq\f<\r<－x2－3x＋4>,x>的定义域为________．解析：eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<－x2－3x＋4≥0,,x≠0,>>⇒x∈[－4,0>∪<0,1]．答案：[－4,0>∪<0,1]2．<20XXXX第一次质检>如图,函数f<x>的图象是曲线段OAB,其中点O,A,B的坐标分别为<0,0>,<1,2>,<3,1>,则f<eq\f<1,f<3>>>的值等于________．解析：由图象知f<3>＝1,f<eq\f<1,f<3>>>＝f<1>＝2．答案：23．<20XX高考北京卷>已知函数f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<3x,x≤1,,－x,x>1.>>若f<x>＝2,则x＝________．解析：依题意得x≤1时,3x＝2,∴x＝log32；当x>1时,－x＝2,x＝－2<舍去>．故x＝log32．答案：log324．<20XX黄冈市高三质检>函数f：{1,eq\r<2>}→{1,eq\r<2>}满足f[f<x>]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．<原创题>由等式x3＋a1x2＋a2x＋a3＝<x＋1>3＋b1<x＋1>2＋b2<x＋1>＋b3定义一个映射f<a1,a2,a3>＝<b1,b2,b3>,则f<2,1,－1>＝________．解析：由题意知x3＋2x2＋x－1＝<x＋1>3＋b1<x＋1>2＋b2<x＋1>＋b3,令x＝－1得：－1＝b3；再令x＝0与x＝1得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<－1＝1＋b1＋b2＋b3,3＝8＋4b1＋2b2＋b3>>,解得b1＝－1,b2＝0．答案：<－1,0,－1>6．已知函数f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<1＋\f<1,x><x>1>,,x2＋1<－1≤x≤1>,,2x＋3<x<－1>.>><1>求f<1－eq\f<1,\r<2>－1>>,f{f[f<－2>]}的值；<2>求f<3x－1>；<3>若f<a>＝eq\f<3,2>,求a．解：f<x>为分段函数,应分段求解．<1>∵1－eq\f<1,\r<2>－1>＝1－<eq\r<2>＋1>＝－eq\r<2><－1,∴f<－eq\r<2>>＝－2eq\r<2>＋3,又∵f<－2>＝－1,f[f<－2>]＝f<－1>＝2,∴f{f[f<－2>]}＝1＋eq\f<1,2>＝eq\f<3,2>．<2>若3x－1>1,即x>eq\f<2,3>,f<3x－1>＝1＋eq\f<1,3x－1>＝eq\f<3x,3x－1>；若－1≤3x－1≤1,即0≤x≤eq\f<3,2>,f<3x－1>＝<3x－1>2＋1＝9x2－6x＋2；若3x－1<－1,即x<0,f<3x－1>＝2<3x－1>＋3＝6x＋1．∴f<3x－1>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<\f<3x,3x－1><x>\f<2,3>>,,9x2－6x＋2<0≤x≤\f<2,3>>,,6x＋1<x<0>.>><3>∵f<a>＝eq\f<3,2>,∴a>1或－1≤a≤1．当a>1时,有1＋eq\f<1,a>＝eq\f<3,2>,∴a＝2；当－1≤a≤1时,a2＋1＝eq\f<3,2>,∴a＝±eq\f<\r<2>,2>．∴a＝2或±eq\f<\r<2>,2>．B组1．<20XXXX江门质检>函数y＝eq\f<1,\r<3x－2>>＋lg<2x－1>的定义域是________．解析：由3x－2>0,2x－1>0,得x>eq\f<2,3>．答案：{x|x>eq\f<2,3>}2．<20XXXX枣庄模拟>函数f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<－2x＋1,<x<－1>,,－3,<－1≤x≤2>,,2x－1,<x>2>,>>则f<f<f<eq\f<3,2>>＋5>>＝_．解析：∵－1≤eq\f<3,2>≤2,∴f<eq\f<3,2>>＋5＝－3＋5＝2,∵－1≤2≤2,∴f<2>＝－3,∴f<－3>＝<－2>×<－3>＋1＝7．答案：73．定义在区间<－1,1>上的函数f<x>满足2f<x>－f<－x>＝lg<x＋1>,则f<x解析：∵对任意的x∈<－1,1>,有－x∈<－1,1>,由2f<x>－f<－x>＝lg<x＋1>,由2f<－x>－f<x>＝lg<－x＋1>,①×2＋②消去f<－x>,得3f<x>＝2lg<x＋1>＋lg<－x∴f<x>＝eq\f<2,3>lg<x＋1>＋eq\f<1,3>lg<1－x>,<－1<x<1>．答案：f<x>＝eq\f<2,3>lg<x＋1>＋eq\f<1,3>lg<1－x>,<－1<x<1>4．设函数y＝f<x>满足f<x＋1>＝f<x>＋1,则函数y＝f<x>与y＝x图象交点的个数可能是________个．解析：由f<x＋1>＝f<x>＋1可得f<1>＝f<0>＋1,f<2>＝f<0>＋2,f<3>＝f<0>＋3,…本题中如果f<0>＝0,那么y＝f<x>和y＝x有无数个交点；若f<0>≠0,则y＝f<x>和y＝x有零个交点．答案：0或无数5．设函数f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2<x＞0>,x2＋bx＋c<x≤0>>>,若f<－4>＝f<0>,f<－2>＝－2,则f<x>的解析式为f<x>＝________,关于x的方程f<x>＝x的解的个数为________个．解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<16－4b＋c＝c,4－2b＋c＝－2>>eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<b＝4,c＝2>>,∴f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2<x＞0>,x2＋4x＋2<x≤0>>>．由数形结合得f<x>＝x的解的个数有3个．答案：eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2<x＞0>,x2＋4x＋2<x≤0>>>36．设函数f<x>＝logax<a＞0,a≠1>,函数g<x>＝－x2＋bx＋c,若f<2＋eq\r<2>>－f<eq\r<2>＋1>＝eq\f<1,2>,g<x>的图象过点A<4,－5>及B<－2,－5>,则a＝__________,函数f[g<x>]的定义域为__________．答案：2<－1,3>7．<20XX高考天津卷改编>设函数f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x2－4x＋6,x≥0,x＋6,x<0>>,则不等式f<x>>f<1>的解集是________．解析：由已知,函数先增后减再增,当x≥0,f<x>>f<1>＝3时,令f<x>＝3,解得x＝1,x＝3．故f<x>>f<1>的解集为0≤x<1或x>3．当x<0,x＋6＝3时,x＝－3,故f<x>>f<1>＝3,解得－3<x<0或x>3．综上,f<x>>f<1>的解集为{x|－3<x<1或x>3}．答案：{x|－3<x<1或x>3}8．<20XX高考XX卷>定义在R上的函数f<x>满足f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<log2<4－x>,x≤0,,f<x－1>－f<x－2>,x＞0,>>则f<3>的值为________．解析：∵f<3>＝f<2>－f<1>,又f<2>＝f<1>－f<0>,∴f<3>＝－f<0>,∵f<0>＝log24＝2,∴f<3>＝－2．答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器,每单位时间进水量是一定的,设从某时刻开始,5分钟内只进水,不出水,在随后的15分钟内既进水,又出水,得到时间x与容器中的水量y之间关系如图．再随后,只放水不进水,水放完为止,则这段时间内<即x≥20>,y与x之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a1升/分钟,出水速度为a2升/分钟,则由题意得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<5a1＝20,5a1＋15<a1－a2>＝35>>,得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a1＝4,a2＝3>>,则y＝35－3<x－20>,得y＝－3x＋95,又因为水放完为止,所以时间为x≤eq\f<95,3>,又知x≥20,故解析式为y＝－3x＋95<20≤x≤eq\f<95,3>>．答案：y＝－3x＋95<20≤x≤eq\f<95,3>>10．函数．<1>若的定义域为R,求实数的取值范围；<2>若的定义域为[－2,1],求实数的值．解：<1>①若1－a2＝0,即a＝±1,<ⅰ>若a＝1时,f<x>＝eq\r<6>,定义域为R,符合题意；<ⅱ>当a＝－1时,f<x>＝eq\r<6x＋6>,定义域为[－1,＋∞>,不合题意．②若1－a2≠0,则g<x>＝<1－a2>x2＋3<1－a>x＋6为二次函数．由题意知g<x>≥0对x∈R恒成立,∴eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<1－a2>0,,Δ≤0,>>∴eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<－1<a<1,,<a－1><11a＋5>≤0,>>∴－eq\f<5,11>≤a<1．由①②可得－eq\f<5,11>≤a≤1．<2>由题意知,不等式<1－a2>x2＋3<1－a>x＋6≥0的解集为[－2,1],显然1－a2≠0且－2,1是方程<1－a2>x2＋3<1－a>x＋6＝0的两个根．∴eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<1－a2<0,,－2＋1＝\f<3<1－a>,a2－1>,,－2＝\f<6,1－a2>,,Δ＝[3<1－a>]2－24<1－a2>>0>>∴eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a<－1或a>1,,a＝2,,a＝±2.,a<－\f<5,11>或a>1>>∴a＝2．11．已知,并且当∈[－1,1]时,,求当时、的解析式．解：由f<x＋2>＝f<x>,可推知f<x>是以2为周期的周期函数．当x∈[2k－1,2k＋1]时,2k－1≤x≤2k＋1,－1≤x－2k≤1．∴f<x－2k>＝－<x－2k>2＋1．又f<x>＝f<x－2>＝f<x－4>＝…＝f<x－2k>,∴f<x>＝－<x－2k>2＋1,x∈[2k－1,2k＋1],k∈Z．12．在2008年11月4日XX航展上,中国自主研制的ARJ21支线客机备受关注,接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务,已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成,每个工人每小时能加工6个C型装置或3个H型装置．现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置,设加工C型装置的工人有x位,他们加工完C型装置所需时间为g<x>,其余工人加工完H型装置所需时间为h<x>．<单位：h,时间可不为整数><1>写出g<x>,h<x>的解析式；<2>写出这216名工人完成总任务的时间f<x>的解析式；<3>应怎样分组,才能使完成总任务的时间最少？解：<1>g<x>＝eq\f<2000,3x><0<x<216,x∈N*>,h<x>＝eq\f<1000,216－x><0<x<216,x∈N*>．<2>f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<\f<2000,3x><0<x≤86,x∈N*>.,\f<1000,216－x><87≤x<216,x∈N*>.>><3>分别为86、130或87、129．第二节函数的单调性A组1．<20XX高考XX卷改编>下列函数f<x>中,满足"对任意x1,x2∈<0,＋∞>,当时,都有"的是________．①f<x>＝eq\f<1,x>②f<x>＝<x－1>2③f<x>＝ex④f<x>＝ln<x＋1>解析：∵对任意的x1,x2∈<0,＋∞>,当x1<x2时,都有f<x1>>f<x2>,∴f<x>在<0,＋∞>上为减函数．答案：①2．函数f<x><x∈R>的图象如右图所示,则函数g<x>＝f<logax><0<a<1>的单调减区间是________．解析：∵0<a<1,y＝logax为减函数,∴logax∈[0,eq\f<1,2>]时,g<x>为减函数．由0≤logax≤eq\f<1,2>eq\r<a>≤x≤1．答案：[eq\r<a>,1]<或<eq\r<a>,1>>3．函数的值域是________．解析：令x＝4＋sin2α,α∈[0,eq\f<π,2>],y＝sinα＋eq\r<3>cosα＝2sin<α＋eq\f<π,3>>,∴1≤y≤2．答案：[1,2]4．已知函数f<x>＝|ex＋eq\f<a,ex>|<a∈R>在区间[0,1]上单调递增,则实数a的取值范围__．解析：当a<0,且ex＋eq\f<a,ex>≥0时,只需满足e0＋eq\f<a,e0>≥0即可,则－1≤a<0；当a＝0时,f<x>＝|ex|＝ex符合题意；当a>0时,f<x>＝ex＋eq\f<a,ex>,则满足f′<x>＝ex－eq\f<a,ex>≥0在x∈[0,1]上恒成立．只需满足a≤<e2x>min成立即可,故a≤1,综上－1≤a≤1．答案：－1≤a≤15．<原创题>如果对于函数f<x>定义域内任意的x,都有f<x>≥M<M为常数>,称M为f<x>的下界,下界M中的最大值叫做f<x>的下确界,下列函数中,有下确界的所有函数是________．①f<x>＝sinx；②f<x>＝lgx；③f<x>＝ex；④f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<1<x>0>,0<x＝0>,－1<x<－1>>>解析：∵sinx≥－1,∴f<x>＝sinx的下确界为－1,即f<x>＝sinx是有下确界的函数；∵f<x>＝lgx的值域为<－∞,＋∞>,∴f<x>＝lgx没有下确界；∴f<x>＝ex的值域为<0,＋∞>,∴f<x>＝ex的下确界为0,即f<x>＝ex是有下确界的函数；∵f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<1<x>0>,0<x＝0>,－1<x<－1>>>的下确界为－1．∴f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<1<x>0>,0<x＝0>,－1<x<－1>>>是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数,．<1>若存在x∈R使,求实数的取值范围；<2>设2,且在[0,1]上单调递增,求实数的取值范围．解：<1>x∈R,f<x><b·g<x>x∈R,x2－bx＋b<0Δ＝<－b>2－4b>0b<0或b>4．<2>F<x>＝x2－mx＋1－m2,Δ＝m2－4<1－m2>＝5m2①当Δ≤0即－eq\f<2\r<5>,5>≤m≤eq\f<2\r<5>,5>时,则必需eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<\f<m,2>≤0,－\f<2\r<5>,5>≤m≤\f<2\r<5>,5>>>－eq\f<2\r<5>,5>≤m≤0．②当Δ>0即m<－eq\f<2\r<5>,5>或m>eq\f<2\r<5>,5>时,设方程F<x>＝0的根为x1,x2<x1<x2>,若eq\f<m,2>≥1,则x1≤0．eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<\f<m,2>≥1,F<0>＝1－m2≤0>>m≥2．若eq\f<m,2>≤0,则x2≤0,eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<\f<m,2>≤0,F<0>＝1－m2≥0>>－1≤m<－eq\f<2\r<5>,5>．综上所述：－1≤m≤0或m≥2．B组1．<20XXXX东营模拟>下列函数中,单调增区间是<－∞,0]的是________．①y＝－eq\f<1,x>②y＝－<x－1>③y＝x2－2④y＝－|x|解析：由函数y＝－|x|的图象可知其增区间为<－∞,0]．答案：④2．若函数f<x>＝log2<x2－ax＋3a>在区间[2,＋∞>上是增函数,则实数a解析：令g<x>＝x2－ax＋3a,由题知g<x>在[2,＋∞>上是增函数,且g<2>>0∴eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<\f<a,2>≤2,,4－2a＋3a>0,>>∴－4<a≤4．答案：－4<a≤43．若函数f<x>＝x＋eq\f<a,x><a>0>在<eq\f<3,4>,＋∞>上是单调增函数,则实数a的取值范围__．解析：∵f<x>＝x＋eq\f<a,x><a>0>在<eq\r<a>,＋∞>上为增函数,∴eq\r<a>≤eq\f<3,4>,0<a≤eq\f<9,16>．答案：<0,eq\f<9,16>]4．<20XX高考XX卷改编>定义在R上的偶函数f<x>,对任意x1,x2∈[0,＋∞><x1≠x2>,有eq\f<f<x2>－f<x1>,x2－x1><0,则下列结论正确的是________．①f<3><f<－2><f<1>②f<1><f<－2><f<3>③f<－2><f<1><f<3>④f<3><f<1><f<－2>解析：由已知eq\f<f<x2>－f<x1>,x2－x1><0,得f<x>在x∈[0,＋∞>上单调递减,由偶函数性质得f<2>＝f<－2>,即f<3><f<－2><f<1>．答案：①5．<20XXXXXX模拟>已知函数f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<ax<x<0>,,<a－3>x＋4a<x≥0>>>满足对任意x1≠x2,都有eq\f<f<x1>－f<x2>,x1－x2><0成立,则a的取值范围是________．解析：由题意知,f<x>为减函数,所以eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<0<a<1,,a－3<0,,a0≥<a－3>×0＋4a,>>解得0<a≤eq\f<1,4>．6．<20XXXXXX模拟>函数f<x>的图象是如下图所示的折线段OAB,点A的坐标为<1,2>,点B的坐标为<3,0>,定义函数g<x>＝f<x>·<x－1>,则函数g<x>的最大值为________．解析：g<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2x<x－1><0≤x<1>,,<－x＋3><x－1><1≤x≤3>,>>当0≤x<1时,最大值为0；当1≤x≤3时,在x＝2取得最大值1．答案：17．<20XXXXXX模拟>已知定义域在[－1,1]上的函数y＝f<x>的值域为[－2,0],则函数y＝f<coseq\r<x>>的值域是________．解析：∵coseq\r<x>∈[－1,1],函数y＝f<x>的值域为[－2,0],∴y＝f<coseq\r<x>>的值域为[－2,0]．答案：[－2,0]8．已知f<x>＝log3x＋2,x∈[1,9],则函数y＝[f<x>]2＋f<x2>的最大值是________．解析：∵函数y＝[f<x>]2＋f<x2>的定义域为eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<1≤x≤9,,1≤x2≤9,>>∴x∈[1,3],令log3x＝t,t∈[0,1],∴y＝<t＋2>2＋2t＋2＝<t＋3>2－3,∴当t＝1时,ymax＝13．答案：139．若函数f<x>＝loga<2x2＋x><a>0,a≠1>在区间<0,eq\f<1,2>>内恒有f<x>>0,则f<x>的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x2＋x,当x∈<0,eq\f<1,2>>时,μ∈<0,1>,而此时f<x>>0恒成立,∴0<a<1．μ＝2<x＋eq\f<1,4>>2－eq\f<1,8>,则减区间为<－∞,－eq\f<1,4>>．而必然有2x2＋x>0,即x>0或x<－eq\f<1,2>．∴f<x>的单调递增区间为<－∞,－eq\f<1,2>>．答案：<－∞,－eq\f<1,2>>10．试讨论函数y＝2<logeq\f<1,2>x>2－2logeq\f<1,2>x＋1的单调性．解：易知函数的定义域为<0,＋∞>．如果令u＝g<x>＝logeq\f<1,2>x,y＝f<u>＝2u2－2u＋1,那么原函数y＝f[g<x>]是由g<x>与f<u>复合而成的复合函数,而u＝logeq\f<1,2>x在x∈<0,＋∞>内是减函数,y＝2u2－2u＋1＝2<u－eq\f<1,2>>2＋eq\f<1,2>在u∈<－∞,eq\f<1,2>>上是减函数,在u∈<eq\f<1,2>,＋∞>上是增函数．又u≤eq\f<1,2>,即logeq\f<1,2>x≤eq\f<1,2>,得x≥eq\f<\r<2>,2>；u>eq\f<1,2>,得0<x<eq\f<\r<2>,2>．由此,从下表讨论复合函数y＝f[g<x>]的单调性：函数单调性<0,eq\f<\r<2>,2>><eq\f<\r<2>,2>,＋∞>u＝logeq\f<1,2>xf<u>＝2u2－2u＋1y＝2<logeq\f<1,2>x>2－2logeq\f<1,2>x＋1故函数y＝2<logeq\f<1,2>x>2－2logeq\f<1,2>x＋1在区间<0,eq\f<\r<2>,2>>上单调递减,在区间<eq\f<\r<2>,2>,＋∞>上单调递增．11．<20XX广西XX模拟>已知定义在区间<0,＋∞>上的函数f<x>满足f<eq\f<x1,x2>>＝f<x1>－f<x2>,且当x>1时,f<x><0．<1>求f<1>的值；<2>判断f<x>的单调性；<3>若f<3>＝－1,解不等式f<|x|><－2．解：<1>令x1＝x2>0,代入得f<1>＝f<x1>－f<x1>＝0,故f<1>＝0．<2>任取x1,x2∈<0,＋∞>,且x1>x2,则eq\f<x1,x2>>1,由于当x>1时,f<x><0,所以f<eq\f<x1,x2>><0,即f<x1>－f<x2><0,因此f<x1><f<x2>,所以函数f<x>在区间<0,＋∞>上是单调递减函数．<3>由f<eq\f<x1,x2>>＝f<x1>－f<x2>得f<eq\f<9,3>>＝f<9>－f<3>,而f<3>＝－1,所以f<9>＝－2．由于函数f<x>在区间<0,＋∞>上是单调递减函数,由f<|x|><f<9>,得|x|>9,∴x>9或x<－9．因此不等式的解集为{x|x>9或x<－9}．12．已知：f<x>＝log3eq\f<x2＋ax＋b,x>,x∈<0,＋∞>,是否存在实数a,b,使f<x>同时满足下列三个条件：<1>在<0,1]上是减函数,<2>在[1,＋∞>上是增函数,<3>f<x>的最小值是1．若存在,求出a、b；若不存在,说明理由．解：∵f<x>在<0,1]上是减函数,[1,＋∞>上是增函数,∴x＝1时,f<x>最小,log3eq\f<1＋a＋b,1>＝1．即a＋b＝2．设0＜x1＜x2≤1,则f<x1>＞f<x2>．即eq\f<x12＋ax1＋b,x1>＞eq\f<x22＋ax2＋b,x2>恒成立．由此得eq\f<<x1－x2><x1x2－b>,x1x2>＞0恒成立．又∵x1－x2＜0,x1x2＞0,∴x1x2－b＜0恒成立,∴b≥1．设1≤x3＜x4,则f<x3>＜f<x4>恒成立．∴eq\f<<x3－x4><x3x4－b>,x3x4>＜0恒成立．∵x3－x4＜0,x3x4＞0,∴x3x4＞b恒成立．∴b≤1．由b≥1且b≤1可知b＝1,∴a＝1．∴存在a、b,使f<x>同时满足三个条件．第三节函数的性质A组1．设偶函数f<x>＝loga|x－b|在<－∞,0>上单调递增,则f<a＋1>与f<b＋2>的大小关系为________．解析：由f<x>为偶函数,知b＝0,∴f<x>＝loga|x|,又f<x>在<－∞,0>上单调递增,所以0<a<1,1<a＋1<2,则f<x>在<0,＋∞>上单调递减,所以f<a＋1>>f<b＋2>．答案：f<a＋1>>f<b＋2>2．<20XXXX三校模拟>定义在R上的函数f<x>既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f<1>＋f<4>＋f<7>等于________．解析：f<x>为奇函数,且x∈R,所以f<0>＝0,由周期为2可知,f<4>＝0,f<7>＝f<1>,又由f<x＋2>＝f<x>,令x＝－1得f<1>＝f<－1>＝－f<1>⇒f<1>＝0,所以f<1>＋f<4>＋f<7>＝0．答案：03．<20XX高考XX卷改编>已知定义在R上的奇函数f<x>满足f<x－4>＝－f<x>,且在区间[0,2]上是增函数,则f<－25>、f<11>、f<80>的大小关系为________．解析：因为f<x>满足f<x－4>＝－f<x>,所以f<x－8>＝f<x>,所以函数是以8为周期的周期函数,则f<－25>＝f<－1>,f<80>＝f<0>,f<11>＝f<3>,又因为f<x>在R上是奇函数,f<0>＝0,得f<80>＝f<0>＝0,f<－25>＝f<－1>＝－f<1>,而由f<x－4>＝－f<x>得f<11>＝f<3>＝－f<－3>＝－f<1－4>＝f<1>,又因为f<x>在区间[0,2]上是增函数,所以f<1>>f<0>＝0,所以－f<1><0,即f<－25><f<80><f<11>．答案：f<－25><f<80><f<11>4．<20XX高考XX卷改编>已知偶函数f<x>在区间[0,＋∞>上单调增加,则满足f<2x－1><f<eq\f<1,3>>的x取值范围是________．解析：由于f<x>是偶函数,故f<x>＝f<|x|>,由f<|2x－1|><f<eq\f<1,3>>,再根据f<x>的单调性得|2x－1|<eq\f<1,3>,解得eq\f<1,3><x<eq\f<2,3>．答案：<eq\f<1,3>,eq\f<2,3>>5．<原创题>已知定义在R上的函数f<x>是偶函数,对x∈R,f<2＋x>＝f<2－x>,当f<－3>＝－2时,f<2011>的值为________．解析：因为定义在R上的函数f<x>是偶函数,所以f<2＋x>＝f<2－x>＝f<x－2>,故函数f<x>是以4为周期的函数,所以f<2011>＝f<3＋502×4>＝f<3>＝f<－3>＝－2．答案：－26．已知函数y＝f<x>是定义在R上的周期函数,周期T＝5,函数y＝f<x><－1≤x≤1>是奇函数,又知y＝f<x>在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x＝2时函数取得最小值－5．<1>证明：f<1>＋f<4>＝0；<2>求y＝f<x>,x∈[1,4]的解析式；<3>求y＝f<x>在[4,9]上的解析式．解：<1>证明：∵f<x>是以5为周期的周期函数,∴f<4>＝f<4－5>＝f<－1>,又∵y＝f<x><－1≤x≤1>是奇函数,∴f<1>＝－f<－1>＝－f<4>,∴f<1>＋f<4>＝0．<2>当x∈[1,4]时,由题意可设f<x>＝a<x－2>2－5<a>0>,由f<1>＋f<4>＝0,得a<1－2>2－5＋a<4－2>2－5＝0,∴a＝2,∴f<x>＝2<x－2>2－5<1≤x≤4>．<3>∵y＝f<x><－1≤x≤1>是奇函数,∴f<0>＝0,又知y＝f<x>在[0,1]上是一次函数,∴可设f<x>＝kx<0≤x≤1>,而f<1>＝2<1－2>2－5＝－3,∴k＝－3,∴当0≤x≤1时,f<x>＝－3x,从而当－1≤x<0时,f<x>＝－f<－x>＝－3x,故－1≤x≤1时,f<x>＝－3x．∴当4≤x≤6时,有－1≤x－5≤1,∴f<x>＝f<x－5>＝－3<x－5>＝－3x＋15．当6<x≤9时,1<x－5≤4,∴f<x>＝f<x－5>＝2[<x－5>－2]2－5＝2<x－7>2－5．∴f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<－3x＋15,4≤x≤6,2<x－7>2－5,6<x≤9>>．B组1．<20XX高考全国卷Ⅰ改编>函数f<x>的定义域为R,若f<x＋1>与f<x－1>都是奇函数,则下列结论正确的是________．①f<x>是偶函数②f<x>是奇函数③f<x>＝f<x＋2>④f<x＋3>是奇函数解析：∵f<x＋1>与f<x－1>都是奇函数,∴f<－x＋1>＝－f<x＋1>,f<－x－1>＝－f<x－1>,∴函数f<x>关于点<1,0>,及点<－1,0>对称,函数f<x>是周期T＝2[1－<－1>]＝4的周期函数．∴f<－x－1＋4>＝－f<x－1＋4>,f<－x＋3>＝－f<x＋3>,即f<x＋3>是奇函数．答案：④2．已知定义在R上的函数f<x>满足f<x>＝－f<x＋eq\f<3,2>>,且f<－2>＝f<－1>＝－1,f<0>＝2,f<1>＋f<2>＋…＋f<2009>＋f<2010>＝________．解析：f<x>＝－f<x＋eq\f<3,2>>⇒f<x＋3>＝f<x>,即周期为3,由f<－2>＝f<－1>＝－1,f<0>＝2,所以f<1>＝－1,f<2>＝－1,f<3>＝2,所以f<1>＋f<2>＋…＋f<2009>＋f<2010>＝f<2008>＋f<2009>＋f<2010>＝f<1>＋f<2>＋f<3>＝0．答案：03．<20XXXXXX模拟>已知f<x>是定义在R上的奇函数,且f<1>＝1,若将f<x>的图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则f<1>＋f<2>＋f<3>＋…＋f<2010>＝________．解析：f<x>是定义在R上的奇函数,所以f<－x>＝－f<x>,将f<x>的图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则满足f<－2＋x>＝－f<x>,即f<x＋2>＝－f<x>,所以周期为4,f<1>＝1,f<2>＝f<0>＝0,f<3>＝－f<1>＝－1,f<4>＝0,所以f<1>＋f<2>＋f<3>＋f<4>＝0,则f<1>＋f<2>＋f<3>＋…＋f<2010>＝f<4>×502＋f<2>＝0．答案：04．<20XXXXXX质检>已知函数f<x>是R上的偶函数,且在<0,＋∞>上有f′<x>>0,若f<－1>＝0,那么关于x的不等式xf<x><0的解集是________．解析：在<0,＋∞>上有f′<x>>0,则在<0,＋∞>上f<x>是增函数,在<－∞,0>上是减函数,又f<x>在R上是偶函数,且f<－1>＝0,∴f<1>＝0．从而可知x∈<－∞,－1>时,f<x>>0；x∈<－1,0>时,f<x><0；x∈<0,1>时,f<x><0；x∈<1,＋∞>时,f<x>>0．∴不等式的解集为<－∞,－1>∪<0,1>答案：<－∞,－1>∪<0,1>．5．<20XX高考XX卷改编>已知函数f<x>是<－∞,＋∞>上的偶函数,若对于x≥0,都有f<x＋2>＝f<x>,且当x∈[0,2>时,f<x>＝log2<x＋1>,则f<－2009>＋f<2010>的值为________．解析：∵f<x>是偶函数,∴f<－2009>＝f<2009>．∵f<x>在x≥0时f<x＋2>＝f<x>,∴f<x>周期为2．∴f<－2009>＋f<2010>＝f<2009>＋f<2010>＝f<1>＋f<0>＝log22＋log21＝0＋1＝1．答案：16．<20XXXXXX模拟>已知函数f<x>是偶函数,并且对于定义域内任意的x,满足f<x＋2>＝－eq\f<1,f<x>>,若当2<x<3时,f<x>＝x,则f<2009．5>＝________．解析：由f<x＋2>＝－eq\f<1,f<x>>,可得f<x＋4>＝f<x>,f<2009．5>＝f<502×4＋1．5>＝f<1．5>＝f<－2．5>∵f<x>是偶函数,∴f<2009．5>＝f<2．5>＝eq\f<5,2>．答案：eq\f<5,2>7．<20XXXXXX质检>定义在R上的函数f<x>在<－∞,a]上是增函数,函数y＝f<x＋a>是偶函数,当x1<a,x2>a,且|x1－a|<|x2－a|时,则f<2a－x1>与f<x2解析：∵y＝f<x＋a>为偶函数,∴y＝f<x＋a>的图象关于y轴对称,∴y＝f<x>的图象关于x＝a对称．又∵f<x>在<－∞,a]上是增函数,∴f<x>在[a,＋∞>上是减函数．当x1<a,x2>a,且|x1－a|<|x2－a|时,有a－x1<x2－a,即a<2a－x1<x2,∴f<2a－x1>>f<x2>．答案：f<2a－x1>>f<8．已知函数f<x>为R上的奇函数,当x≥0时,f<x>＝x<x＋1>．若f<a>＝－2,则实数a＝________．解析：当x≥0时,f<x>＝x<x＋1>>0,由f<x>为奇函数知x<0时,f<x><0,∴a<0,f<－a>＝2,∴－a<－a＋1>＝2,∴a＝2<舍>或a＝－1．答案：－19．<20XX高考XX卷>已知定义在R上的奇函数f<x>满足f<x－4>＝－f<x>,且在区间[0,2]上是增函数．若方程f<x>＝m<m＞0>在区间[－8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1＋x2＋x3＋x4＝________．解析：因为定义在R上的奇函数,满足f<x－4>＝－f<x>,所以f<4－x>＝f<x>,因此,函数图象关于直线x＝2对称且f<0>＝0．由f<x－4>＝－f<x>知f<x－8>＝f<x>,所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f<x>在区间[0,2]上是增函数,所以f<x>在区间[－2,0]上也是增函数,如图所示,那么方程f<x>＝m<m＞0>在区间[－8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1＜x2＜x3＜x4．由对称性知x1＋x2＝－12,x3＋x4＝4,所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8．答案：-810．已知f<x>是R上的奇函数,且当x∈<－∞,0>时,f<x>＝－xlg<2－x>,求f<x>的解析式．解：∵f<x>是奇函数,可得f<0>＝－f<0>,∴f<0>＝0．当x>0时,－x<0,由已知f<－x>＝xlg<2＋x>,∴－f<x>＝xlg<2＋x>,即f<x>＝－xlg<2＋x><x>0>．∴f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<－xlg<2－x><x<0>,,－xlg<2＋x><x≥0>.>>即f<x>＝－xlg<2＋|x|><x∈R>．11．已知函数f<x>,当x,y∈R时,恒有f<x＋y>＝f<x>＋f<y>．<1>求证：f<x>是奇函数；<2>如果x∈R＋,f<x><0,并且f<1>＝－eq\f<1,2>,试求f<x>在区间[－2,6]上的最值．解：<1>证明：∴函数定义域为R,其定义域关于原点对称．∵f<x＋y>＝f<x>＋f<y>,令y＝－x,∴f<0>＝f<x>＋f<－x>．令x＝y＝0,∴f<0>＝f<0>＋f<0>,得f<0>＝0．∴f<x>＋f<－x>＝0,得f<－x>＝－f<x>,∴f<x>为奇函数．<2>法一：设x,y∈R＋,∵f<x＋y>＝f<x>＋f<y>,∴f<x＋y>－f<x>＝f<y>．∵x∈R＋,f<x><0,∴f<x＋y>－f<x><0,∴f<x＋y><f<x>．∵x＋y>x,∴f<x>在<0,＋∞>上是减函数．又∵f<x>为奇函数,f<0>＝0,∴f<x>在<－∞,＋∞>上是减函数．∴f<－2>为最大值,f<6>为最小值．∵f<1>＝－eq\f<1,2>,∴f<－2>＝－f<2>＝－2f<1>＝1,f<6>＝2f<3>＝2[f<1>＋f<2>]＝－3．∴所求f<x>在区间[－2,6]上的最大值为1,最小值为－3．法二：设x1<x2,且x1,x2∈R．则f<x2－x1>＝f[x2＋<－x1>]＝f<x2>＋f<－x1>＝f<x2>－f<x1>．∵x2－x1>0,∴f<x2－x1><0．∴f<x2>－f<x1><0．即f<x>在R上单调递减．∴f<－2>为最大值,f<6>为最小值．∵f<1>＝－eq\f<1,2>,∴f<－2>＝－f<2>＝－2f<1>＝1,f<6>＝2f<3>＝2[f<1>＋f<2>]＝－3．∴所求f<x>在区间[－2,6]上的最大值为1,最小值为－3．12．已知函数f<x>的定义域为R,且满足f<x＋2>＝－f<x>．<1>求证：f<x>是周期函数；<2>若f<x>为奇函数,且当0≤x≤1时,f<x>＝eq\f<1,2>x,求使f<x>＝－eq\f<1,2>在[0,2010]上的所有x的个数．解：<1>证明：∵f<x＋2>＝－f<x>,∴f<x＋4>＝－f<x＋2>＝－[－f<x>]＝f<x>,∴f<x>是以4为周期的周期函数．<2>当0≤x≤1时,f<x>＝eq\f<1,2>x,设－1≤x≤0,则0≤－x≤1,∴f<－x>＝eq\f<1,2><－x>＝－eq\f<1,2>x．∵f<x>是奇函数,∴f<－x>＝－f<x>,∴－f<x>＝－eq\f<1,2>x,即f<x>＝eq\f<1,2>x．故f<x>＝eq\f<1,2>x<－1≤x≤1>又设1<x<3,则－1<x－2<1,∴f<x－2>＝eq\f<1,2><x－2>,又∵f<x－2>＝－f<2－x>＝－f[<－x>＋2]＝－[－f<－x>]＝－f<x>,∴－f<x>＝eq\f<1,2><x－2>,∴f<x>＝－eq\f<1,2><x－2><1<x<3>．∴f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<\f<1,2>x<－1≤x≤1>,－\f<1,2><x－2><1<x<3>>>由f<x>＝－eq\f<1,2>,解得x＝－1．∵f<x>是以4为周期的周期函数．故f<x>＝－eq\f<1,2>的所有x＝4n－1<n∈Z>．令0≤4n－1≤2010,则eq\f<1,4>≤n≤502eq\f<3,4>,又∵n∈Z,∴1≤n≤502<n∈Z>,∴在[0,2010]上共有502个x使f<x>＝－eq\f<1,2>．第三章指数函数和对数函数第一节指数函数A组1．<20XXXXXX模拟>若a>1,b<0,且ab＋a－b＝2eq\r<2>,则ab－a－b的值等于________．解析：∵a>1,b<0,∴0<ab<1,a－b>1．又∵<ab＋a－b>2＝a2b＋a－2b＋2＝8,∴a2b＋a－2b＝6,∴<ab－a－b>2＝a2b＋a－2b－2＝4,∴ab－a－b＝－2．答案：－22．已知f<x>＝ax＋b的图象如图所示,则f<3>＝________．解析：由图象知f<0>＝1＋b＝－2,∴b＝－3．又f<2>＝a2－3＝0,∴a＝eq\r<3>,则f<3>＝<eq\r<3>>3－3＝3eq\r<3>－3．答案：3eq\r<3>－33．函数y＝<eq\f<1,2>>2x－x2的值域是________．解析：∵2x－x2＝－<x－1>2＋1≤1,∴<eq\f<1,2>>2x－x2≥eq\f<1,2>．答案：[eq\f<1,2>,＋∞>4．<20XX高考XX卷>若函数f<x>＝ax－x－a<a>0,且a≠1>有两个零点,则实数a的取值范围是________．解析：函数f<x>的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数,由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点,0<a<1时两函数图象有惟一交点,故a>1．答案：<1,+∞>5．<原创题>若函数f<x>＝ax－1<a>0,a≠1>的定义域和值域都是[0,2],则实数a等于________．解析：由题意知eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<0<a<1,a2－1＝0,a0－1＝2>>无解或eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a>1,a0－1＝0,a2－1＝2>>⇒a＝eq\r<3>．答案：eq\r<3>6．已知定义域为R的函数f<x>＝eq\f<－2x＋b,2x＋1＋a>是奇函数．<1>求a,b的值；<2>若对任意的t∈R,不等式f<t2－2t>＋f<2t2－k><0恒成立,求k的取值范围．解：<1>因为f<x>是R上的奇函数,所以f<0>＝0,即eq\f<－1＋b,2＋a>＝0,解得b＝1．从而有f<x>＝eq\f<－2x＋1,2x＋1＋a>．又由f<1>＝－f<－1>知eq\f<－2＋1,4＋a>＝－eq\f<－\f<1,2>＋1,1＋a>,解得a＝2．<2>法一：由<1>知f<x>＝eq\f<－2x＋1,2x＋1＋2>＝－eq\f<1,2>＋eq\f<1,2x＋1>,由上式易知f<x>在R上为减函数,又因f<x>是奇函数,从而不等式f<t2－2t>＋f<2t2－k><0⇔f<t2－2t><－f<2t2－k>＝f<－2t2＋k>．因f<x>是R上的减函数,由上式推得t2－2t>－2t2＋k．即对一切t∈R有3t2－2t－k>0,从而Δ＝4＋12k<0,解得k<－eq\f<1,3>．法二：由<1>知f<x>＝eq\f<－2x＋1,2x＋1＋2>,又由题设条件得eq\f<－2t2－2t＋1,2t2－2t＋1＋2>＋eq\f<－22t2－k＋1,22t2－k＋1＋2><0即<22t2－k＋1＋2><－2t2－2t＋1>＋<2t2－2t＋1＋2><－22t2－k＋1><0整理得23t2－2t－k>1,因底数2>1,故3t2－2t－k>0上式对一切t∈R均成立,从而判别式Δ＝4＋12k<0,解得k<－eq\f<1,3>．B组1．如果函数f<x>＝ax＋b－1<a>0且a≠1>的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限,那么一定有________．①0<a<1且b>0②0<a<1且0<b<1③a>1且b<0④a>1且b>0解析：当0<a<1时,把指数函数f<x>＝ax的图象向下平移,观察可知－1<b－1<0,即0<b<1．答案：②2．<20XXXX模拟>若f<x>＝－x2＋2ax与g<x>＝<a＋1>1－x在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是________．解析：f<x>＝－x2＋2ax＝－<x－a>2＋a2,所以f<x>在[a,＋∞>上为减函数,又f<x>,g<x>都在[1,2]上为减函数,所以需eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<a≤1,a＋1>1>>⇒0<a≤1．答案：<0,1]3．已知f<x>,g<x>都是定义在R上的函数,且满足以下条件①f<x>＝ax·g<x><a>0,a≠1>；②g<x>≠0；若eq\f<f<1>,g<1>>＋eq\f<f<－1>,g<－1>>＝eq\f<5,2>,则a等于________．解析：由f<x>＝ax·g<x>得eq\f<f<x>,g<x>>＝ax,所以eq\f<f<1>,g<1>>＋eq\f<f<－1>,g<－1>>＝eq\f<5,2>⇒a＋a－1＝eq\f<5,2>,解得a＝2或eq\f<1,2>．答案：2或eq\f<1,2>4．<20XX北京XX模拟>已知函数f<x>＝ax<a>0且a≠1>,其反函数为f－1<x>．若f<2>＝9,则f－1<eq\f<1,3>>＋f<1>的值是________．解析：因为f<2>＝a2＝9,且a>0,∴a＝3,则f<x>＝3x＝eq\f<1,3>,∴x＝－1,故f－1<eq\f<1,3>>＝－1．又f<1>＝3,所以f－1<eq\f<1,3>>＋f<1>＝2．答案：25．<20XXXXXX质检>已知f<x>＝<eq\f<1,3>>x,若f<x>的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g<x>,则g<x>的表达式为________．解析：设y＝g<x>上任意一点P<x,y>,P<x,y>关于x＝1的对称点P′<2－x,y>在f<x>＝<eq\f<1,3>>x上,∴y＝<eq\f<1,3>>2－x＝3x－2．答案：y＝3x－2<x∈R>6．<20XX高考XX卷改编>函数y＝eq\f<ex＋e－x,ex－e－x>的图象大致为________．解析：∵f<－x>＝eq\f<e－x＋ex,e－x－ex>＝－eq\f<ex＋e－x,ex－e－x>＝－f<x>,∴f<x>为奇函数,排除④．又∵y＝eq\f<ex＋e－x,ex－e－x>＝eq\f<e2x＋1,e2x－1>＝eq\f<e2x－1＋2,e2x－1>＝1＋eq\f<2,e2x－1>在<－∞,0>、<0,＋∞>上都是减函数,排除②、③．答案：①7．<20XX高考XX卷改编>已知函数f<x>满足：当x≥4时,f<x>＝<eq\f<1,2>>x；当x<4时,f<x>＝f<x＋1>,则f<2＋log23>＝________．解析：∵2<3<4＝22,∴1<log23<2．∴3<2＋log23<4,∴f<2＋log23>＝f<3＋log23>＝f<log224>＝<eq\f<1,2>>log224＝2－log224＝2log2eq\f<1,24>＝eq\f<1,24>．答案：eq\f<1,24>8．<20XX高考XX卷改编>设函数y＝f<x>在<－∞,＋∞>内有定义,对于给定的正数K,定义函数fK<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<f<x>,f<x>≤K,,K,f<x>>K.>>取函数f<x>＝2－|x|,当K＝eq\f<1,2>时,函数fK<x>的单调递增区间为________．解析：由f<x>＝2－|x|≤eq\f<1,2>得x≥1或x≤－1,∴fK<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2－|x|,x≥1或x≤－1,,\f<1,2>,－1<x<1.>>则单调增区间为<－∞,－1]．答案：<－∞,－1]9．函数y＝2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],当a变动时,函数b＝g<a>的图象可以是________．解析：函数y＝2|x|的图象如图．当a＝－4时,0≤b≤4,当b＝4时,－4≤a≤0,答案：②10．<20XXXXXX模拟>已知函数f<x>＝a2x＋2ax－1<a>0,且a≠1>在区间[－1,1]