华工2006-2007线性代数试题及解答

文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.2006线性代数》试卷A一、填空题（每小题 4分，共20分）。1000．已知正交矩阵P使得PTAP010，则PTA2006(EA)P0021．设A为n阶方阵，1,2,n是A的n个特征根，则det(A2)=2．设A是mn矩阵，B是m维列向量，则方程组AXB有无数多个解的充分必要条件是：rank(A)=rank(A,B)<n3．若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩为2，则t=-81511x5234．D(x)54，则D(x)0的全部根为：1、2、-3x29x35827二、选择题（每小题4分，共20分）001010c）。D1．行列式的值为（100A，1，B，-1n(n1)n(n1)C，(1)2D，(1)22．对矩阵Amn施行一次行变换相当于（A）。A，左乘一个m阶初等矩阵， B ，右乘一个m阶初等矩阵C，左乘一个n阶初等矩阵， D ，右乘一个n阶初等矩阵3．若A为m×n矩阵，r(A)rn，M{X|AX0,XRn}。则（C）。DA，M是m维向量空间，B，M是n维向量空间C，M是m-r维向量空间，D，M是n-r维向量空间4．若n阶方阵A满足，A2=0，则以下命题哪一个成立（A）。DA，r(A)0，B，r(A)n2C，r(A)n2，D，r(A)n25．若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（D）。A，矩阵AT为正交矩阵，B，矩阵A1为正交矩阵C，矩阵A的行列式是1，D，矩阵A的特征根是1三、解下列各题（每小题 6分，共30分）1文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.1．若A为3阶正交矩阵，A*为A的伴随矩阵，求det(A*)a1112．计算行列式1a11(a+3)(a-1)^311a。1111a0203．设A200,ABAB，求矩阵B。0014、求向量组1(1,2,1,2),2(1,0,1,2),3(1,1,0,0),4(1,1,2,4)的一个最大无关组。5、求向量=（1，2，1）在基(1,1,1),(0,1,1),(1,1,1)下的坐标。四、（12分）求方程组x1x22x3x4x523x1x22x37x43x52的通解（用基础解系与特解表示）。x15x210x33x4x56六、证明题（6分）设0，1,2,L,r是线性方程组AX对应的齐次线性方程组一个基础解系，是线性方程组AX的一个解，求证1,2,,r,线性无关。《2006年线性代数 A》参考答案一 填空题20-2

2006(2)(3)(4)(5)

12···λn2r(A)=r(A,B)<nt=-81,2,-3二 选择题(1)D (2)A (3)D (4)D (5)D三 解答题* * 3(1)A ·A =|A|·E,|A| ·|A|=|A |2文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.*2-1|=1|A|=|A|=|A·A’|=|A·Aa111111111111a11(a1a110a1003(2)1a13)1a1(a3)0a1(a3)(a1)1100111a111a000a1(3)由AB=A-B，有(AE)BA,B(AE)1A，4）而

1234

12121210101210101100110011241120故{1，2，3}为一个极大无关组5）6、求向量 =（1，2，1）在基 (1,1,1), (0,1,1), (1,1,1)下的坐标。令ω=（1，2，1）=xα+yβ+zγ，则有：xz1x32xyz2解得：y0xyz1z12ω的坐标为3,0,122四解：122112112112112112A312732048404012101原1510316048404000000方程组同解下面的方程组：即：x1x222x3x4x5x212x3x4令x3x4x50,求解得：（1，1，0，0，0）=η。齐次方程组基础解系为：3文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.1(0,2,1,0,0),2(2,1,0,1,0),3(1,0,0,0,1),通解为a11a22a33。x10当11时，由1EAx20，求得基础解系：1x31六，证明证：设a1(1 ) ar(r ) b 0，则a11 arr (a1 ar b) 0，于是：A(a11 ar r (a1 ar b)) 0,即：(a1 ar b)A 0但A 0，故 (a1 ar b) =0。从而 a11 arr=0。但 1，，r线形无关，因此 a1, ,ar全为0，于是b=0,由此知：1 , , r , 线形无关。设 0， 1,2,L,r是线性方程组AX 对应的齐次线性方程组一个基础解系， 是线性方程组AX 的一个解，求证 1 ,2 , ,r , 线性无关。2006线性代数》试卷B一、填空题（每小题 4分，共20分）。1001．已知正交矩阵P使得PTAP010，则PTA2006(A1A)P0022．设A为n阶方阵，1,2,n是A的n个特征根，则det(AT)=3．设A是mn矩阵，则方程组AXB对于任意的m维列向量B都有无数多个解的充分必要条件是：4．若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩不为3，则t=15131x52270的全部根为：5．D(x)54，则D(x)x239x3583二、选择题（每小题4分，共20分）4文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.1111．n阶行列式110的值为（）。100B，1，B，(1)nn(n1)n(n1)C，(1)2D，(1)22．对矩阵Amn施行一次列变换相当于（）。B，左乘一个m阶初等矩阵，B，右乘一个m阶初等矩阵C，左乘一个n阶初等矩阵，D，右乘一个n阶初等矩阵3．若A为m×n矩阵，r(A)rn，M{X|AX0,XRn}。则（）。A，M是m维向量空间，B，M是n维向量空间C，M是m-r维向量空间，D，M是n-r维向量空间4．若n阶方阵A满足，A2=E，则以下命题哪一个成立（）。A，r(A)n，B，r(A)n2C，r(A)n2，D，r(A)n25．若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（）。A，矩阵-AT为正交矩阵，B，矩阵-A1为正交矩阵C，矩阵A的行列式是实数，D，矩阵A的特征根是实数三、解下列各题（每小题6分，共30分）1．若A为3阶正交矩阵，求det(E-A2)abbbbabb2．计算行列式ba。bbbbba0203．设A200,ABAB，求矩阵A-B。0014、求向量组1(1,2,1,2),2(1,0,1,2),3(1,1,0,0),4(1,1,2,4)的的秩。向量在基(1,1,1),(0,1,1),(1,1,1)下的坐标（4，2，-2），求在,,下的坐标。5文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.四、（12分）求方程组x1x22x3x4x523x1x22x37x43x52的通解（用基础解系与特解表示）。x15x210x33x4x56六、证明题（6分）设0，1,2,L,r是线性方程组AX对应的齐次线性方程组一个基础解系，是线性方程组AX的一个解，求证对于任意的常数a，1a,2a,L,ra,线性无关。证：设a1(1a)ar(ra)b0，则a11arr(a1aarab)0，于是：A(a11arr(a1aarab))0,即：(a1aarab)A0但A0，故(a1aarab)=0。从而a11arr=0。但1，，r线形无关，因此a1,,ar全为0，于是b=0,由此知：1a,,ra,线形无关。《2006年线性代数 B》参考答案二 填空题（1）2-2-5*2

2005λ1···λnm=r(A)=r(A,B)<nt=-81,2,-3选择题(1)D (2)D (3)D (4)A (5)D三 解答题6文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.(1)3阶的正交矩阵必有一个实特征根，这个特征根为1或者-1，所以det(E-A2)=det（E-A）·det（E+A）=0（2）(3)由AB=A-B，有(AE)BA,B(AE)1A，112121210（4）210121010110011003411241120而故秩为3。5）令ω=α+2β+γ=x（α+β）+y（β+γ）+z（γ+α），则有：xz4x2xy2解得：y0yz2z2所求的ω的坐标为2,0,2四解：112112112112112112A312732048404012101原1510316048404000000方程组同解下面的方程组：即：x1x222x3x4x5x212x3x4令x3x4x50,求解得：（1，1，0，0，0）=η。齐次方程组基础解系为：1(0,2,1,0,0),2(2,1,0,1,0),3(1,0,0,0,1),通解为a11a22a33。六，证明证：设a1(1a)ar(ra)b0，则a11arr(a1aarab)0，7文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.于是：A(a11arr(a1aarab))0,即：(a1aarab)A0但A0，故(a1aarab)=0。从而a11arr=0。但1，，r线形无关，因此a1,,ar全为0，于是b=0,由此知：1a,,ra,线形无关。《2007线性代数 》试卷一、填空题（共 20分）（1）设A是mn矩阵，B是m维列向量，则方程组AXB无解的充分必要条件是：rank(A)<rank(A,B)（2）已知可逆矩阵P使得P1APcossin，则P1A2007Psincos（3）若向量组α=（0，4，t），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩为2，则t=（4）若A为2n阶正交矩阵，A*为A的伴随矩阵，则A*=-11,2,,n（5）设A为n阶方阵，n是A的n个特征根，则iiEA=1二、选择题（共20分）(1)D(2)D(3)C(4)都对(5)A（1）将矩阵Amn的第i列乘C加到第j列相当于对DA，乘一个m阶初等矩阵，B，右乘一个m阶初等矩阵C，左乘一个n阶初等矩阵，D，右乘一个n阶初等矩阵6．若A为m×n矩阵，r(A)rn，M{X|AX0,XRn}。则（C）。DA，M是m维向量空间，B，M是n维向量空间C，M是m-r维向量空间，D，M是n-r维向量空间（2）若A为m×n矩阵，B是m维非零列向量，r(A)rmin{m,n}。集合M{X:AXB,XRn}则BDA，M是m维向量空间，B，M是n-r维向量空间C，M是m-r维向量空间，D，A，B，C都不对（3）若n阶方阵A，B满足，A2B2，则以下命题哪一个成立DC8文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.A，AB，B，r(A)r(B)C，detAdetB，D，r(AB)r(AB)n（4）若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个成立：AA，矩阵A1为正交矩阵，B，矩阵-A1为正交矩阵C，矩阵A*为正交矩阵，D，矩阵-A*为正交矩阵111（5）4n阶行列式110的值为：A100A，1，B，-1C，nD，-n三、解下列各题（共30分）51111．求向量1，在基10,21,31下的坐标。31010202．设A200,ABA1B，求矩阵B1-A00113353．计算行列式199251272712518181625134094.计算矩阵A266310列向量组生成的空间的一个基。3969339412013409134090023800238A06924000050008122700000rank(A)3（4分一个基1(1,2,3,3)T,3(4,6,6,4)T,5(9,10,3,0)T9文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.ab1b2...bnb0ab2...bn5.设Ab0b1a...bn计算detA......b0b1b2...a四、证明题（10分）设1,2,L,r是齐次线性方程组AX0的一个基础解系，不是线性方程组AX0的一个解，求证1,2,,r,线性无关。六、（8分）a取何值时，方程组x1 x2 2x3 a3x1 x2 2x3 a 有无数多个解？并求通解x1 5x2 10x3 6七、（4分）设矩阵A ，B，A+B都是可逆矩阵，证明矩阵 A1 B1也是可逆矩阵。《2007年线性代数 A》参考答案一填空题 每个四分(4)

rankA<rank(A|B) 或者rankA rank(A|B)(5)(6)

t=0

4 214i3二选择题(1)D(2)D(3)C(4)都对(5)A三解答题51111．求向量1，在基10,21,31下的坐标。3101(1)设向量在基1,2,3下的坐标为(x1,x2,x3)T，则x1x2x35x2x31（4分）x1x33x16x22（6分）x3310文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.0202．设A200,ABA1B，求矩阵B1-A001(2)ABA1B(AE)BA1AEA1B1（2分）A(AE)B1020120420则B1A(AE)2002102400010020011 3 3 53．计算行列式199251272712518181625133536101110612202242115(96)509102424120(3)39423100812307884620480911382408123（4）13409134090023800238A06924000050008122700000rank(A)3（4分）一个基1(1,2,3,3)T,3(4,6,6,4)T,5(9,10,3,0)T（5）六，证明七《2007线性代数 》试卷一、填空题（共 20分）（1）设A是mn矩阵，B是m维列向量，则方程组AXB有唯一解的充分必要条件是：11文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.（2）已知可逆矩阵cossin1(A2007A2007)PP使得P1AP，则Psincos（3）若向量组α=（0，4，t），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩r不为3，则r=（4）若A为2n+1阶正交矩阵，A*为A的伴随矩阵，则A*=1,2,,n是A的n个特征根，则n（5）设A为n阶方阵，2iEA2=i1二、选择题（共20分）(1)D(2)C(3)D(4)A(5)B（1）将矩阵Amn的第i列乘c相当于对A：A，左乘一个m阶初等矩阵，B，右乘一个m阶初等矩阵C，左乘一个n阶初等矩阵，D，右乘一个n阶初等矩阵（2）若A为m×n矩阵，r(A)rmin{m,n}。集合M{X:X'A0,XRm}则BCA，M是m维向量空间，B，M是n-r维向量空间C，M是m-r维向量空间，D，A，B，C都不对（3）若n阶方阵A，B满足，A24B2，则以下命题哪一个成立CDA，A2B，B，r(A)r(B)C，detA2detB，D，都不对（4）若A是n阶初等矩阵，则以下命题那一个成立：AA，矩阵A1为初等矩阵，B，矩阵-A1为初等矩阵C，矩阵A*为初等矩阵，D，矩阵-A*为初等矩阵111（5）4n+2阶行列式110的值为：100A，1，B，-1C，nD，-n三、解下列各题（共30分）01111．求向量1，在基10,21,31下的坐标。310112文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.0202．设A200,ABA12B，求矩阵B1-A0011 13 3 53．计算行列式1199251372712519181625134094.计算矩阵A266310列向量组生成的空间的一个基。3969300233ab1b2...bnb0ab2...bn5.设Ab0b1a...bn计算detA......b0b1b2...a四、证明题（10分）设1,2,L,r是齐次线性方程组AX0的一个基础解系，不是线性方程组AX0的一个解，求证1,2,L,r,线性无关。六、（8分）a取何值时，方程组无解？七、设矩阵A，B，A+B都是可逆矩阵，证明矩阵A1B1也是可逆矩阵。（4分）《2007年线性代数 B》参考答案三填空题每个四分（1）rankA=rank(A|B)=n（2）2cos2007002cos2007（3）r=2（4）1（5）0二选择题(1)D(2)C(3)D(4)A(5)B三解答题(1) 设向量 在基 1,2,3下的坐标为(x1,x2,x3)T，则13文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.x1x2x30（4分）x2x31x1x33x11（6分）x2 3x3 2(2)QABA1B(AE)BA1AEA1B1A(AE)B1020120则B1A(AE)200210001002（6分）13353610061220242115024242(3)120394231007884620480918113824023

4 2 040（2分）0 0 21 1 1(96) 5 0 9 10 81 23（6分）（4）13409134090023800238A06924000050008122700000rank(A)3（4分）一个基1(1,2,3,3)T,3(4,6,6,4)T,5(9,10,3,0)T（6分）（5）14文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.nab0ab1b2Lbnabib1b2Lbnb0aab10L0i1abi0ab10L0原式b0a0ab20000ab200LLLLLLLLLLb0a000abn0000abnnbab0)n(a(abi)i1iabi1i（6分）四证明：六，证明七《2007线性代数-1》试卷一、填空题（共20分）1xx2x31．设行列式D(x)13927，则方程D(x)0的所有解是：1416641981729111111112,A2001分别等于：2．已知矩阵A11，则矩阵A1111113．设1,2,...,n是n阶对称方阵A的n个特征值，1,2,...,n是对应的特征向量，若2，则向量1,2的夹角是：x1 x2 a1x2 x3 a24．若方程组 x3 x4 a3有解，则a1 a2 a3 a4 a5的值等于：x4 x5 a4x5 x1 a55．若矩阵A是n阶实矩阵，且 AAT O，这里O为零矩阵，则矩阵 A的所有特征值为：二、选择题（共20分）7．若矩阵A和B都是n阶正定矩阵，若 n是任意自然数，则A，rank(3A 5B) 3， B ，rank(3A 5B) 515文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.C，rank(3A5B)n，D，rank(3A5B)不能确定8．设有齐次线性方程组AX=0和BX=0，其中A，B为mn矩阵，现有四个命题1）若AX=0的解均是BX=0的解，则rank(A)rank(B)2）若rank(A)rank(B)，则AX=0的解均是BX=0的解3）若AX=0与BX=0同解，则rank(A)rank(B)4）若rank(A)rank(B)，则AX=0与BX=0同解以上命题中正确的是A，（1）（2），B，（1）（3）C，（2）（4），D，（3）（4）9．若A，B是任意n阶方阵，则以下等式中一定成立的是：A，(AB)2 A2B2 B ，(AB)C，det(A B) detA detB， D ，(AB)

B1A1B*A*10． 若n阶方阵A,B,C,D，满足ABCD Inn，则有A，BACD Inn， B ， ABDC InnC，DABC Inn， D ， ACBD Inn11． 若A是n阶方阵，则A是n阶正交方阵的充分必要条件不是C，A的列向量构成Rn的单位正交基 B ，det(A) 1C，A的行向量构成Rn的单位正交基 D ，A1 AT三、解下列各题（共 30分）1 1 0 11．求向量 1 2 ，在基 1 1, 2 1, 3 1下的坐标。4 1 1 12．设A是三阶方阵且 A 1，求(3A)12A*的值20 x x...x0x...x3．计算行列式xx0...x......xxx...04.设向量组1(1,2,1,3),2(4,1,5,6),3(1,3,4,7),4(2,1,1,0)。16文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.求向量组的一个最大无关组。5.设A212，计算A1003四、证明题（8分）设向量1,2,3线性无关，求证：向量2132,523,341线性无关。六、（8分）求方程组的一个基础解系七、（6分）设矩阵A，B是正定矩阵，证明分块矩阵 A O也是正定矩阵。O B湖南商学院 2006 年度（线性代数）期末考试试卷一、填空题（每小题2分，共20分）a11a12a132a112a122a131.如果行列式a21a22a232，则2a212a222a23。a31a32a332a312a322a33131268122.设D91，则A12A22A32A42。3262323.设B12,C12,且有ABCE,则A1=。1034a11x104.设齐次线性方程组1a1x20的基础解系含有2个解向量，则a。11ax305.A、B均为5阶矩阵，A1,B2，则BTA1。26.设(1,2,1)T,设AT，则A6。7.设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，若是矩阵A的一个特征值，则A*的一个特征值可表示为。8.若f2x2x23x22tx1x22xx为正定二次型，则t的范围是。123139.设向量(2,1,3,2)T,(1,2,2,1)T，则与的夹角。10.若3阶矩阵A的特征值分别为1，2，3，则AE。二、单项选择（每小题2分，共10分）17文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.x1x2x301.若齐次线性方程组x1x2x30有非零解,则（）x1x2x30A.1或2B.－1或－2C.1或－2D.－1或2.2.已知4阶矩阵A的第三列的元素依次为1,3,2,2，它们的余子式的值分别为3,2,1,1，则A（）A.5B.-5C.-3D.33.设A、B均为n阶矩阵，满足ABO，则必有（）A.AB0B.r(A）r(B）C.AO或BOD.A0或B04.设ββ是非齐次线性方程组AXb的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解1,2的是（）A．B．13122C．1122D．1252三、计算题(每题9分，共63分)abb1.计算n阶行列式babDnbba1012.设A,B均为3阶矩阵，且满足ABEA2B，若矩阵A020，求矩阵B。1011390ab3.已知向量组12,20,36和11,22,31；已知3可以317110由1,2,3线性表示,且1,2,3与1,2,3具有相同的秩,求a,b的值。102114.已知向量组13,35521,21,4,5234242680（1）求向量组1,2,3,4,5的秩以及它的一个极大线性无关组；（2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。18文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.x1x22x33x415.已知线性方程组x13x26x3x43x15x210x39x4a（1）a为何值时方程组有解？（2）当方程组有解时求出它的全部解 （用解的结构表示）.14101APD确定，试求A56.设矩阵P1,D，矩阵A由关系式P102四、证明题（7分）已知3阶矩阵B O，且矩阵B的列向量都是下列齐次线性方程组的解x12x2x302x1x2x30，（1）求的值；（2）证明：B0。3x1x2x30参考答案与评分标准一. 填空题7101211．-16；2.0；3.；4.1；5.-4；6.65A65242；7.A1；8.5t5；12121339.；10.24。2二.单项选择：1.C；2.A；3.D；4.B；5.C.三.计算题：abb1bbab[a1a1.Dn(n1)b]bba1b1bb0ab0(n1)b](a[a(n1)b][a00ab2.ABEA2BABBA2E(AE)B(AE)(AE)001因为AE010显然可逆100101201则BAE020E030101102

bb4分ab)n19分3分6分9分19文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.139b139b3.2061061212b,3分31700005/3b/3即b5，且r(1,2,3)25分那么r(1,2,3)2，则6分0ab121121121031031，即a159分1100a50a1501021110211102104.1355203361011204分213420112000001426800224400000r(1,2,3,4,5)35分其极大线性无关组可以取为1,2,57分且：321205，4122059分1123111231100405.13613024220121115109a06126a10000a5当a5时，线性方程组有解4分0即x14x4，特解为01，6分x212x3x40004其导出组的一般解为x14x4，基础解系为12,218分x22x3x41001原线性方程组的通解为0k11k22(k1,k2为任意常数）6.由P1APD，得APDP1A5PD5P15141114141001102311110321112814434431321111127.f(x1,x2,x3)x122x22x322x1x22x1x34x2x3=x122x1(x2x3)(x2x3)2x222x2x3=(x1x2x3)2(x2x3)2x32y1x1x2x3令y2x2x3y3x3

9分2分4分114317分19分2分4分6分20文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.x1y1y2即作线性变换x2y2y38分x3y3可将二次型化成标准形fy12y22y329分四.证明题：因为BO，所以齐次线性方程组有非零解，故其方程组的系数行列式1212150，所以03分311121121（2）A210052，r(A)2，因此齐次线性方程组的基础解系所含解的个数311000为3-2=1，故r(B)1，因而B0。7分一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分)1．A是n阶方阵，R，则有AA。（）2．A，B是同阶方阵，且AB0，则(AB)1B1A1。（）3．如果A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。()．若A,B均为n阶方阵，则当AB时，A,B一定不相似。()45．n维向量组1,2,3,4线性相关，则1,2,3也线性相关。（）二、单项选择题（每小题 3分，共15分）1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。001100100100010000020012（A）100(B)010(C)001(D)0012．设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）。（A）12,23,31（B）1,2,31（C）1,2,2132（D）2,3,2233．设A为n阶方阵，且A2 A 5E 0。则(A 2E)1 （ ）(A)AE(B)EA(C)1(AE)(D)1(AE)3321文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.4．设A为m n矩阵，则有（ ）。（A）若m n，则Ax b有无穷多解；（B）若m n，则Ax 0有非零解，且基础解系含有 n m个线性无关解向量；C）若A有n阶子式不为零，则Axb有唯一解；D）若A有n阶子式不为零，则Ax0仅有零解。5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有 n个线性无关的特征向量，则（ ）（A）A与B相似 （B）A B，但|A-B|=0（C）A=B （D）A与B不一定相似，但|A|=|B|三、填空题（每小题 4分，共20分）012On11．n0。2．A为3阶矩阵，且满足A3,则A1=______，3A*。1021112234423．向量组1，5，7，0是线性（填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是。12134．已知1,2,3是四元方程组Axb的三个解，其中A的秩R(A)=3，4，442344，则方程组Axb的通解为。31A1a15．设 5 0 3，且秩(A)=2，则a= 。四、计算下列各题（每小题 9分，共45分）。22文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.121A3421．已知A+B=AB，且122，求矩阵B。2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)，而AT，求An。x1x2ax31x1x22x31xaxxa23.已知方程组123有无穷多解，求a以及方程组的通解。4.求一个正交变换将二次型化成标准型5．A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。五．证明题（每题 5分，共10分）。1．若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，AB BA是否为对称矩阵？证明你的结论。2．设A为m n矩阵，且的秩R(A)为n，判断ATA是否为正定阵？证明你的结论。线性代数试题解答一、1．（F）（AnA）2．（T）100000A010B0103．（F）。如反例：000，001。4．（T）（相似矩阵行列式值相同）5．（F）二、1．选B。初等矩阵一定是可逆的。2．选B。A中的三个向量之和为零，显然A线性相关；B中的向量组与1，2，3等价,其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合，C、D中的向量组线性相关。23文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.3．选C。由A2 A 5E 0 A2 A 2E 3E A 2E(A E) 3E，A2E11E)(A3)。．选D。A错误，因为mn，不能保证R(A)R(A|b)；B错误，Ax0的基础解系含4有nRA个解向量；C错误，因为有可能R(A)nR(A|b)n1，Axb无解；D正确，因为R(A)n。5．选A。A正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵P,Q，使得PAP1diag(1,2,L,n)QBQ1，因此A,B都相似于同一个对角矩阵。三、1．1n1n!（按第一列展开）122．3；35（3A=33A）3．相关（因为向量个数大于向量维数）。1,2,4。因为3212，A|124|0。4．1234Tk2024T。因为RA3，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为2321，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。5．a6（RA2A0)四、1．解法一：ABABAEBAB(AE)1A。将AE与A组成一个矩阵(AE|A)，用初等行变换求(E|(AE)1A)。021121100001332342332342AE|A=121122(r1r3)121122100001001010103B103r2r3001325。故325。uuuuur解法二：ABABAEBAB(AE)1A。24文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.021101001(AE)1332113B(AE)1A103121326，因此325。1111AT111111112．解：1111，A24A，AnT)(T)L(T)(T)(T)L(T)Tn1Tn1(44A。3．解法一：由方程组有无穷多解，得R(A)R(A|b)3，因此其系数行列式11a|A|11201a1。即a1或a4。当a 1时，该方程组的增广矩阵于是R(A) R(A|b) 2 3，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系13T1100T221时，方程组有无穷多解，其通，原方程组的一个特解，故aT13T1010k解为22，11411141(A|b)11210220当a4时增广矩阵1411600015，R(A) 2 R(A|b) 3，此时方程组无解。解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。11a111a111a1(A|b)1121022a0022a01a1a20a11aa21001(1a)(4a)a212由25文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.1(1a)(4a)a210于该方程组有无穷多解，得R(A)R(A|b)3。因此2，即a1。求通解的方法与解法一相同。4．解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵122122A224|AE|224(2)2(7)242，242因此得到其特征值为122，37。再求特征值的特征向量。解方程组(A2E)x0，得对应于特征值为122的两个线性无关的特征向量TT1210，2201。解方程组(A7E)x0得对应于特征值为7的一个特征向量122T33。24T210T20T正交化为p121Tp2155再将1，210，。24TTp21T最后将p121055，122，3单位化后组成的矩阵即2525151535452515305233，其标准形为f2y122y227y32为所求的正交变换矩阵。．解：（）由EA2EA0知-1，2为A的特征值。AB2B0A2EB0，51故-2为A的特征值，又B的秩为2，即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故A的特征值为-1，2，-2，-2。（2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以A有四个线性无关的特征向量，故A可相似对角化。3）A3E的特征值为2，5，1，1。故A3E=10。五、1．ABBA为对称矩阵。26文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.证明：AB BAT ABT BAT=BTAT ATBT=BAAB=ABBA，所以AB BA为对称矩阵。2．ATA为正定矩阵。ATTATA知ATA为对称矩阵。对任意的0，由RAn得证明：由An维向量TATA2A0，=A0，由定义知ATA是正定矩阵。成都理工大学2006—2007学年第一学期《线性代数》考试试卷（ A）一.填空题（每空 3分，共30分）1.13，则A=。已知A*=402.A、B、C是同阶矩阵，A可逆，若AB=AC，则B=。3.若A2=E，则A1=。4.设A=1，2A=32，则A为阶矩阵。3015.行列式D=026中，元素6的代数余子式为。0246.A、B、C是同阶方阵，且 A≠0，BA=C，则B= 。7.逆序数τ（23541）= 。8.n+2个n维向量的相关无关性为 （填“相关”“无关”或“不确定”）。9.向量组的 所含向量的个数称为向量组的秩。10.若n阶实矩阵A满足 ，则称A为正交矩阵。二.单项选择题（每小题 3分，共15分）11.A、B是同阶方阵，下面结论中（ ）是正确的。(A)若AB=0且B≠0，则A=0； (B)若AB=0且B≠0，则A=0；27文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.(C)若AB=0且B≠0，则A≠0； (D)若A≠0，则A是可逆矩阵。12.n阶行列式D的值为零的充要条件是（ ）(A)某一行元素全为零； (B)某两行元素相等；(C)D的秩＜n； (D)两行对应元素成比例.13.若A是( )，则A不一定是方阵。(A)对称矩阵； (B)方程组的系数矩阵；(C)可逆矩阵； (D)上（下）三角形矩阵。14.两个非零向量α、β线性相关的充分必要条件是（ ）(A)α、β的对应分量成比例； (B)α=β；(C)α、β中有一个是零向量； (D)0α+0β=0不成立.15.齐次线性方程组AX=0有非零解是它的基础解系存在的（ ）。充要条件；(B)必要条件；(C)充分条件；(D)无关条件..解答下列各题：（21分）abc116.计算D=bca1cab1bccaab2221证明若对称矩阵A为非奇异矩阵，则A1也对称。设α1=(1，2，3，4)，α2=(1，3，5，7)，α3=(2，6，10，11)，4=(3，7，11，15)。回答下列问题：求r(α1,α2,α3,α4)；求此向量组的一个极大线性无关组。四、（5分）19.设三阶矩阵A的特征值为1，2，3，求A1的值28文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.五、（10分）111，（1）求A1；（2）若AX=141，求X。已知1025020.A=2111321六.（9分）用基础解系求下列方程组的全部解.成都理工大学2006—2007学年第一学期《线性代数》考试试卷（ A）参考答案及评分标准一.填空题（每空3分，共30分）433.A4.55.66.CA1.2.C017.58.线性相关9.极大线性无关组10.AA二.单项选择题15分11——15依次为：ACBAA

11三.（16—18各7分，共21分）abc116.bca1cab1bccaab2221

abcdbc1abcdca10（7分）abcdab1abcdcaab12217.证明：若AA且A1存在，（2分）则A1A1A1（5分）11231123100218.236701210121（4分）解：5101102420030347111503330000(1)r(α1,α2,α3,α4)=3（1分）(2)可选α1,α2,α3为此向量组的一个极大线性无关组。（2分）（方法对变换有误给 4分）29文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.四、（5分）设三阶矩阵A的特征值为1，2，3，求A1的值解：A的特征值为1，2，3，则A6，（2分）A111（3分）A6五、20.（10分）111100111100AE2100100122101110010221011011101001/201/2012210010111（4分）0023210013/211/21/201/2故A1111（1分）3/211/21411/201/2141若AX=250，则X=111250（2分）3213/211/2321231=212（3分）122六.（9分）21.解：0方程组化为x1x30，有特解01（5分）x2x41001 0x1x30，有基础解系101对应齐次方程组为x40，2（3分）x2100130文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.方程组的全部解为0k11k22（1分）成都理工大学2008级《线性代数》考题（2010年1月用）(附答案)一、填空题（每空3分，共15分）a1b1c1a1b1d11.设矩阵Aa2b2c2,Ba2b2d2且A4,B1则AB20a3b3c3a3b3d32.A为3阶方阵，且A1，则(3A)12A*162273.设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是1n,2n04.设A为n阶方阵，1,2,n为A的n个列向量，若方程组AX0只有零解，则向量组( 1, 2, n)的秩为 n二、选择题（每题 3分，共15分）bx1 ax2 2ab设线性方程组2cx23bx3bc，则下列结论正确的是（A）cx1 ax3 0(A)当a,b,c取任意实数时，方程组均有解 (B)当a＝0时，方程组无解(C)当b＝0时，方程组无解 (D)当c＝0时，方程组无解A.B同为n阶方阵，则（C）成立(A)ABAB(B)ABBA(C)ABBA(D)(AB)1A1B1a11a12a13a21a22a230107.设Aa21a22a23，Ba11a12a13,P1100,a31a32a33a11a31a12a32a13a33001100P2010则（C）成立10131文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.(A)AP1P2(B)AP2P1(C)P1P2A(D)P2P1A8.A,B均为n阶可逆方阵，则AB的伴随矩阵(AB)*（D）(A)A*B*(B)ABA1B1(C)B1A1(D)B*A*9.设A为nn矩阵，r(A)r＜n，那么A的n个列向量中（B）（A）任意r个列向量线性无关必有某r个列向量线性无关任意r个列向量均构成极大线性无关组任意1个列向量均可由其余n－1个列向量线性表示三、计算题（每题7分，共21分）30010010.设A140。求(A2E)111000322100111x111.计算行列式11x11(x4)1x111x111120010012.已知矩阵A2a2与B020相似，求a和b的值31100b(a0,b2)四、计算题（每题7分，共14分）211113.设方阵A121的逆矩阵A1的特征向量为k，求k的值1121(k2或k0)101114.设1,21,31,1（1）问为何值时，1,2,3线性无关（2）111当1,2,3线性无关时，将表示成它们的线性组合32文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持.((1)1(2)111(1)213)