国家开放大学2020年（202001-202007）《1078复变函数》期末考试真题及答案完整版（共2套）

试卷代号：1078座位号口口国家开放大学2019年秋季学期期末统一考试复变函数试题（半开卷）2020年1月一、单项选择题(本题共20分，每小题4分）1．Rez=()． A．z+z2 C．z-z2i2-设，f(z)2=1z+2(z-3)，若需使f(z)在N(0，R A．1 B．2 C．3 D．43．Z-1 A．2πi B．1 c．πi D.04．函数，f(z)=11+z在点z=0泰勒级数的收敛半径为 A．4 B．3 C．2 D．15．点z=0为函数f(z)=ezz2 A．本性奇点 B．可去奇点 C.二级极点 D．非孤立奇点二、填空题（本题共20分，每小题4分）6．若点集E的全部聚点都属于E，则称E为集．7．|e5i|=______.8．函数，f(z)=丁笔在点z=1展成罗朗级数，即在内展成罗朗级数．9．Res(sinzz，0)=10．若映射w=f(z)在区域G内是________，则称该映射为区域G内的保形映射.三、计算题（本题共45分，每小题15分）11.设u=x3-3xy2，试求解析函数f(z)而，满足，f(i)=0．12．试将，f(z)=4z2z-1在点z=13．计算积分cezz(z+1)3dz,四、证明题（本题15分）14.试证：sinx+sin2x+…+sinnx=sinn+12试卷代号：1078国家开放大学2020年春季学期期末统一考试复变函数试题2020年7月一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1．Imz= A．z+z2 B． c．z+z2i 2．函数fz=z A．复平面解析 B．上半平面解析 C．左半平面解析 D．z=03．z=1 A．0 B．1 C．-1 D．i4．函数，fz=1 A．1 B．2 C．3 D．45．点z=ai是函数，fz A．3 B．2 C．1 D．4二、填空题（本题共20分，每小题4分）6．若存在某个N(a，δ)，使得f(z)在 7．sin 8．设围线c9．若函数ω=f10．分式线性变换将扩充复平面上的圆周或直线映射为扩充复平面上的______________．三、计算题（本题共45分，每小题15分） 11．设u=2(x-1)y，试求解析函数 12．试将fz=1 13．计算积分c四、证明题（本题15分） 14．证明：e2iz试卷代号：1078国家开放大学2019年秋季学期期末统一考试复变函数试题答案及评分标准（半开卷）（供参考）2020年1月一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1．A2．B3．A4．D5．C二、填空题（本题共20分，每小题4分）6．闭7.18.0<9.010．单叶且保角的三、计算题（本题共45分，每小题15分）11．设u=x3-3xy2解：由C-R条件有uxυ=又因为uy=-υφ'x=c所以υ=由此得fz=x3-由fif经验证f即为所求.(15分)12．试将fz解：fzfz=4z2=4(z-1)=4z-1+8+4z-113．计算积分ce解：设fz=ezzz+13，因f（z）在c的内部只有两个有限奇点0与cezz(z+1)而ResRes=-52e(13故cezz(z+1)3dz=2πi四、证明题（本题15分）14．试证：sinx证：令A=1+B=sinx+sin于是A+iB=1+===(故sinx+sin2x试卷代号：1078国家开放大学2020年春季学期期末统一考试复变函数试题答案及评分标准（供参考）2020年7月一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1．B2．D3．A4．C5．C二、填空题（本题共20分，每小题4分）6．处处可导7．e-8.09.010.圆周或直线三、计算题（本题共45分，每小题15分）11．设u=2(x-1)y，试求解析函数f(z)=u+iv，满足f(2)=-1．解：因为ux=2y=vy，所以v=y2+φ(x)又因为uy=-v，得2x-2=-φ′（x）,所以……（6分）φ（x）=2x-x2+c所以v=y2-x2+2x+c由此得f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x+c)……（12分）由f(2)=-i此得c=-1,即f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x-1)f(z)=-i(z-1)2即为所求………………（15分）12．试将f(z)=11+z2解：f(z)在0＜|z-i|＜2内可展成罗郎级数，有f(z)=11+z2=1（=1（z=1（z=1（z=n=0∞（-1）13．计算积分cezz2(z-1)dz，c解：设f(z)=ezz2(z-1)，因f(z)在c的内部只有两个有限奇点0与1，且知0是f(z)的二级极点，1是f(zcezz2而Re