执果索因法破解数学实验困境

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推进信息技术与教育教学深度融合，实现教育思想、理念、方法和手段全方位创新，对于提高教育质量、促进教育公允、构建学习型社会和人力资源强国具有重大意义。但目前由于资金和教师的观念、培训等原因，信息技术与高中数学的融合还处于整合阶段，数学试验作为信息技术与数学教学深度融合的主要形式，应成为深度融合的关键环节。研究者以轨迹（曲线）问题为例，结合课题组的试验研究，摸索破解数学试验窘境的方法。

数学试验;几何画板;执果索因法

罗宇军，高级教师，河池市数学学会理事，河池市教育局兼职教研员。

河池市教育科学“十三五〞规划课题“画板技术介入下的数学试验研究〞（2022B-364）《普通高中数学课程标准（2022年版）》明确指出，教师应重视信息技术与数学课程的深度融合，实现传统教学手段难以达到的效果[1]。2022年3月，教育部印发的《教育信息化十年发展规划（2022—2022年）》首次提到了信息技术与教育教学深度融合[2]。以教育信息化带动教育现代化，是我国教育事业发展的战略选择。推进信息技术与教育教学深度融合，实现教育思想、理念、方法和手段全方位创新，对于提高教育质量、促进教育公允、构建学习型社会和人力资源强国具有重大意义。但目前由于资金和教师的观念、培训等原因，信息技术与高中数学的融合还处于整合阶段，而数学试验作为信息技术与数学教学深度融合的主要形式，应成为深度融合的关键环节。数学试验旨在向学生浮现知识的产生、发生和发展过程，让学生进一步把握知识和运用知识，形成相应的技能。在高中数学教学中，数学试验往往经过某种预先的组织、设计，模拟地创设一些有利于观测的数学对象和问题情境，促使学生在对试验素材进行数学化操作的过程中产生归纳假设，在分析、修改、验证猜想中形成认知体验，从而实现在做（建构）数学中学（理解）数学、用（解释）数学的一种探究性教学活动[3]。

一、数学试验现状调查

笔者所在的课题组利用问卷星在网上对209个随机样本进行了问卷调查，样本涵盖了广西大部分的地市、各个年龄段的教师，并且涉及广西各个类型的学校。

调查1：您在数学教学中经常进行数学试验吗？

A.经常

B.有时

C.很少进行D.从未进行

调查结果显示，经常使用数学试验进行教学的教师只有4.31，说明大部分教师在教学中几乎不使用数学试验进行教学;很少进行数学试验的教师达到42.11，说明虽然教育部在2022年已经发布了《教育信息化2.0行动计划》，但是教师在实际教学中使用数学试验的状况还是令人担忧。为了解形成这个现状的原因，课题组又进行了下面的调查。

调查2：您准备一个课时的数学试验课件需要多长时间？

A.2小时以上B.1～2小时

C.0.5～1小时D.0.5小时以内

数据说明，74.16的教师准备一个课时的数学试验课件需要2小时以上，这是教师很少进行数学试验的主要原因之一。为了解更深层次的原因，课题组继续对教师进行了访谈。

访谈结果说明，教师对软件不熟悉，以及对课件制作方法感到有一定的困难。因此，要破解当前数学试验的窘境，必需从教师的培训和提升课件制作能力入手，缩短课件制作的时间，提高课件制作的效率。

二、破解策略与比较试验分析

轨迹问题是学生认识曲线的开始，也是浮现曲线形成过程的必由之路，绕开轨迹谈曲线会让学生“知其然而不知其所以然〞。轨迹问题是高中数学学习的难点问题之一，也是高中数学的重点。因此，好多有经验的教师都会以信息技术的融合方式用数学试验给学生浮现轨迹的形成过程。可以说，数学试验在轨迹问题的教学过程中应用十分广泛，但是研究说明，教师在准备试验的过程中遇到了很大的困难。因此，本文以轨迹（曲线）问题为例，阐述如何破解高中数学试验的窘境。

一般地，高中数学轨迹问题大致可以分为两类。

（一）相关点类

此类问题的特点是待求轨迹的“动点〞随已知轨迹的若干个“动点〞（一般是1～2个）而运动，两者之间存在数量上的关联，大部分探究类的轨迹问题都属于这一类。

例1（人教版高中数学必修2第122页，例5）已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。

由于学生第一次接触轨迹，因此，在教学中，教师首先要让学生认识轨迹，经历轨迹的形成过程，理解轨迹的定义和特点，为学生今后学习其他的轨迹奠定基础。操作步骤如下。

步驟1：作出已知轨迹，在轨迹上任取已知点A。

步骤2：根据条件作出相关点M，使用几何画板技术的“追踪〞功能，对已知点A使用“移动〞功能浮现M点轨迹的形成过程（如图1）。

（二）条件类

此类问题的特点是动点满足某一特定的条件，譬如圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线问题都属于这一类，破解了这一类问题就相当于破解了大部分的高中数学的轨迹问题。

例2已知点M与两个定点O（0，0），D（3，0）的距离的比是0.5，求点M的轨迹方程。

对于这类问题，大多数教师的做法就是根据题目条件，构造出轨迹。但实践证明，这样操作的难度十分大。笔者基于几何画板的研究，做出以下教学设计。

步骤1：如图2，在直线上构造点A、C，点A为动点，线段AC的中点为点B。

步骤2：如图3，以O（0，0）为圆心，CB为半径构造圆O，以D（3，0）为圆心，CA为半径构造圆D，两圆交点为E、F，使得E、F满足与两个定点O（0，0），D（3，0）的距离的比为12，再利用几何画板的“构造〞功能找出交点E、F，并“追踪〞交点E、F。

步骤3：如图4，利用几何画板中使点A运动的功能，浮现其运动轨迹。

笔者把这个问题交给课题组两位成员（分別记为试验A、操纵B）进行比较分析，发现两位教师都没有在规定时间内（24小时）完成。说明直接根据条件找出轨迹是对比困难的，特别是当条件改为“距离的积是12〞时，问题更是难以解决。

为了破解这一难题，课题组成员进行了细致而深入的研究。研究发现，教师在解决轨迹（曲线）问题的教学过程中，最大的困难在于如何找到符合条件的轨迹，然而在教学过程中并不需要展示这个符合条件的轨迹是如何作出来的，而是只需要展示符合条件的点的轨迹（曲线），并且这个轨迹（曲线）上的点必需满足题目的条件。于是笔者想到了证明不等式方法中的综合法，并且基于综合法的思想探寻制作课件的方法，我们称之为执果索因法。具体操作如下。

步骤1：先根据题目条件推算出轨迹方程为（x+1）2+y2=4。

步骤2：如图5，作出圆（x+1）2+y2=4。

步骤3：在圆上任取一点M，连接线段MO，MD，利用“度量〞工具度量线段的长度，浮现长度比为1∶2，根据数据说明符合条件，再利用几何画板的“隐蔽〞功能，将圆进行隐蔽。

步骤4：如图6，“追踪〞点M轨迹，浮现符合条件的轨迹（曲线）。

为了验证这个方法的效果，课题组对试验A进行了执果索因法的相关培训，然后安排两位试验教师进行如下试验。

试验1已知点M到定直线x=-1的距离和到定点F（1，0）的距离相等，求点M的轨迹方程。

结果说明，试验A在10分钟内就能轻松求出轨迹方程，而操纵B在2小时内没有完成。为了排除试验对象水平差异的因素，课题组对两个试验对象进行了交换，即对操纵B也进行了执果索因法的相关培训，进行了如下试验。

试验2已知点M到定点A（-1，0）的距离和到定点B（1，0）的距离之和为3，求点M的轨迹方程。

比较试验结果说明，两个试验对象都能够在10分钟内完成。通过上面的比较试验，充分说明白执果索因法能够大幅缩短数学试验的准备时间，降低数学试验的难度，并且能够在很大程度上破解当前数学试验面临的窘境。用执果索因法破解轨迹（曲线）问题的数学试验窘境流程图如图7所示。

执果索因法的灵感源于数学不等式的证明思路，它结合教师备课和上课的不同要求，奇妙绕开轨迹的探求过程这一难题，降低了备课的难度，缩短了备课的时间，为破解轨迹（曲线）问题的数学试验窘境提供