线性代数-2.3行列式性质

一、行列式的性质行列式与它的转置行列式相等即，行列式

AT

称为行列式

A

的转置行列式.性质1记a11an1an2

a1n

a2n

anna21

a12

a22a1na2n

an1

an2

annA

a21a11

a12a22,

AT

A.2AT3说明

行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.类似地，利用数学归纳法，还可证得性质2

如果行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质3 如果行列式中某一行（列）元素是两组数的和，那么这个行列式就等于两个新行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）外全与原行列式对应的行（列）相同，即a1na2nann(a1i

a1i

)(a2i

a2i

)(ani

ani

)a11

a12例如

D

a21

a22

an1

an2则D等于下列两个行列式之和：

ann4a1ia2iani

a1n

a2n

anna1ia2iani

an1

a21a11

a1n

a2n

an1D

a21a111i

in1in

1in或（对列），有1

,

2

,,i

i

,,n

1

,

2

,,i

,,n

1

,

2

,,

i

,,n事实上，只要对等号两边的行列式都按第i

行（列）展开即可.5记成分块矩阵形式，即为性质4

（行列式的“初等变换”）若将初等行（列）变换用于

n

阶行列式：（1）

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数

，等于用数

乘此行列式.ai1

ai

2

ain

6ai

2

ain

an1

an2

ann

an1

an2

anna11

a12

a1na11

a12

a1n

ai1事实上，等号两端同时按第i

行展开即得.（2）

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数k

然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变．a1na2

janjnj

a

a11a21an1a1

ja1ia2iania1

ja2janj(a2i

ka2

j

)(ani

kanj

)

(a1i

ka1

j

)

a11a21an1c

ji

(k

)a1na2

janjk

a2

j

例如从等号右端看，利用性7质3、性质4的（1）及性质2即得等号左端。（3）

互换行列式的两行（列）,

行列式变号.证明

设行列式写成分块形式，则A

1

,,i

,

j

,,nc

ji

(1)

1

,,i

j

,,

j

,n1

,,i

j

,,i

,ncij

(

1)c

ji

(1)

1

,,

j

,,i

,n

1

,,

j

,,i

,n

B81

7

5

1

7

56

6 2

3

5 8

,3

5

8

6

6

22

.17

5

7

1

56

6

2

6

63

5

8

5

3

8例推论1

某一行（列）元素全为零的行列式等于零．推论2

若有两行（列）元素对应成比例，则行列式等于零，即9kai1

kai

2

kainai1

ai

2

aina11

a12

a1nai1

ai

2

ainan1

an2

annan1

an2

annai1

ai

2

ain

k

a11

a12

a1n

0.推论3

对n

阶行列式及数

k,有kA

kn

A

．1计算行列式常用方法：利用运算rij

(k

)把行列式3

1

1

21

3

42

0

1

11

5

3

31D

5化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．或者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。例1

计算4阶行列式3

1

1

21

3

42

0

1

1D

5考虑到第3行有0，1

所以5将该3

行其

3它元素化为零的工作量相对较小,于是

5

5

3

05

1

1

1

11

1

3

10

0

1

0解

对c31

21c34

(1)D5

1

1

(1)33

11

1

1

5

5

05

1

1

6

2

0

5

5

0

(1)13

6

2

8

2

5

5

0

5

40.r12(1)解毕.1性质5

行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数

式乘积之和等于零，即a

1

na

i

n

,aj

na

n

na

1

1a

i

1

aj

n

A

j

naj

1a

n

1aj

1

A

j

1证ai1

Aj1

ai

2

Aj

2

ain

Ajn

0, (i

j).把行列式

A

按第

j

行展开，有1a

Ai

1

j

1annan

1a1nain

,aina11ai

1

ain

Ajn

ai

1把

a

jk

换成

aik

(k

1,,n),可得第j

行第i

行所以当i

j

时,ai

1

Aj

1

ai

2

Aj

2

0,

(i

j).

0, (i

j).

ain

Ajn同理a1i

A1

j

a2i

A2

j

ani

Anj相同15关于代数式的重要性质0

,

A

,

当i

k,当i

k;nj1ij

kja

A

aA

A

,

当j

k,

0

,

当j

k;ni

1ij

ik1例2

已知5

阶行列式1112144422B

210

86

m555

3

301075试求代数

式之和

A44

A45.(1)解

按行列式的第4

行展开，得5A41

5A42

5A43

3A44

3A45

m再用行列式的第2行与第4行对应元素的代数式作乘积之和，由性质5，即得1(2)4A41

4A42

4A43

2A44

2A45

0联立(1)、(2)两式，(1)(2)

5A41

5A42

5A43

3A44

3A45

m41

42

434

4

454

A

4A

4A

2

A

2

A

04

x2

y即5x

3

y

m

4

x

2

y

0解得21A44

A45

y

11

m.性质6

设

L

是有如下分块形式的

(

n

+

p

)

阶矩阵：Bp

p

CO

L

Ann则有L

A

B由性质1，当A,B是方阵时，当然也成立

A

BCBp

pAnnOU

推论若A,B是同阶方阵，则有AB

A

B矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积！再回顾初等矩阵的行列式19abc1bca1cab1b

cc

aa

b1例4

计算含字母4

阶行列式A

解0c

1a

1c

a a

b

20

0

1abA

r23

(1)r34

(

1)

b

c按第4行展开20二、应用举例0b.

c

1c.

a

1c

a c

a

20

0

1abA

r23(1)r34

(

1)

b

ca

b

c

b

c

a

b

c c

a a

ba

b

c

b

c

a

b

c

c

a2(a

b

c)

c

a a

bc21

(1)c31

(1)2c21

(1)ca

ca

b

2c

a

b

ca

b

cbcca2(a

b

c)c

aa

ba

b

cb

00r12

(

1)r13

(

2)c

bc

a

2bc

bc

a

2b按第1列展开

c31

(1)a

ca

b

2c22

(a

b

c)

a3

b3

c3

3abc解毕.例5

证明奇数阶

称矩阵的行列式等于零.证明：设A是n阶

称矩阵，n是奇数，则由