《控制工程基础》第二版课后习题答案

设单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)求系统的稳态输出。解：

10。当系统作用有下列输入信号时：r(t)sin(t30)，试s110(s)C(s)

G(s)

11R(s) 1G(s) s111K10，时间常数为：T112T2其幅频特性为：A(12T2

11 11其相频特性为：()arctanT当输入为r(t)sin(t30)，即信号幅值为：A1，信号频率为：1，初始相角为： 30。代入0幅频特性和相频特性，有：K1K12(1)arctanT

1

arctan

10101111112122110111111212211所以，系统的稳态输出为：c(t)Asin30

12210 sin(t24.81)122c(t)11.8e4t解：

0.8e9t (t0)。试求系统的幅频特性和相频特性。对输出表达式两边拉氏变换：C(s)1

1.8

0.8 36 1s s4 s9 s(s4)(s9) s(s1)(s1)4 9由于C(s)(s)R(sR(s)1（单位阶跃。所以系统的闭环传递函数为：ss (s) 1s ( 1)( 1)4 9可知，这是由两个一阶环节构成的系统，时间常数分别为：T1, T 11 4 2 9系统的幅频特性为二个一阶环节幅频特性之积，相频特性为二个一阶环节相频特性之和：A

1 112T2 12T21 21 12T2 12T21 216 81()()()arctanT

arctanT arctanarctan1 2

2 4 9已知系统开环传递函数如下，试概略绘出奈氏图。（1）G(s)（2）G(s)（3）G(s)（4）G(s)解：

110.01s1s(10.1s)1000(s1)s(s28s100)50(0.6s1)s2(4s1)曲线与坐标轴的交点、相角变化范围等，这就可以绘制出奈氏曲线的大致形状。对一些不太复杂的系统，已经可以从曲线中读出系统的部分基本性能指标了。除做到上述要求外，若再多取若干点（如6-8点，并将各点光滑连线。这就一定程度上弥补了要求A度不足的弱点。但因为要进行函数计算，例如求出实虚频率特性表格，工作量要大些。在本题解答中，作如下处理：小题小题：示范绘制奈氏图的完整过程。小题、小题4：示范概略绘制奈氏图方法。4-3（1）G(s)

110.01s这是一个一阶惯性（环节）系统，例4-3中已详细示范过（当T=0.5时，奈氏曲线是一个半圆。而表4-2给出了任意时间常数T下的实虚频率特性数据。可以套用至本题。①系统参数：0型，一阶，时间常数T0.01②起终点1,0,，原点奈氏曲线的相角变化范围（0,90°，第IV象限③求频率特性。据式（4-29）已知：P() 1实频特性：

12T2虚频特性：Q() 12T2PP()Q()0102550801001252004008001000⑤绘图：QQ()=0.51P()0 =0ω-0.5=200=50=125=80=1004-3（2）G(s)

1s(10.1s)示范绘制奈氏图的完整过程。这是一个由一个积分环节和一个一阶惯性环节组成的二阶系统。①系统参数：1型系统，n=2,m=0②起终点奈氏曲线的起点：查表4-7，1型系统起点为负虚轴无穷远处；，查表4-7奈氏曲线的相角变化范围（-90，-180，第III象限③求频率特性：G(j) 1

j)j(10.1j) (1P()Q(

0.110.0121(10.012)当0-0.1。PP()0125891020QQ()⑤绘图：QQ()=P()-0.1 =20 0=10=8-0.1=5ω-0.2=0-0.34-3（3）G(s)

1000(s1)Q()P()ωsQ()P()ω示范概略绘制奈氏图方法。①系统参数：1型系统，n=3,m=1②起终点奈氏曲线的起点：查表4-7，1型系统起点为负虚轴无穷远处；n-m=2>4-7奈氏曲线的相角变化范围（-90，-180；③绘图：4-3（4）G(s)

50(0.6s1)s2(4s1)示范概略绘制奈氏图方法。①系统参数：2型系统，n=3,m=1②起终点奈氏曲线的起点：查表4-7，2型系统起点为负实轴无穷远处；奈氏曲线的终点：n-m=2>0，查表4-7知终点为原点，入射角为-180°；奈氏曲线的相角变化范围（-180-1802象限。③绘图：QQ()ωP()如要详绘，则先求频率特性：G(j)

50(0.6j1)

50(0.6j1)(4j1)120250170jj2(4j

2(4j1)(4j1) 1642P(

1202501642Q()

1701642制表：012568∞P()-∞-19346-4414-64-100Q()03269146668100试画出下列传递函数的波德图。2（1）G(s)H(s)

(2s1)(8s1)（2）G(s)H(s)（3）G(s)H(s)

200s2(s1)(10s1)50s2(s2s1)(10s1)（4）G(s)H(s)10(s0.2)s2(s0.1)（5）G(s)H(s)解：

8(s0.1)s(s2s1)(s24s25)绘制波德图要按照教材P134-135中的10步，既规范也不易出错。4-4（1）G(s)H(s) 2(2s1)(8s1)(4-41)标准化；计算开环增益计算20lgK(dB)；得系统型，确定低频段斜率开环增益K＝2, 20lgK20lg26(dB)0型系统，低频段斜率为0；求各转折频率，并从小到大按顺序标为,1 2

, ，同时还要在转折频率旁注明对应的斜率；3①1

10.125，惯性环节，斜率-20；8②2

10.5，惯性环节，斜率-20；2绘制波德图坐标。横坐标个十倍频程。见图；绘制低频段幅频渐近线，为水平线；在1

0.125，斜率变为-20；在2

0.5，斜率变为-40；标注斜率见图；幅频渐近线的修正。在1

0.125处修正-3dB，在0.06,0.25处修正-1dB；在0.5处修正-3dB，在0.5,1处修正-1dB；注意在0.5处有两个-1dB修正量，共修正-２dB；绘制两个惯性环节的相频曲线；环节相频曲线叠加，形成系统相频曲线；检查幅频渐近线、转折频率、相频起终点的正确性。LL( )dB40dB20dB0.50dB20(r/s)0.120dB/dec11020dB40dB/dec()900(r/s)901802703604-4（2）G(s)H(s) 200s2(s1)(10s1)(4-41)标准化；计算开环增益计算20lgK(dB)；得系统型，确定低频段斜率开环增益K＝200, 20lgK20lg20046(dB)2型系统，低频段斜率为-40；求各转折频率：①1

10.1，惯性环节，斜率-20；10②21-20；以下文字略，见绘图；LL(40dB/decdB)低频延长线过此点：L(1)=46dB60dB60dB/dec40dB20dB(r/s)0dB0.1110()9080dB/dec(r/s)090180270360常见问题;?;34dB?;?,;相频从-180°常见问题;?;34dB?;?,;相频从-180°起,0°;相频左右趋势,观;1~5.s2(s2s1)(10s1)开环传递函数标准化：G(s)H(s)

50s2(s220.51s1)(10s1)计算开环增益计算20lgK(dB)；得系统型，确定低频段斜率开环增益K＝50, 20lgK20lg5034(dB)2型系统，低频段斜率为-40；求各转折频率：①1

10.1，惯性环节，斜率-20；10②21，二阶振荡环节，阻尼比0.5-40；其它：二阶振荡环节在转折频率处要按实际阻尼比按图4-17修正。见绘图；LL( )dB40dB/dec低频延长线过此点：L(1)=34dB60dB60dB/dec40dB20dB(r/s)0dB0.11()9010100dB/dec0(r/s)901802703604504-4（4）G(s)H(s)10(s0.2)s2(s0.1)开环传递函数标准化：sG(s)H(s)

10(s0.2)s2(s0.1)

20( 1)0.2ss2( 1)0.1计算开环增益计算20lgK(dB)；得系统型，确定低频段斜率开环增益K＝20, 20lgK20lg2026(dB)2型系统，低频段斜率为-40；求各转折频率：① 0.1-20；1② 0.2+20；2其它见绘图；LL( )dB40dB/dec60dB低频延长线过此点：L(1)=26dB60dB/dec40dB20dB(r/s)0dB0.10.21()901040dB/dec(r/s)0901802703604504-4（5）G(s)H(s) 8(s0.1)s(s2s1)(s24s25)（1）开环传递函数标准化：0.03252(G(s)H(s)

s0.1

1)s(s220.51s1)(s220.45s52) 计算开环增益计算20lgK(dB)；得系统型，确定低频段斜率开环增益K＝, 20lgK20lg0.03230(dB)1型系统，低频段斜率为-20；求各转折频率：① 0.1+20；1② 1，二阶振荡环节，阻尼比0.5-40；2③ 5，二阶振荡环节，阻尼比0.4-40；3LL( )dB20dB20dB/dec0.1(r/s)0dB11020dB40dB/dec40dB低频延长线过此点：L(1)=-30dB5()9080dB/dec0(r/s)90180270360450解：4-5(a)求结构从图中看出，低频段斜率为0，是0型系统，由渐近线的斜率变化：第1个转折频率处斜率变化20dB/dec，是一阶惯性环节；第2个转折频率处斜率变化也是20dB/dec，也是一阶惯性环节；因此传递函数结构为G(s)

Ks

s1)1 2求参数从图中看出，低频段与零分贝线水平重合，因此K1对第1个一阶惯性环节，转折频率 1，则：1T111 1对第2个一阶惯性环节，转折频率 4，则：2T 12 2综合得：

10.254G(s) K(s1)(0.25s1)解：4-5(b)求结构从图中看出，低频段斜率为20dB/dec，是1型系统，由渐近线的斜率变化：第1个转折频率处斜率变化20dB/dec，是一阶惯性环节；第2个转折频率处斜率变化也是20dB/dec，也是一阶惯性环节；因此传递函数结构为G(s)

Ks(Ts

s1)1 2求参数从图中看出，低频段延长线与零分贝线交点频率：0

100，因为是1型系统，由式(4-67)K100对第1个一阶惯性环节，转折频率 0.01，则：1T11 1

1 1000.01对第2个一阶惯性环节，转折频率2

100，则：T 12 2综合得：

1 0.01100G(s) K

100s(Tss1) s(100s1)(0.01s1)1 2解：4-5(c)求结构从图中看出，低频段斜率为0，是0型系统，由渐近线的斜率变化：第1个转折频率处斜率变化20dB/dec，是一阶惯性环节；2个转折频率处斜率变化也是20dB/dec3个转折频率处斜率变化也是20dB/dec因此传递函数结构为G(s)

s

Ks1)(Ts1)1 2 3求参数从图中看出，低频段为水平线，幅值为Lk

48dB。由式(4-64)：20K10Lk20

481020

251对第1个一阶惯性环节，转折频率 1，则：1T111 1对第2个一阶惯性环节，转折频率 10，则：2T 12 2

10.110对第3个一阶惯性环节，转折频率 100，则：3T13 3综合得：

1 0.01100G(s) 251(s1)(0.1s1)(0.01s1)解：4-5(d)求结构从图中看出，低频段斜率为20dB/dec，是1型系统，由渐近线的斜率变化：第1个转折频率处斜率变化40dB/dec，是二阶振荡环节；因此传递函数结构为nG(s)K 2n

s s2n

s2n从图中看出，低频段延长线与零分贝线交点频率： 100，因为是1型系统，由(4-67)0K100对二阶振荡环节，从图中看出，谐振峰值为4.58dB，峰值频率 45.3。r可以由式（4-37）求出阻尼比：M 1r 12当20lgM 4.58dB时，阻尼比为0.31。r（4-5，得0.3。由式4-3：n综合得：K

r122

50.3

10050.32G(s) n s s2n

s2n

s(s220.350.3s50.32)试由下述幅值和相角计算公式确定最小相位系统的开环传递函数。90 arcta2 arcta05 arcta10，A)3；180 arctan ，A10；180 arcta02 arctan arctan arct0，A10)1；1 2 13290 arctanarctan3

arct0，A)2。解：90 arcta2 arcta05 arcta10，A)3直接可以得到：GKK0.252 1(42 1)(1002 A()

K(s1) K1)Ts1)Ts1)(s1)(1s1)1 2A()(4A()(42 1)(1002 1)0.252 1A(1)5101A(1)51011.25所以G

160.3(0.s51)(s1)(1s1)180 arctan ，A10直接可以得到：GKK252 12 (2 1)(0.012 1)A()

K(s1) K1)2Ts1)Ts1)s1)(011)1 2即A()2 (2 A()2 (2 1)(0.012 1)252 16265所以GK(s1) 1)2Ts1)Ts1)s1)(011)1 2（3）

arctanarctan

arctan arctan10，1；直接可以得到：

12

122Ks1)(s2 2

s1)G(s)

2 n2 n2s2 2s2(2

1s1)(Ts1)n1

24-32

()arctan nn比较二阶振荡环节的相频特性式（ ：

122n由arctan ，得 1,

0.512 n1 133二阶微分环节的参数求法与上面二阶振荡环节基本相同，差别仅是式（4-32）是正值。所以：33由arctan

，得

1, 1一阶微分环节：一阶惯性环节：T10所以：

n2 2 2G(s)

K(0.2s1)(3s2s1)s2(s2s1)(10s1)K 0.042K 0.0421 (1)222 (12)22 10021即K

1 1488

6.72104K所以：

6.72104G(s)1488(0.2s1)(3s2s1)s2(s2s1)(10s1)（4）

arctanarctan3

arctan10)2。G(s)

Ks1)

K(s1) 3s(Tss1) s(s1)1 2且有幅频特性：K291K291 21)(1021)即225 2625012519

K 21)(1021)219

1312(s1)3s(s1)(10s1)

5

1312G)。（1）G(s)（3）G(s)解：

1 1； （2）G(s) ；2s) 2s)1 0.02s)； （4）G(s) 。s2s) s20.005s)0ω4-7（1）G(s)

(1s)(12s)①系统参数：0型系统，n=2,m=0②起终点奈氏曲线的起点：查表4-7，0型系统起点为正实轴无穷远处；奈氏曲线的终点：n-m=2>0，查表4-7知终点为原点，入射角为-180°；奈氏曲线的相角变化范围（0-180；轴以下，并未发生穿越；④求频率特性如下：G(j) 1 1

1223j(1j)(12j) 1

3

1223j 1223j 1223

1223j 122 j 12

441 441 44521所以，P(Q()⑤制表： 0P() 1Q() 0⑥绘图如上。

12244521344521

1 2 3 4 5 6 8 ∞000ω14-7（0ω12s)①系统参数：1型系统，n=3,m=0②起终点为负虚轴无穷远处；4-7-270°；奈氏曲线的相角变化范围（-90-270；III限穿越至第II象限，发生一次实轴穿越：绘图见右；频率特性：G(j) 1j(1j)(1j2) (12)(14 (12)(142)相频特性：()90arctanarctan2ω0()180，可求得穿越时的频率：0.707rad/sec；此时的幅值：A()0.707

20.66734-7（3）G(s)

1s2(1s)①系统参数：2型系统，n=3,m=0②起终点奈氏曲线的起点：查表4-7，2型系统起点为负实轴无穷远处；，查表4-7奈氏曲线的相角变化范围（-180，-270；③从相角变化范围来看，曲线均在第III绘图见右；4-7（4）G(s) 0.02s)s0.005s) ①系统参数：2型系统，n=3,m=1②起终点奈氏曲线的起点：查表4-7，2型系统起点为负实轴无穷远处； ω4-7-180°；奈氏曲线的相角变化范围（-180-180；③传递函数中，一阶微分环节贡献一个零点，一阶惯性环节贡献一个极点。零极点发生一定的对消效应，但并不完全对消。惯性环节的时间常数比一阶微分环节的时间常数小，即极点位置比零点位置更靠近虚轴，因此将发生更大的作用。也就是说，零极点的相频特性合成后，仍为负值。综合两个微分环节后，相频III绘图见右；

P()0试用奈氏稳定判据判别图示开环奈氏曲线对应系统的稳定性。(-1,系统不稳定。

(-1,点，所以闭环系统稳定。

添加辅助线后可以(-1,点，所以闭环系统不稳定。添加辅助线后可以看出，(-1,以闭环系统稳定。

(d)(-1,已知系统的开环传递函数为G(s) K ，试分别绘出当开环放大倍数K＝5和K＝20时的波德s(s1)(0.1s1)图，并判定系统的稳定性，量取相位裕量和幅值裕量，并用计算公式验证解：先按开环增益K＝5绘图, 20lg514dB1求各转折频率：① 1-20；②L(L()40dB20dB/decK=2020dB0dB40dB/dec4(r/s)0.1c12cK10g100K=560dB/dec()900(r/s)90180γ 3270g

10，惯性环节，斜率-20；绘图如下：当＝5时，从图中量取各指标（见粉红色：得：c

2,g

3，(c

)180,故系统稳定；且有稳定裕量：20,Kg

8dB；当K＝2020lg2026dB。相比于K＝512dB，而相频曲线保持不变。从图中量取各指标（见蓝色）：得：c

4，g

3保持不变。(c

)180,故系统不稳定；且有稳定裕量：10,K 4dB；g因此，提高开环增益将有损于稳定性。计算验证：12幅频特性计算公式：L()20lgK20lg12相频特性计算公式：()90arctanarctan

20lgK1

5时,10.0110.012

2.1rad/s,1

13.60，g1

3.16rad/s,Kg1

6.8dB0；闭环系统稳定；K2

20时，c2

4.2rad/s,2

9.40，g2

3.16rad/s,Kg2

5.2dB0；闭环系统不稳定。4－10已知系统的开环传递函数为G(s)

80(s2)s2(s20)

，试绘制系统的开环波德图，并判定系统的稳定性。从波德图中量取c g

,,Kg

各指标，并用计算公式验证。解：G(s

80(s2)s2(s20)

8(s2s

1)s2( 1)20开环增益K＝8, 20lgK20lg818(dB)，是2型系统，低频段斜率-40；求各转折频率：①1

2，一阶微分环节，斜率+20；②2

20，惯性环节，斜率-20；LL()40dB40dB/dec20dB20dB/dec(r/s)0dB0.11210c2010040dB/dec()900(r/s)90γ180系统分析：从图中量取各指标，得： 4.5，且相频曲线总-180°之上，所以 。闭环系统无条件稳定；c g50,Kg计算验证：

；0.002521幅频特性计算公式：L()20lgK20lg220lg 10.002521相频特性计算公式：()180arctanarctan计算验证：

)0时，求得c

4.31rad/s，(c

)127，故53；任何均无法使()180，故g

,Kg

。4－1130试计算开环增益可增大的倍数。题4－11图解：可从图中求得闭环传递函数为s (s) s (s1)( 1)( 1)1.25 5由开环传递函数与闭环传递函数的关系求开环传递函数：G(s)

(s)

(s)

6.25

0.51(s) 1(s) s(s2.825)(s4.425) s(

1)(

1)相频特性：()90arctan 2.825

arctan 4.425

2.825 4.425若要求系统30，相当于要求(c

)150。求得：当c

2.016时，(c

)150A() 0.5 (2.825

)21

4.825

)21当c

2.016

)0.1837c为使c

2.016成为穿越频率，要求A(c

1，因此系统开环增益应增大：K 1 5.44倍0.18374－12某最小相位系统的开环对数幅频特性如题4－12图所示。要求：写出系统开环传递函数；利