全国硕士研究生入学统一考试数学一试题概述

2015年全国硕士研究生入学一致考试数学一试题及答案概括.2015年全国硕士研究生入学一致考试数学一试题及答案概括.2015年全国硕士研究生入学一致考试数学一试题及答案概括.2015年全国硕士研究生入学一致考试数学一试题及答案2015年全国硕士研究生入学一致考试数学一试题一、选择题:1～8小题，每题4分，共32分.以下每题给出的四个选项中，只有一个选项切合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定地点上.．．．1、设函数f(x)在连续，其2阶导函数f(x)的图形以以下图所示，则曲线yf(x)的（-,+）拐点个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）32、设y1e2xx1ex是二阶常系数非齐次线性微分方程yaybycex的一个特解，23则（）（A）a3,b1,c1.（B）a3,b2,c1.（C）a3,b2,c1.（D）a3,b2,c1.3、若级数an条件收敛，则x3与x3挨次为幂级数nanx1n的：n1n1（A）收敛点，收敛点（B）收敛点，发散点（C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点4、设D是第一象限中曲线2xy1,4xy1与直线yx,y3x围成的平面地区，函数f(x,y)在D上连续，则(,)fxydxdyD11（A）2dsin2f(rcos,rsin)rdr（B）2dsin2f(rcos,rsin)rdr1142sin242sin212015年全国硕士研究生入学一致考试数学一试题及答案11（C）3dsin2f(rcos,rsin)dr（D）3dsin2f(rcos,rsin)dr1142sin242sin211115、设矩阵A12a，bd，若会合{1,2}，则线性方程组Axb有无量多个14a2d2解的充分必需条件为（A）a,d（B）a,d（C）a,d（D）a,d6、设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换xPy下的标准形为2y12y22y32，此中P(e1,e2,e3)，若Q(e1,e3,e2)，则f(x1,x2,x3)在正交变换xQy下的标准形为（A）2y12y22y32（B）2y12y22y32（C）2y12y22y32（D）2y12y22y327、若A,B为随意两个随机事件，则（A）P(AB)P(A)P(B)（B）P(AB)P(A)P(B)（C）P(AB)P(A)P(B)（D）P(AB)P(A)P(B)228、设随机变量X,Y不有关，且EX2,EY1,DX3,则EXXY2（A）-3（B）3（C）-5（D）5二、填空题：9～14小题,每题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定地点上.．．．lncosx9、limx2x02(sinxx)dx10、-cosx2111、若函数zz(x,y)由方程ezxyz+xcosx2确立，则dz(0,1).22015年全国硕士研究生入学一致考试数学一试题及答案12、设是由平面xyz1与三个坐标平面所围成的空间地区，则(x2y3z)dxdydz2002-1202002213、n阶队列式00-1214、设二维随机变量(X,Y)听从正态散布N(1,0,1,1,0)，则P(XYY0).三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定地点上.解答应写出文字说明、证．．．明过程或演算步骤.15、（此题满分10分）设函数f(x)xaln(1x)bxsinx，g(x)kx3，若f(x)与g(x)在x0是等价无量小，求a，b，k值。16、（此题满分10分）设函数在f(x)定义域I上的导数大于零，若对随意的x0I，曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线xx0及x轴所围成的地区的面积为4，且f(0)2，求f(x)的表达式.17、（此题满分10分）已知函数f(x,y)xyxy，曲线C:x2y2xy3，求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数.18、（此题满分10分）(Ⅰ)设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)u(x)v(x)'(Ⅱ)设函数u1(x),u2(x)...un(x)可导，f(x)u1(x)u2(x)...un(x),写出f(x)的求导公式.19、（此题满分10分）已知曲线L的方程为z2x2y2,起点为A(0,2,0)，终点为B(0,2,0)，计算曲线积zx,32015年全国硕士研究生入学一致考试数学一试题及答案分I(yz)dx(z2x2y)dy(x2y2)dzL20、（此题满分11分）设向量组1,2,3是3维向量空间3的一个基，1212k3，222，31(k1)3。（Ⅰ）证明向量组1,2,3是3的一个基；（Ⅱ）当k为什么值时，存在非零向量在基1,2,3与基1,2,3下的坐标同样，并求出全部的。21、（此题满分11分）02-31-20设矩阵A-133相像于矩阵B0b0.1-2a031（Ⅰ）求a,b的值.（Ⅱ）求可逆矩阵P，使得P1AP为对角阵.22、（此题满分11分）设随机变量X的概率密度为f(x)=2-xln2x00x0对X进行独立重复的观察，直到第2个大于3的观察值出现时停止，记Y为观察次数.（Ⅰ）求Y的概率散布；（Ⅱ）求EY.23、（此题满分11分）设整体X的概率密度为1f(x;)=1

x1其余42015年全国硕士研究生入学一致考试数学一试题及答案此中为未知参数，X1，X2.....Xn为来自该整体的简单随机样本.（Ⅰ）求的矩预计.（Ⅱ）求的最大似然预计.52015年全国硕士研究生入学一致考试数学一试题及答案2015年全国硕士研究生入学一致考试数学一答案一、选择题（答案）（1）【答案】(C)【考点】拐点的定义【难易度】★★【详解】拐点出此刻二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，而且在这点的左右双侧二阶导数异号，所以，由f(x)的图形可知，曲线yf(x)存在两个拐点，应选(C).（2）【答案】(A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】★★【详解】1e2x,1ex为齐次方程的解，所以2、1为特点方程2+ab0的根，从而23a123,b122,再将特解yxex代入方程y3y2ycex得：c1.（3）【答案】(B)【考点】级数的敛散性【难易度】★★★an条件收敛，故x2为幂级数n【详解】因为anx1的条件收敛点，从而得n1n1anxn0,21的收敛半径为1，收敛区间为，又因为幂级数逐项求导不改变收敛区间，故n1nanx1n的收敛区间仍为0,2，因此x3与x3挨次为幂级数nanx1n的收敛n1n1点、发散点.（4）【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】★★★【详解】由yx得，；由y3x得，43由2xy1得，2r2cossin1,r12sin由4xy1得，4r2cossin1,r12sin262015年全国硕士研究生入学一致考试数学一试题及答案1所以f(x,y)dxdy3dsin2f(rcos,rsin)rdr1D42sin2（5）【答案】(D)【考点】非齐次线性方程组的解法【难易度】★★11111111【详解】A,b12ad01a1d114a2d200a1a2d1d2Axb有无量多解R(A)R(A,b)3a1或a2且d1或d2（6）【答案】(A)【考点】二次型【难易度】★★200【详解】由xPy，故fxTAxyT(PTAP)y2y12y22y32且：PTAP010001100200QP001PC,QTAQCT(PTAP)C010010001所以fxTAxyT(QTAA)y2y12y22y32，应选(A)（7）【答案】(C)【考点】【难易度】★★【详解】P(A)P(AB),P(B)P(AB)P(A)P(B)2P(AB)P(AB)P(A)P(B)2应选（C）（8）【答案】(D)【考点】72015年全国硕士研究生入学一致考试数学一试题及答案【难易度】★★★【详解】EXXY2EX2XY2XEX2EXY2EXDXE2XEXEY2EX5二、填空题（答案）（9）【答案】12【考点】极限的计算【难易度】★★lncosxln(1cosx1)cosx11x21lim2【详解】lim2lim2lim22x0xx0xx0xx0x22（10）【答案】4【考点】积分的计算【难易度】★★sinx2【详解】2(x)dx22xdx-1cosx04211）【答案】【考点】隐函数求导【难易度】★★【详解】令(,,)zcos2，则Fyz1sinx，，Fxy，zexyzxxxFyxzzFxy又当x0,y1时，z0，所以zFx1，zFy，因此dz(0,1)dx0x(0,1)Fzy(0,1)Fz（12）【答案】

14【考点】三重积分的计算【难易度】★★★【详解】由轮换对称性，得òòò+3zdxdydz=6òòò1(x+2yzdxdydz=60zdzdxdy)DzWW此中Dz为平面z=z截空间地区W所得的截面，其面积为12(1-z).所以282015年全国硕士研究生入学一致考试数学一试题及答案òòòòòò1121321+3z)dxdydz=60z×(1-z)dz=30z-2z+zdz=zdxdydz=64WWò2ò()（13）【答案】2n12【考点】队列式的计算【难易度】★★★【详解】按第一行睁开得=2n+1-2（14）【答案】

12【考点】【难易度】★★【详解】(X,Y)~N(1,0,1,1,0)X~N(1,1),Y~N(0,1),且X,Y独立，X1~N(0,1)，PXYY0P(X1)Y0PX10,Y0PX10，Y01111122222三、解答题（答案）15）【考点】等价无量小量，极限的计算【难易度】★★★【详解】f(x)xaln(1x)bxsinxx2x3x3x3x3xax3bxx23!1axabx2ax3x32392015年全国硕士研究生入学一致考试数学一试题及答案f(x)与g(x)1+a0

kx3是等价无量小a1ab0ak316）【考点】微分方程【难易度】★★★【详解】以以下图：

bk

1213xx0处的切线方程为l：yf(x0)(xx0)f(x0)l与x轴的交点为：y0时，xx0f(x0)，则ABf(x0)xx0，f(x0)f(x0)所以，S1ABf(x0)1f(x0)f(x0)4.即知足微分方程：y1，解得：22f(x0)y281xc.y8又因y(0)2，所以c18，故y.24x（17）【考点】方导游数，条件极值【难易度】★★★【详解】依据方导游数与梯度的关系可知，方导游数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.，102015年全国硕士研究生入学一致考试数学一试题及答案故gradf(x,y)1y,1x故f(x,y)在曲线C上的最大方导游数为1y2(1x)2，此中x,y知足x2y2xy3，即就求函数z(1y)2(1x)2在拘束条件x2y2xy30下的最值.结构拉格朗日函数F(x,y,)(1y)2(1x)2(x2y2xy3)F2(1x)2xy0x令F2(1y)2yx0可得(1,1),(1,1),(2,2),(1,2)yFx2y2xy30此中z(1,1)4,z(1,1)0,z(2,1)9z(1,2)综上依据题意可知f(x,y)在曲线C上的最大方导游数为3.18）【考点】导数定义【难易度】★★【详解】uxvxf'(x)u1(x)u2(x)u1'(x)u2(x)u1'(x)u2(x)

'uxxvxxuxv(x)limxx0limuxxu(x)vxxuxv(xx)v(x)0xxu'xv(x)uxv'(x)'un(x)'un(x)u1(x)u2(x)un(x)'un(x)u1(x)u2(x)u3(x)un(x)u'(x)u2(x)un(x)u(x)u'(x)un(x)u(x)u2(x)u'(x)1121n112015年全国硕士研究生入学一致考试数学一试题及答案19）【考点】曲线积分的计算【难易度】★★★xcos,【详解】曲线L的参数方程为y2sin,从到zcos,22I(yz)dx(z2x2y)dy(x2y2)dzL2(2sincos)sin2sin2cos22sin2)sind(cos222sin21sin2sinsin3d2222sin2d222sin2d22122022220）【考点】线性没关，基下的坐标【难易度】★★★201【详解】（Ⅰ）(1,2,3)(1,2,3)0202k0k12012102040，因为2k12k0k12k所以1,2,3线性没关，1,2,3是3的一个基。201（Ⅱ）设P020，P为从基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵，又设在基2k0k11,2,3下的坐标为x(x1,x2,x3)T，则在基1,2,3下的坐标为P1x，由xP1x，得Pxx，即(PE)x0101111由PE010k0，得k0，并解得xc0,c为随意常数。2kk2k0k1122015年全国硕士研究生入学一致考试数学一试题及答案从而c1c3,c为随意常数。21）【考点】相像矩阵，相像对角化【难易度】★★★023120【详解】由A133相像于B0b012a03103a1b1023120则330b,解得a4,b51012a03123fA( )|EA|133(1)2(5)0124123123当121,(EA)12300012300023特点向量11,20，01523123101当35,(EA)1231210111215230001231100则特点向量31,所以P(1,2,3)101,得P1AP010101100522）【考点】【难易度】★★★★【详解】Px32xln2d