普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ)数学试题及详细解答(文科)

一般高等学校招生全国一致考试(全国卷Ⅰ)数学试题及详尽解答(文科)一般高等学校招生全国一致考试(全国卷Ⅰ)数学试题及详尽解答(文科)一般高等学校招生全国一致考试(全国卷Ⅰ)数学试题及详尽解答(文科)2021年一般高等学校招生全国一致考试文科数学〔必修+选修Ⅰ〕本试卷分第错误！未找到引用源。卷〔选择题〕和第错误！未找到引用源。卷〔非选择题〕两局部．第错误！未找到引用源。卷1至2页，第错误！未找到引用源。卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一卷本卷须知：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水署名笔将自己的姓名、准考据号、填写清楚，并贴好条形码．请仔细批准条形码上的准考据号、姓名和科目．2．每题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．参照公式：假如事件A，B互斥，那么球的表面积公式P(AB)P(A)P(B)S4πR2假如事件A，B互相独立，那么此中R表示球的半径P(AB)P(A)P(B)球的体积公式假如事件A在一次试验中发生的概率是P，那么4π3n次独立重复试验中恰巧发生3k次的概率此中R表示球的半径Pn(k)CnkPk(1P)nk(k01,2，，，n)一、选择题〔1〕sin585o的值为2(B)23(D)3(A)(C)2222【分析】本小题考察引诱公式、特别角的三角函数值，根基题。解：sin585osin(360o225o)sin(180o45o)sin45o2，应选择A。2(2)设会合A=｛4，5，6，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集=AB，那么会合［u〔AB〕中的元素共有(A)3个〔B〕4个〔C〕5个〔D〕6个【分析】本小题考察会合的运算，根基题。〔同理1〕解：AB{3,4,5,7,8,9}，AB{4,7,9}CU(AB){3,5,8}应选A。也可用摩根律：CU(AB)(CUA)(CUB)〔3〕不等式x11的解集为Dx1〔A〕x0x1xx1〔C〕x1x0

B〕x0x1〔D〕xx0【分析】本小题考察解含有绝对值的不等式，根基题。解：x11|x1||x1|(x1)2(x1)204x0x0，x1应选择D。〔4〕tana=4,cot=1,那么tan(a+)=37777(A)(B)(C)(D)11111313【分析】本小题考察同角三角函数间的关系、正切的和角公式，根基题。解：由题tan3，tan(tantan437)tan112，应选择B。1tan11〔5〕设双曲线x2－y2＝1＞，＞0的渐近线与抛物线2a2b2a0by＝x＋1相切，那么该双曲线的离心率等于〔A〕3〔B〕2〔C〕5〔D〕6【分析】本小题考察双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的地点关系、双曲线的离心率，根基题。解：由题双曲线x2－y2＝1＞，＞的一条渐近线方程为bx，代入抛物线方程整理得a2b2aax2bxa0，因渐近线与抛物线相切，所以b24a20，即c25a2e5，应选择C。〔6〕函数f(x)的反函数为g(x)＝1＋2lgxx＞0，那么f(1)g(1)〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕4【分析】本小题考察反函数，根基题。解：由题令12lgx1得x1，即f(1)1，又g(1)1，所以f(1)g(1)2，应选择C。〔7〕甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，假定从甲、乙两组中各选出2名同学，那么选出的4人中恰有1名女同学的不一样选法共有〔A〕150种〔B〕180种〔C〕300种〔D〕345种【分析】本小题考察分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，根基题。解：由题共有C52C61C21C51C31C62345，应选择D。〔8〕设非零向量a、b、c知足|a||b||c|,abc，那么a,b〔A〕150°B〕120°〔C〕60°〔D〕30°【分析】本小题考察向量的几何运算、考察数形联合的思想，根基题。解：由向量加法的平行四边形法那么，知长等于菱形的边长，应选择B。

a、b可组成菱形的两条相邻边，且

a、b为起点处的对角线〔9〕三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，那么异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(A)3573(B)4(C)(D)4447〕【分析】本小题考察棱柱的性质、异面直线所成的角，根基题。〔同理解：设BC的中点为D，连接A1D，AD，易知A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角,由三角余弦定理，易知coscosA1ADcosDABADAD3A1AAB.应选D4(10)假如函数y3cos(2x)的图像对于点(4,0)中心对称，那么的最小值为3(A)(B)(C)3(D)264【分析】本小题考察三角函数的图象性质，根基题。解:函数y＝3cos2x＋的图像对于点4，0中心对称324k2k13(kZ)由此易得||min.应选A366〔11〕二面角为600，动点P、Q分别在面,内，P到的距离为3，Q到的距离为23，那么P、Q两点之间距离的最小值为【分析】本小题考察二面角、空间里的距离、最值问题，综合题。〔同理10〕解:如图分别作QA于A,ACl于C,PB于B,PDl于D，连CQ,BD那么ACQPBD60,AQ23,BP3，ACPD2又PQAQ2AP212AP223当且仅当AP0，即点A与点P重合时取最小值。故答案选C。〔12〕椭圆C:x2y21的右焦点为F,Al，2右准线l，点线段AF交C于点B。假定FA3FB,那么AF=(A)2(B)2(C)3(D)3【分析】本小题考察椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，根基题。解:过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意FA3FB2,故|BM|.3又由椭圆的第二定义,得|BF|22223|AF|2.应选A32021年一般高等学校招生全国一致考试文科数学〔必修选修Ⅰ〕第二卷本卷须知：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水署名笔将自己的姓名、准考据号填写清楚，而后贴好条形码．请仔细批准条形码上的准考据号、姓名和科目．2．第二卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水署名笔在答题卡上各题的答题地区内作答，卷上作答无效．．．．．．．3．本卷共10小题，共90分．

在试题．．．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．〔注意：在试题卷上作答无效〕．．．．．．．．．〔13〕(xy)10的睁开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于_____________.【分析】本小题考察二项睁开式通项、根基题。〔同理13〕解:因Tr1(1)rC10rx10ryr所以有C103(C107)2C103240〔14〕设等差数列{an}的前n项和为Sn。假定S972，那么a2a4a9_______________.【分析】本小题考察等差数列的性质、前n项和，根基题。〔同理14〕解:an是等差数列,由S972,得S99a5,a58a2a4a9(a2a9)a4(a5a6)a43a524。(15)OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面获取圆M，假定圆M的面积为3，那么球O的表面积等于__________________.【分析】本小题考察球的截面圆性质、球的表面积，根基题。解：设球半径为R，圆M的半径为r，那么r23，即r23由题得R2(R)23，所以R24R22416。〔16〕假定直线m被两平行线l1:xy10与l2:xy30所截得的线段的长为22，那么m的倾斜角能够是①15②30③45④60⑤75此中正确答案的序号是.〔写出全部正确答案的序号〕【分析】本小题考察直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考察数形联合的思想。解：两平行线间的距离为d|31|2，由图知直线m与l1的夹角为30o，l1的倾斜角为45o，11所以直线m的倾斜角等于30o450750或45o300150。故填写①或⑤三．解答题：本大题共6小题，共70分.解允许写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题总分值10分)(注意:在试题卷上作答无效)．．．．．．．．．设等差数列{an}的前n项和为sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，a11,b13,a3b317,T3S312,求{an},{bn}的通项公式.【分析】本小题考察等差数列与等比数列的通项公式、前n项和，根基题。解：设an的公差为d，数列bn的公比为q0，由题得12dq217q2q1(33d)12解得q2,d2q0∴an12(n1)2n1,bn12n12n1。(18)(本小题总分值12分)〔注意：在试用题卷上作答无效〕在ABC中，内角、、的对边长分别为、、a2c22b，且sinB4cossinAC，Abcabc.b.【分析】本小题考察正弦定理、余弦定理。解：由余弦定理得a2c2b22bccosA，∵222,0，cbba∴b22bccosA2b，即b2ccosA2。由正弦定理及sinB4cosAsinC得2cosAsinBb，2sinC2c∴bb2，即b4。2(19)(本小题总分值12分)〔注决：在试题卷上作答无效〕如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，2，DCSD2，ADM在侧棱SC上，∠ABM=60。〔I〕证明：M是侧棱SC的中点；求二面角SAMB的大小。〔同理18〕【分析】本小题考察空间里的线线关系、二面角，综合题。〔I〕解法一：作MN∥SD交CD于N，作NEAB交AB于E，连ME、NB，那么MN面ABCD，MEAB,NEAD2设MNx，那么NCEBx,在RTMEB中，MBE60ME3x。在RTMNE中由ME2NE2MN23x2x22解得x1，进而MN1SDM为侧棱SC的中点M.2解法二:过M作CD的平行线.II〕剖析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考取求二面角也根本上不用三垂线定理的方法求作二面角。HK

过M作MJ∥CD交SD于AM交AM于K,那么JM

J,作SH∥CD,JM

AJ交AJ于H,作面SAD,面SAD面MBA,SH

面AMB

SKH

即为所求二面角的补角

.法二：利用二面角的定义。在等边三角形

ABM

中过点

B作BFAM交AM于点F，那么点F为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证GFAM，那么GFB即为所求二面角.解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图成立空间直角坐标系D—xyz，那么A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,0,2),S(0,0,2)。〔Ⅰ〕设M(0,a,b)(a0,b0)，那么BA(0,2,0),BM(2,a2,b),SM(0,a,b2)，SC(0,2,2)，由题得cos1BA,BM2，即zSM//SC2(a2)2(a2)2b222a2(b2)M(0,1,1)所以M是侧棱SC的中点。法2：设SMMC，那么22),MB(2,M(0,,111

1SM2解之个方程组得a1,b1CyDAB22,)x1又AB(0,2,0),MB,AB60o故MBAB|MB||AB|cos60o，即42(2)2(12)2，解得1，11所以M是侧棱SC的中点。〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得M(0,1,1),MA(2,1,1)，又AS(2,0,2)，AB(0,2,0)，设n1(x1,y1,z1),n2(x2,y2,z2)分别是平面SAM、MAB的法向量，那么n1MA0n2MA0，即2x1y1z102x2y2z20且且n1AS0n1AB02x12z102y20分别令x1x22得z11,y11,y20,z22，即n1(2,1,1),n2(2,0,2)，∴cosn1,n22026263二面角SAMB的大小6。arccos3(20)〔本小题总分值12分〕〔注意：在试题卷上作答无效〕．．．．．．．．．甲、乙二人进行一次围棋竞赛，商定先胜3局者获取此次竞赛的成功，竞赛结束。假定在一局中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局竞赛结果互相独立。前2局中，甲、乙各胜1局。〔Ⅰ〕求再赛2局结束此次竞赛的概率；〔Ⅱ〕求甲获取此次竞赛成功的概率。【分析】本小题考察互斥事件有一个发生的概率、互相独立事件同时发生的概率，综合题。解：记“第

i局甲获胜〞为事件

Ai(i

3,4,5)，“第

j

局甲获胜〞为事件

Bi

(j

3,4,5)

。〔Ⅰ〕设“再赛

2局结束此次竞赛〞为事件

A，那么A3A4B3B4，因为各局竞赛结果互相独立，故P(A)P(A3A4B3B4)P(A3A4)P(B3B4)P(A3)P(A4)P(B3)P(B4)。B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获取此次竞赛〔Ⅱ〕记“甲获取此次竞赛成功〞为事件成功当且仅当在后边的竞赛中，甲先胜2局，进而BA3A4B3A4A5A3B4A5，因为各局竞赛结果互相独立，故P(B)P(A3A4B3A4A5A3B4A5)P(A3A4)P(B3A4A5)P(A3B4A5)P(A3)P(A4)P(B3)P(A4)P(A5)P(A3)P(B4)P(A5)〔21〕〔本小题总分值12分〕〔注意：在试题卷上作答无效〕．．．．．．．．．函数f(x)x43x26.〔Ⅰ〕议论f(x)的单一性；〔Ⅱ〕设点P在曲线yf(x)上，假定该曲线在点P处的切线l经过坐标原点，求l的方程【分析】本小题考察导数的应用、函数的单一性，综合题。解：〔Ⅰ〕f`(x)4x36x4x(x6)(x6)22令f`(x)0得60或x6x；22令f`(x)0得x6或0x622所以，fx在区间(6,0)和(6,)为增函数；在区间(,6)和(0,6)为减函数。2222〔Ⅱ〕设点P(x0,f(x0))，由l过原点知，l的方程为yf`(x0)x，所以f(x0)f`(x0)x，即x043x026x0(4x036x0)0，整理得(x021)(x022)0，解得x02或x02。所以的方程为y2x或y2x(22)〔本小题总分值

〕12分〕〔注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．如图，抛物线E:y2x与圆M:(x4)2〔Ⅰ〕求r的取值范围〔Ⅱ〕当四边形ABCD的面积最大时，求对角线

y2r2(r0)订交于AC、BD的交点

A、B、C、D四个点。P的坐标。解：〔Ⅰ〕将抛物线E:y2x代入圆M:(x4)2y2r2(r0)的方程，消去y2，整理得x27x16r20．．．．．．．．．．．．．〔1〕抛物线E:y2x与圆M:(x4)2y2r2(r0)订交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程〔1〕有两个不相等的正根494(16r2)0即r5或r55∴x1x270422。解这个方程组得rx1x216r204r42(15,4).2〔II〕设四个交点的坐标分别为A(x1,x1)、