流体在管内的流动阻力

流体在管内的流动阻力默认分类2008-01-1308:58:10阅读194评论0字号：大中小订阅一、计算圆形直管阻力的通式流体在管内以一定逮度流动时，有两个方向相反的力相互作用着。一个是促使流动的推动力，这个力的方向和流动方向一致，另一个是由内摩擦而引起的摩擦阻力，这个力起了阻上流体运动的作用，其方向与流体前流动方向相反。只有在推动力与阻力达平衡的条件下，流动速度才能维持不变，即达到稳态流动。1' 1' —一.捉图1-23直管阻力通式的推导如图1-23所示，流体以速度。在一段水平直管内作稳定流动，对于不可压缩流体可写出截面1-1'，与2-2,间的柏努利方程式为："i+M?]■+—- §+会+hr*P 2p因是直径相同的水平管，左翼Z1=Z2,u1=u2=u，上式可筒化为：Pl话-（1-39）现分析流体在一段直径为d、长度为l的水平管内受力的情况：垂直作用于截面1-1'上的压力P1=p1A1-p1nd2/4垂直作用于截面2-2'上的压力P2=p2A2-p2nd2/4P1与P2的作用方向相反，所以有一个净压力（P1-P2）作用于整个流体柱上，推动它向前运动，这就是流动的推动力，它的作用方向与流动方向相同，其大小为：%一％-所）斗十平行作用于流体柱表面上的摩擦力为：P=vS=TTidi摩擦力阻止流体向前运动，这就是流动的阻力，它的作用方向与流动方向相反。根据牛顿第二运动定律，要维持流体在管内作匀速运动，作用在流体柱上的推动力应与阻力的大小相等，方向相反，即：Pi~Pi）斗4则四一Pr=•』-「

以式1-39代入上式得:4A顼一T(1-40)pd(1-40)上式就是流体在圆形直管内流动时能量损失与摩擦应力关系式，但还不能直接用来计算hf,因为内摩擦应力所遵循的规律因流体流动类型而异，直接用t计算hf有困难，且在连续性方程式及柏努利方程式中均无此项，故式1-40直接应用于管路的计算很不方便。下面将式1-40作进一步的变换，以消去式中的内摩擦应力t。由实验得知，流体只有在流动情况下才产生阻力。在流体物理性质，管径与管长相同情况下，流速增大，能量损失也随之增加，可见流动阻力与流速有关。由于动能u2/2与hf的单位相同，均为J/kg，因此经常把能量损失hf表示为动能u2/2的函数。于是可将式1-40改写成：,4r2i~ -.f-—J-—T-*卢妒d2则（1-41）或A/i（~flhf~』---^―.（1-41a）式1-41与1-41a是计算圆形直管阻力所引起能量损失的通式，称为范宁（Fanning）公式，此式对于滞流与湍流均适用。式中入是无因次的系数，称为摩擦系数，它是雷诺数的函数或者是雷诺数与管壁粗糙度的函数。应用上两式计算hf时，关键是要找出入值。前已指出，滞流与湍流是两种本质不同的流型。由于在式1-41与1-41a的推导过程中，曾令入*=8T/（pu2），其中的摩擦应力t所遵循的规律因流型而异，因此入值也随流型而变。所以，对滞流和湍流的摩擦系数入要分别讨论。此外，管壁粗糙度对入的影响程度也与流型有关。二、管壁粗糙度对摸摩擦系数的影响化工生产上所铺设的管道，按其材料的性质和加工情况，大致可分为光滑管与粗糙管。通常把玻璃管，黄铜管，塑料管等列为光滑管，把钢管和铸铁管等列为粗糙管。实际上，即使是用同一材质的管于铺设的管道，由于使用时间的长短，腐蚀与结垢的程度不同，管壁的粗糙程度也会发生很大的差异。相对粗糙度是指绝对粗糙度与管道直径的比值，即£/do管壁粗糙度对摩擦系数入的影响程度与管径的大小有关，如对于绝对粗糙度相同的管道，直径不同，对入的影响就不同，对直径小的影响较大。所以在流动阻力的计算中不但要考虑绝对粗糙的大小，还要考虑相对租糙度的大小。图1-24流体流过管壁面的情况流体作滞流流动时，管壁上凹凸不平的地方都被有规则的流体层所覆盖，而流动速度又比较缓慢，流体质点对管壁凸出部分不会有碰撞作用.所以，在滞流时，摩擦系数与管壁粗糙度无系。当流体作湍流流动时，靠管壁处总是存在着一层滞流内层，如果滞流内层的厚度6b大于壁面的绝对粗糙度，即6b>£，如图1-24(a)所示，此时管壁粗糙度对摩擦系数的影响与滞流相近。随着Rl数的增加，滞流内层的厚度逐渐变薄，当6b<£时，如图1-24(b)所示，壁面凸出部分便伸入湍流区内与流体质点发生碰撞，使湍动加剧，此时壁面粗糙度对摩擦系数的影响便成为重要的因素。Rl值愈大，滞流内层愈薄，这种影响愈显著。三、滞流时的摩擦系数由上得知，影响滞流摩擦系数入的因素只是臂诺准数Re,而与管壁的粗糙度无关。入与Re的关系式可用理论分析方法进行推导。图1-25入与Re关系式的推导设流体在半径为月的水平直管段内作滞流流动，于管轴心处取一半径为r，长度为l的流体柱作为分析对象，如图1-25所示，作用于流体柱两端面的压强分别为pl和p2，则作用在流体柱上的推动力为：(Pi—d)打—ME设距管中心r处的流体速度为ur，(r+dr)处的相邻流体层的速度为(ur+dur)，则流体速度沿半径方向的变化率(即速度梯度)为dur/dr，两相邻流体层所产生的内摩擦应力为Tr。滞流时内摩擦应力服从牛顿粘性定律，即：式中的负号是表示流速ur沿半径r增加的方向而减小。作用在流体柱上的阻力为：vrS==—尹(2nr/)™—2xrlu**dr dr流体作等速运动时，推动力与阻力大小必相等，方向必相反，故L2心归整rdrrdr积分上式的边界条件：当r=r时，ur=ur；当r=R(在管壁处)时，ur=0。故上式的积分形式为:rdrR积分并整理得：J"普积分并整理得：J"普m(1-42)式1-42是流体在圆管内作滞流流动时的速度分布表达式。它表示在某一压强降Apf之下，ur与r的关系，为抛物线方程。工程中常以管截面的平均流速来计算流动阻力所引起的压强降，故须把式1-42变换成Apf与平均速度u的关系才便于应用。由图1-25可知，厚度为dr的环形截面积dA=2nrdr,由于dr很小，可近似地取流体在dr层内的流速为ur，则通过此截面的体积流量为dVs=urdA=ur（2nrdr）。当r=0时，Vs=0，r=R时，Vs=Vs。所以整个管截面的体积流量为：Vr=27tw,rdr由于管截面的平均流速可写成：u=Vs/A于是将式1-42代入上式，进行积分并整理得:3-。）面=心牛段3-。）面=心牛段B/1I（1-43）再以R=d/2代入上式，并整理得:（1-44）式1-44为流体在圆管内作滞流流动时的直管阻力计算式，称为哈根-泊稷叶（Hagon-Poiseuille）公式。由此可以看出，滞流时Apf与u的一次方成正比。将式1-44与1-41a相比较，便知：卜64,耳.64=6七&=~dup~"血P一M（1-45）式1-15为流体在圆管内作滞流流动时入与Re的关系式。若将此式在对数坐标上进行标绘可得一直线，如图1-26所示。附带指出，根据流体在圆管内作滞流流动时的速度分布表达式1-42知,当r=0时，则管中心处的最大流速为:把这个结果与式1-43相比较，便知滞流时圆管截面的平均速度u=umax/2，或u/umax=0.5。这个事实已在前面指出过，这里又从理论上加以证明。四、湍流时的摩擦系数与因次分析前已指出，在湍流情况下，由于流体质点不规则的运动与脉动，且不断发生旋涡，所产生的内摩擦比滞流时大得多。内摩擦应力的大小不能用牛顿粘性定律来表示。前已述及，可模仿滞流时的形式而写成：dua了一（1-33）式中e称为湍流粘度系数或涡流粘度，其单位虽然与流体粘度M相同，但本质迥然有别，p是流体的物理性质，由流体本身来决定，而e不是流体的物性，它的大小由流体流动状况所决定。由于湍流时流体质点运动情况复

杂，目前还不能完全依靠理论导出一个表示e的关原式，因此也就不能象滞流那样，完全用理论分析法建立求算湍流时摩擦系数入的公式。工程技术中常会遇到所研究的现象过于复杂，虽然已知其影响因素，但还不能建立数学表达式，或者虽然建立了数学表达式，但无法用数学方法求解。因此，常须通过实验建立经验关系式。在进行实验时，每次只能改变一个影响因素，即变量，而把其它变量固定。若过程牵涉的变量很多，实验工作量必然很大，同时要把实验结果关联成一个便于应用的简单公式，往往也是很困难的，若利用因次分析的方法，可将几个变量组合成一个无因次数群，例如雷诺数Re就是由d，u，p和p四个变量所组成的无因次数群。这样用无次数群代替个别的变量进行实验。数群的数目总是比变量的数目少，实验次数就可以大大减少，关联数据的工作也会有所简化。因次分析的基础是因次一致性的原则和所谓n定理。因次一致性的原则表明：凡是根据基本物理规律导出的物理方程，其中各项的因次必然相同。例如，表示以等加速度。运动的物体，在0时间内所走过的距离l的公式为：』■ +-—aS2(1-46)上式的因次公式可写成：土=《L&~i，)e+<邛f式L和0分别为长度和时间的因次，而上式中各项的因次均为长度的因次L。对于因次一致的物理方程式，只要把式中各项都除以其中任一项，均可得到以无因饮数群表示的关系式。以式1-46为例，如果各项均除以1，便得：(1-46a)根据白金汉(Buckingham)所提出的n定理，任何因次一致的物理方程都可以表示为一组无因次数群的零函数，即：f<心，JTjj…打i)=b(1-47)方程式1-46a可以写成：停,*(1-48)可见，式1-46的物理方程可以表示成无因次数群uO0/l和a02/2l的零函数。n定理还指出：无因次数群nl、n2...的数目i等于影响该现象的物理量数目n减去用以表示这些物理量的基本因次的数目m，即：i=n-m(1-49)由于式1-46中的物理量数目n=4,即l、u0、0及a；基本因次数m=2，即L及0。所以无因次数群的数目i=4-2=2。应指出，只有在微分方程不能积分时，才采用因次分析法。因上面例子极其简单，故只借以说明寻求无因次数群的途径。若过程比较复杂，仅知道影响某一过程的物理量，而不能列出该过程的微分方程，则常用雷莱(LordRylegh)指数法将影响过程的因素组成为无因次数群。下面用湍流时的流动阻力问题来说明雷莱指数法的用法。根据对湍流时流动阻力的性质的理解，以及所进行的实验研究综合分析，可以得知为克服流动阻力所引起的能量损失Apf应与流体流过的管径d、管长l、平均流速u，流体的密度p及粘度p、管壁的粗糙度£有关。据此可以写成一般的不定函数形式，即：

(1-50)=*(d,itutpttite)(1-50)上面的关系也可以用幕函数来表示，即:(1-50a)式中的常数K和指数a、b、c...等均为定值。式中各物理量的因次是：=M日-*LTsamV= Cej-L把各物理量的因次代入式1-50a，则两端的因次为：MW(L)-(LV( )°(Aft-*)f用f}e(£,.根据因次一致性原则，上式等号两侧各基本量因次的指数必然相等，所以对于因次Mj+k=1对于因次e-c-k=-2对于因次La+b+c-3j-k+q=-1这里方程式只有3个，而未知数却有6个，自然不能联立解出各未知数的数值。为此，只能把其中的三个表示为另三个的函数来处理，设以b、k、q表示为a、c、j的函数，则联解得；a=-b-k-qc=2-kj=1-k将a、c、j值代入式1-50a得：把指数相同的物理量合并在一起，即得：(-篇)j(*)-’ (151)(1-51)式1-51中的无因次数群作为影响湍流时流动阻力的因素，则变量只有四个，而式1-50却包括7个变量。所以，进行实验按式1-51比式1-50要简便得多。根据n定理可进一步证明本例中无因次数群的数目为4。与上述过程有关的物理量数目n=7,衷示这些物理量的基本因次数m=3，所以无因次数群的数目i=7-3=4。以上通过实例，一方面对因次分析法的运用作了非常简略的介绍，另一方面也找出了影响直管阻力的准数函数式。在此，须明确下列两点：因次分析法只是从物理的因次着手，即把以物理量表达的一般函数式演变为以无因次数群表达的函数式。它并不能说明一个物理现象中的各影响因素之间的关系。在组合数群之前，必须通过一定的实验，对所要解决的问题作一番详尽的考察，定出与所研究对象的有关物理量。如果遗漏了必要的物理量，或把不相干的物理量列进去，都会导致错误的结论，所以因次分析法的运用，必须与实践密切结合，才能得到有实际意义的结果。经过因次分析得到无因次数群的函数式后，具体函数关系，如式1-51中的系数K与指数b、k、q仍需通

过实验才能确定。将通过实验定出的K、b、k及q值代入式1-51，再与式1-4la相比较，便可得出摩擦系数入的计算式。这个式通常称为经验关联式或半理论公式。湍流时，在不同Re值范围内，对不同的管材，入的表达式亦不相同，下面列举几种。(一)光滑管1.柏拉修斯(Blasius)公式,-0.3顷卜、(1-52)2.顾毓珍等公式Eg漕(1-53)(二)粗糙管1.柯尔布鲁克(Colebrook)公式—一=£也■— 1+9.35— 十)(1-54)2.尼库拉则(Nikuradse)与卡门(Karman)公式1 .A一-'广=20-…14(1-55)计算入的关系式还有许多，但都比较复杂，用起来很不方便。在工程计算中，一般将实验数据进行综合整理，以£/d为参数，标绘Re与入关系，如图1-26所示。这样，便可根据Re与£/d值从图1-26中查得入值。由图1-26可以看出有四个不同的区域：滞流区Re<2000o入与管壁租糙度无关，和Re准数成直线关系。表达这一直线的方程即为式1-45。过渡区Re=2000〜4000。在此区域内滞流或湍流的入〜Re曲线都可应用。为安全起见，对于流动阻力的计算，一般将湍流时的曲线延伸，以查取入值。湍流区Re>4000及虚线以下的区域。这个区的特点是摩擦系数入与Re准效及相对粗糙度£/d都有关，当£/d一定时，入随月Re数的增大而减小，Re值增至某一数值后入值下降缓慢，当Re值一定时，入随£/d的增加而增大。(d)完全湍流区图中虚线以上的区域。此区内的各入〜Re曲线，趋于水平线，即摩擦系数入只与E/d有关，而与Re准数无关。对于相对粗糙度E/d愈大的管道，达到阻力平方区的Re值愈低。五、流体在非圆形宣管内的流动阻力前面所讨论的都是流体在圆管内的流动。在化工生产中，还会遇到非圆形管道或设备，例如有些气体管道是方形的，有时流体也会在两根成同心圆的套管之间的环形通道内流过。前面计算Re准数及阻力损失hf或Apf的式中的d是圆管直径，对于非圆形管如何解决呢？一般来讲，截面形状对速度分布及流动阻力的大小都会有影响。实验证明，在湍流情况下，对非圆形截面的通道可以找到一个与圆形管直径d相当的“直径”以代替之。为此，引进了水力半径rH的概念。水力半径的定义是流体在流道里的流通截面A与润湿周边长n之比，即：Arfr~'ij-(1-56)对于直径为d的圆形管子，流通截面积A=nd2/4,润湿周边长度n=nd,故n

或d=4rH即圆形管的直径为其水力半径的4倍。把这个概念推广到非圆形管，则也采用4倍的水力半径来代替非圆形管的“直径”，称为当量直径，以de表示，即：de=4rH（1-57）所以，流体在非圆形直管内作湍流流动时，其阻力损失仍可用式1-41及1-4la进行计算。但应将式中及Re准数中的圆管直径d以当量直径de来代替。有些研究结果表明，当量直径用于湍流情况下的阻力