入“围”出精彩,突“围”显通达

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在学完“一元二次方程〞后，我们会发现用它能够解决大量实际问题，面积问题便是其中一种。对于用篱笆“围成面积〞类的问题，你是否经常遇到？它有哪些变化形式？对于这一类问题你是否理解得通透呢？下面就让我们一起来看一看吧。

苏科版数学教材九年级上册第34页第10题：

学校计划用长16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（如图1），面积是30m2，求BC的长。

图1

设AB=xm，则BC=（16-2x）m。根据题意，得（16-2x）x=30，

解得x1=3，x2=5。

由此可知BC的长为10m或6m。

变式1若中的墙长8m，其余条件不变，求BC的长。

由于BC≤8，由原题目知BC=6m。

研究“靠墙围成矩形〞时，往往要考虑墙可利用的最大长度，在这一限制条件下求解、取舍。

变式2如图2，学校计划用长16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙，墙长8m，中间再用篱笆隔成两个小矩形。若ABCD的面积是20m2，求BC的长。

图2

图3

设AB=xm，则BC=（16-3x）m。根据题意，得（16-3x）x=20，

解得x1=2，x2=[103]，

∴BC=10m或6m，而BC≤8，則BC=6m。

由于篱笆的总长度没有改变，仅仅是增加了隔断数量，需要同学们细心观测与思考：如何用x表示出长和宽，同时仍要注意墙的长度限制。同学们也可以将中间间隔的篱笆数量增加，分割成如图3所示更多的小矩形继续去研究。

变式3如图4，学校计划用长49m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙，墙长25m，中间用篱笆隔成两个小矩形并留有两个宽为1米的小门。若ABCD的面积是210m2，求AB的长。

图4

设AB=xm，则BC=（51-3x）m。根据题意，得（51-3x）x=210，解得x1=7，x2=10。

∵BC=51-3x≤25，即x≥[263]，

∴x=10，AB=10m。

此题与变式2一致的地方是篱笆同样围成了两个矩形，不同的地方是增加了两扇门，门的宽度共2m，因此BC长度简单表示错，需要小心处理。3AB+BC=49+2=51，由AB=xm便可以表示出BC的长，进而解决问题。

变式4如图5，某农户计划利用65m长的篱笆、长25m的墙AB，建造面积为450m2的长方形ADEF区域来养一些家禽，其中点F在AB的延长线上，求BF的长。

图5

设BF=xm，则矩形ADEF的周长为65+25=90（m），

∴AD=[65+252]-25-x=（20-x）m。

根据题意，得（25+x）（20-x）=450，

解得x1=5，x2=-10

图6

设AB=xm，则BC=（16-2x）m。生物园的面积为x（16-2x）=-2（x-4）2+32，当x=4的时候，面积最大为32。所以当BC=8时，围成的面积最大。

在研究“围成面积〞类问题时，不仅要关注围成面积的大小，还要考虑能否围成指定大小的矩形、最大能围成多大面积的矩形等。此题的面积用关于x的二次多项式表示，可以通过配方的方法求得这个多项式的最大值。

同学们还可以将这个问题一般化研究：总长为am的篱笆，一面靠墙围成一个面积最大的矩形，此时矩形的边长分别是多少？长和宽有什么数量关系？结论是：当矩形的长是宽的两倍时围成的面积最大。证明如下：设AB=xm，则BC=（a-2x）m，面积x（a-2x）=-2（x[-a4]）2+[a28]，当AB=[a4]，BC=[a2]，即BC=2AB时，围成的面积最大，最大为[a28]m2。

变式6现有长度为120m的篱笆（可弯曲围成一个区域）。

（1）假如用篱笆围成一个长方形鸡场，怎样围才能使鸡场的面积最大？为什么？

（2）假如用篱笆围成一个正六边形鸡场，那么与（1）中的长方形鸡场对比，哪个面积更大？

（3）假如用篱笆围成一个圆形鸡场，围成的面积有多大？你有什么猜想？（π≈3.14，[3]≈1.732，结果保存一位小数）

（1）由变式5的摸索，同学们应当能够借助配方法，很快得出围成边长为30m的正方形面积最大，最大为900m2。

（2）正六边形的边长为20m，面积为[6003]m2≈1039.2m2，比长方形面积大。

（3）面积大约为1146.5m2。猜想：同样长度的篱笆围成的圆的面积最大。

等周长的所有矩形中，正方形的面积最大;等周长的正多边形边数越多，其面积也越大;在周长一致的所有封闭平面曲线中，圆的面积最大。对于本文最开始的问题，同学们有没有更好的方法，使围成的四边形鸡场的面积更大？继续研究研究，再与其他同学交流吧。

我们对“围成面积〞类的问题进行了归类、