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文档简介
2023学年高考数学模拟测试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.点为棱长是2的正方体的内切球球面上的动点,点为的中点,若满足,则动点的轨迹的长度为()A. B. C. D.2.已知函数(,且)在区间上的值域为,则()A. B. C.或 D.或43.在中,内角的平分线交边于点,,,,则的面积是()A. B. C. D.4.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为()A. B.C. D.5.已知向量,,设函数,则下列关于函数的性质的描述正确的是A.关于直线对称 B.关于点对称C.周期为 D.在上是增函数6.《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为:把阳爻“-”当作数字“1”,把阴爻“--”当作数字“0”,则八卦所代表的数表示如下:卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113依此类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号“”表示的十进制数是()A.18 B.17 C.16 D.157.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三视图的长、宽、高分别为,,,且,则此三棱锥外接球表面积的最小值为()A. B. C. D.8.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()A. B. C. D.9.已知,且,则的值为()A. B. C. D.10.函数(其中是自然对数的底数)的大致图像为()A. B. C. D.11.已知正方体的棱长为2,点在线段上,且,平面经过点,则正方体被平面截得的截面面积为()A. B. C. D.12.已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,,若,则的值为()A.1 B.-1 C.8l D.-81二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量,,若满足,且方向相同,则__________.14.过直线上一动点向圆引两条切线MA,MB,切点为A,B,若,则四边形MACB的最小面积的概率为________.15.的展开式中,常数项为______;系数最大的项是______.16.若变量,满足约束条件则的最大值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数,.(1)解不等式;(2)若对任意的实数恒成立,求的取值范围.18.(12分)某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过度的部分按元/度收费,超过度但不超过度的部分按元/度收费,超过度的部分按元/度收费.(I)求某户居民用电费用(单位:元)关于月用电量(单位:度)的函数解析式;(Ⅱ)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这户居民中,今年1月份用电费用不超过元的占,求,的值;(Ⅲ)在满足(Ⅱ)的条件下,若以这户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点代替,记为该居民用户1月份的用电费用,求的分布列和数学期望.19.(12分)已知在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosB(1)求b的值;(2)若cosB+3sin20.(12分)底面为菱形的直四棱柱,被一平面截取后得到如图所示的几何体.若,.(1)求证:;(2)求二面角的正弦值.21.(12分)设为实数,已知函数,.(1)当时,求函数的单调区间:(2)设为实数,若不等式对任意的及任意的恒成立,求的取值范围;(3)若函数(,)有两个相异的零点,求的取值范围.22.(10分)如图,四棱锥中,底面ABCD为菱形,平面ABCD,BD交AC于点E,F是线段PC中点,G为线段EC中点.Ⅰ求证:平面PBD;Ⅱ求证:.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】
设的中点为,利用正方形和正方体的性质,结合线面垂直的判定定理可以证明出平面,这样可以确定动点的轨迹,最后求出动点的轨迹的长度.【题目详解】设的中点为,连接,因此有,而,而平面,,因此有平面,所以动点的轨迹平面与正方体的内切球的交线.正方体的棱长为2,所以内切球的半径为,建立如下图所示的以为坐标原点的空间直角坐标系:因此有,设平面的法向量为,所以有,因此到平面的距离为:,所以截面圆的半径为:,因此动点的轨迹的长度为.故选:C【答案点睛】本题考查了线面垂直的判定定理的应用,考查了立体几何中轨迹问题,考查了球截面的性质,考查了空间想象能力和数学运算能力.2、C【答案解析】
对a进行分类讨论,结合指数函数的单调性及值域求解.【题目详解】分析知,.讨论:当时,,所以,,所以;当时,,所以,,所以.综上,或,故选C.【答案点睛】本题主要考查指数函数的值域问题,指数函数的值域一般是利用单调性求解,侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.3、B【答案解析】
利用正弦定理求出,可得出,然后利用余弦定理求出,进而求出,然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.【题目详解】为的角平分线,则.,则,,在中,由正弦定理得,即,①在中,由正弦定理得,即,②①②得,解得,,由余弦定理得,,因此,的面积为.故选:B.【答案点睛】本题考查三角形面积的计算,涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用,考查计算能力,属于中等题.4、A【答案解析】
由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱垂直于底面,结合直观图判断外接球球心的位置,求出半径,代入求得表面积公式计算.【题目详解】由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱垂直于底面,高为2,底面为等腰直角三角形,斜边长为,如图:的外接圆的圆心为斜边的中点,,且平面,,的中点为外接球的球心,半径,外接球表面积.故选:A【答案点睛】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积,根据三视图判断几何体的结构特征,利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键.5、D【答案解析】
当时,,∴f(x)不关于直线对称;当时,,∴f(x)关于点对称;f(x)得周期,当时,,∴f(x)在上是增函数.本题选择D选项.6、B【答案解析】
由题意可知“屯”卦符号“”表示二进制数字010001,将其转化为十进制数即可.【题目详解】由题意类推,可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数字010001,转化为十进制数的计算为1×20+1×24=1.故选:B.【答案点睛】本题主要考查数制是转化,新定义知识的应用等,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7、B【答案解析】
根据三视图得到几何体为一三棱锥,并以该三棱锥构造长方体,于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而得到外接球的半径,求得外接球的面积后可求出最小值.【题目详解】由已知条件及三视图得,此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点,即为三棱锥,且长方体的长、宽、高分别为,∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球,且球半径为,∴三棱锥外接球表面积为,∴当且仅当,时,三棱锥外接球的表面积取得最小值为.故选B.【答案点睛】(1)解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径,同时要作一圆面起衬托作用.(2)长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线,对于一些比较特殊的三棱锥,在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体,通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题.8、C【答案解析】
联立方程解得M(3,),根据MN⊥l得|MN|=|MF|=4,得到△MNF是边长为4的等边三角形,计算距离得到答案.【题目详解】依题意得F(1,0),则直线FM的方程是y=(x-1).由得x=或x=3.由M在x轴的上方得M(3,),由MN⊥l得|MN|=|MF|=3+1=4又∠NMF等于直线FM的倾斜角,即∠NMF=60°,因此△MNF是边长为4的等边三角形点M到直线NF的距离为故选:C.【答案点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,意在考查学生的计算能力和转化能力.9、A【答案解析】
由及得到、,进一步得到,再利用两角差的正切公式计算即可.【题目详解】因为,所以,又,所以,,所以.故选:A.【答案点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用,考查学生的基本计算能力,是一道基础题.10、D【答案解析】由题意得,函数点定义域为且,所以定义域关于原点对称,且,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,故选D.11、B【答案解析】
先根据平面的基本性质确定平面,然后利用面面平行的性质定理,得到截面的形状再求解.【题目详解】如图所示:确定一个平面,因为平面平面,所以,同理,所以四边形是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为,所以,即所以由余弦定理得:所以所以四边形故选:B【答案点睛】本题主要考查平面的基本性质,面面平行的性质定理及截面面积的求法,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.12、B【答案解析】
根据二项式系数的性质,可求得,再通过赋值求得以及结果即可.【题目详解】因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,故可得,令,故可得,又因为,令,则,解得令,则.故选:B.【答案点睛】本题考查二项式系数的性质,以及通过赋值法求系数之和,属综合基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【答案解析】
由向量平行坐标表示计算.注意验证两向量方向是否相同.【题目详解】∵,∴,解得或,时,满足题意,时,,方向相反,不合题意,舍去.∴.故答案为:1.【答案点睛】本题考查向量平行的坐标运算,解题时要注意验证方向相同这个条件,否则会出错.14、.【答案解析】
先求圆的半径,四边形的最小面积,转化为的最小值为,求出切线长的最小值,再求的距离也就是圆心到直线的距离,可解得的取值范围,利用几何概型即可求得概率.【题目详解】由圆的方程得,所以圆心为,半径为,四边形的面积,若四边形的最小面积,所以的最小值为,而,即的最小值,此时最小为圆心到直线的距离,此时,因为,所以,所以的概率为.【答案点睛】本题考查直线与圆的位置关系,及与长度有关的几何概型,考查了学生分析问题的能力,难度一般.15、【答案解析】
求出二项展开式的通项,令指数为零,求出参数的值,代入可得出展开式中的常数项;求出项的系数,利用作商法可求出系数最大的项.【题目详解】的展开式的通项为,令,得,所以,展开式中的常数项为;令,令,即,解得,,,因此,展开式中系数最大的项为.故答案为:;.【答案点睛】本题考查二项展开式中常数项的求解,同时也考查了系数最大项的求解,涉及展开式通项的应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.16、7【答案解析】
画出不等式组表示的平面区域,数形结合,即可容易求得目标函数的最大值.【题目详解】作出不等式组所表示的平面区域,如下图阴影部分所示.观察可知,当直线过点时,有最大值,.故答案为:.【答案点睛】本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划,主要考查推理论证能力以及数形结合思想,属基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【答案解析】试题分析:(1)将绝对值不等式两边平方,化为二次不等式求解.(2)将问题化为分段函数问题,通过分类讨论并根据恒成立问题的解法求解即可.试题解析:整理得解得①②解得③,且无限趋近于4,综上的取值范围是18、(1);(2),;(3)见解析.【答案解析】试题分析:(1)根据题意分段表示出函数解析式;(2)将代入(1)中函数解析式可得,即,根据频率分布直方图可分别得到关于的方程,即可得;(3)取每段中点值作为代表的用电量,分别算出对应的费用值,对应得出每组电费的概率,即可得到的概率分布列,然后求出的期望.试题解析:(1)当时,;当当时,;当当时,,所以与之间的函数解析式为.(2)由(1)可知,当时,,则,结合频率分布直方图可知,∴,(3)由题意可知可取50,150,250,350,450,550,当时,,∴,当时,,∴,当时,,∴,当时,,∴,当时,,∴,当时,,∴,故的概率分布列为25751402203104100.10.20.30.20.150.05所以随机变量的数学期望19、(1)b=32【答案解析】试题分析:(1)本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求b的值,所以可以考虑到根据余弦定理将cosB,cosC分别用边表示,再根据正弦定理可以将sinAsinC转化为ac,于是可以求出b的值;(2)首先根据sinB+3cosB=2求出角B的值,根据第(1)问得到的b值,可以运用正弦定理求出ΔABC外接圆半径R,于是可以将a+c转化为2RsinA+2R试题解析:(1)由cosB应用余弦定理,可得a2化简得2b=3则b=(2)∵cos∴12cos∵B∈(0,π)∴B+π6=法一.∵2R=b则a+c==sin=3=3sin又∵0<A<2π3,法二因为b=32得34又因为ac≤(a+c2)2所以34=(a+c)∴a+c≤3又由三边关系定理可知综上a+c∈(考点:1.正、余弦定理;2.正弦型函数求值域;3.重要不等式的应用.20、(1)见解析;(2)【答案解析】
(1)先由线面垂直的判定定理证明平面,再证明线线垂直即可;(2)建立空间直角坐标系,求平面的一个法向量与平面的一个法向量,再利用向量数量积运算即可.【题目详解】(1)证明:连接,由平行且相等,可知四边形为平行四边形,所以.由题意易知,,所以,,因为,所以平面,又平面,所以.(2)设,,由已知可得:平面平面,所以,同理可得:,所以四边形为平行四边形,所以为的中点,为的中点,所以平行且相等,从而平面,又,所以,,两两垂直,如图,建立空间直角坐标系,,,由平面几何知识,得.则,,,,所以,,.设平面的法向量为,由,可得,令,则,,所以.同理,平面的一个法向量为.设平面与平面所成角为,则,所以.【答案点睛】本题考查了线面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法,重点考查了空间向量的应用,属中档题.21、(1)函数单调减区间为;单调增区间为.(2)(3)【答案解析】
(1)据导数和函数单调性的关系即可求出;(2)分离参数,可得对任意的及任意的恒成立,构造函数,利用导数求出函数的最值即可求出的范围;(3)先求导,再分类讨论,根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出的范围【题目详解】解:(1)当时,因为,当时,;当时,.所以函数单调减区间为;单调增区间为.
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