自动控制技术课件

机械与电子工程学院西北农林科技大学杨兵力机械工程控制基础10/31/2022机械与电子工程学院杨兵力机械工程控制基础10/23/2022第五章线性系统的频域分析10/31/2022第五章线性系统的频域分析10/23/2022一、工程研究方法计算量不应当太大,而且计算量不因微分方程的阶的升高而增加太多;容易分析系统的各个部分对总体动态性能的影响；容易区分出主要因素；能用作图法直观地表示出系统性能的主要特征。10/31/2022一、工程研究方法计算量不应当太大,而且计算量不因微分方程的阶直接求解微分方程的方法。存在以下问题：对于高阶系统和复杂系统难以进行求解和分析。当系统参数变化时，必须重新计算、求解。无法确定如何变化系统的参数，使系统的性能满足要求。Routh判据的基础是闭环传递函数。不是工程研究方法。二、时域分析法10/31/2022直接求解微分方程的方法。二、时域分析法10/23/2022是工程研究方法。没有明确的物理意义。不能解决高频噪声问题。三、根轨迹分析法10/31/2022是工程研究方法。三、根轨迹分析法10/23/20221932年，Nyquist提出一种根据系统的开环频率响应，确定闭环系统稳定的方法。1945年，Bode发表了“网络分析与放大器的设计”的论文。四、频域分析法10/31/20221932年，Nyquist提出一种根据系统的开环频率响应，确5.1频率响应及其描述频率特性的基本概念频率特性的几何表示法10/31/20225.1频率响应及其描述频率特性的基本概念10/23/20频率特性的基本概念10/31/2022频率特性的基本概念10/23/2022设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲线如下:结论：给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。40不10/31/2022设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个幅值不变频率特性的基本概念频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的稳态响应特性。输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化10/31/2022频率特性的基本概念频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对频率响应法的基本思想是把控制系统中的各个变量看成一些信号，而这些信号又是由许多不同频率的正弦信号合成的；各个变量的运动就是系统对各个不同频率的信号的响应的总和。频率响应法的基本思想10/31/2022频率响应法的基本思想是把控制系统中的各个变量看成一些信号，而频率响应法的特点频率响应法的特点:物理意义明确；可用实验的方法求出对象的数学模型频率响应法的计算量小；直观性强。10/31/2022频率响应法的特点频率响应法的特点:10/23/2022一、频率特性的基本概念RUiU0CRC电路如图所示，已知：1.频率特性的定义且初始条件为零，试求在正弦输入信号作用下的稳态解。由第三章知识可知，该RC电路的传递函数为：10/31/2022一、频率特性的基本概念RUiU0CRC电路如图所示，已知：110/31/202210/23/202210/31/202210/23/2022分析过程输入信号：输出信号：结论：A、输入信号和输出信号频率相同；B、输入信号和输出信号幅值比为频率的函数；C、输入信号和输出信号的相位差为频率的函数。10/31/2022分析过程输入信号：输出信号：结论：10/23/2022分析过程10/31/2022分析过程10/23/2022分析过程10/31/2022分析过程10/23/2022分析过程10/31/2022分析过程10/23/2022分析过程10/31/2022分析过程10/23/2022几点说明10/31/2022几点说明10/23/2022几点说明10/31/2022几点说明10/23/2022微分方程频率特性传递函数系统2.系统三种描述方法的关系10/31/2022微分方程频率特性传递函数系统2.系统三种描述方法的关系10/3.频率特性的物理意义

——输入、输出的傅氏变化之比令s=jω10/31/20223.频率特性的物理意义

——输入、输出的傅氏二、频率特性的几何表示法幅相频率特性曲线对数频率特性曲线对数幅相曲线j0Reω=0ω=∞ImG(jω)ReG(jω)G(jω)10/31/2022二、频率特性的几何表示法幅相频率特性曲线j00Re[G(jω)]Im[G(jω)]11、幅相频率特性曲线～惯性环节G(jω)10/31/20220Re[G(jω)]Im[G(jω)]11、幅相频率特性曲线2.对数频率特性曲线10/31/20222.对数频率特性曲线10/23/2022返回对数坐标系10/31/2022返回对数坐标系10/23/2022Asymptote图5-14惯性环节的对数频率特性[渐近线精确曲线]渐近线渐近线精确曲线AsymptoteCornerfrequencyExactcurve精确曲线Exactcurve10/31/2022Asymptote图5-14惯性环节的对数频率特性[渐近线一阶对象的幅频特性10/31/2022一阶对象的幅频特性10/23/2022一阶对象的相频特性10/31/2022一阶对象的相频特性10/23/20225.2典型环节的频率响应5.2.1典型环节的幅相频率特性⑴比例环节⑵微分环节⑶积分环节⑷惯性环节10/31/20225.2典型环节的频率响应5.2.1典型环节的幅相频率特(6)一阶微分环节(5)不稳定惯性环节10/31/2022(6)一阶微分环节(5)不稳定惯性环节10/23/2022(7)振荡环节10/31/2022(7)振荡环节10/23/2022谐振频率wr

和谐振峰值Mr

例:当，时10/31/2022谐振频率wr和谐振峰值Mr例:当幅相特性例系统的幅相曲线如图所试，求传递函数。由曲线形状有由起点：由j(w0)：由|G(w0)|：10/31/2022幅相特性例系统的幅相曲线如图所试，求传递函数。由曲线形状有(8)二阶微分环节10/31/2022(8)二阶微分环节10/23/2022一、典型环节二、典型环节的频率特性三、开环幅相曲线绘制四、开环对数频率特性曲线五、时滞环节和时滞系统六、传递函数的频域实验确定5.3开环系统频率响应10/31/2022一、典型环节5.3开环系统频率响应10/23/2022一、典型环节比例环节积分环节微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节时滞环节1.典型环节10/31/2022一、典型环节比例环节1.典型环节10/23/20222.开环系统的典型环节的分解已知控制系统的开环传递函数为则系统开环频率特性为10/31/20222.开环系统的典型环节的分解已知控制系统的开环传递函数为则系系统开环幅频特性和开环相频特性为:系统开环对数幅频特性为:10/31/2022系统开环幅频特性和开环相频特性为:系统开环对数幅频特性为:1二、典型环节的频率特性1.比例环节的对数频率特性曲线10/31/2022二、典型环节的频率特性1.比例环节的对数频率特性曲线10/20.10.21210201000db20db40db-20db-40dbL(ω)ω[-20]积分环节L(ω)10/31/20220.10.21210201000db20db40db-20d0.10.21210201000db20db40db-20db-40dbL(ω)ω[+20]微分环节L(ω)10/31/20220.10.21210201000db20db40db-20d惯性环节的对数频率特性

斜率为:-20dB/dec10/31/2022惯性环节的对数频率特性斜率为:-20dB/dec10/23渐近线渐近线精确曲线AsymptoteAsymptoteCornerfrequencyExactcurve精确曲线Exactcurve图5-14惯性环节的对数频率特性[渐近线精确曲线]惯性环节的对数频率特性

10/31/2022渐近线渐近线精确曲线AsymptoteAsympto图5-13惯性环节的误差曲线10-1100101-3-2.5-2-1.5-1-0.50惯性环节的对数频率特性

10/31/2022图5-13惯性环节的误差曲线10-1100101-3-210/31/202210/23/202210/31/202210/23/202210/31/202210/23/2022振荡环节G(jω)对数频率特性曲线

斜率为:-40dB/dec10/31/2022振荡环节G(jω)对数频率特性曲线斜率为:-40dB/de振荡环节G(jω)对数频率特性曲线10/31/2022振荡环节G(jω)对数频率特性曲线10/23/2022图5-17振荡环节的对数幅频特性曲线

幅频特性与

关系10/31/2022图5-17振荡环节的对数幅频特性曲线幅频特性与图5-18振荡环节的对数相频特性曲线

相频特性与关系10/31/2022图5-18振荡环节的对数相频特性曲线相频特性与关系10幅值误差与关系10/31/2022幅值误差与关系10/23/2022相频特性与关系10/31/2022相频特性与关系10/23/2022图5-16振荡环节的误差曲线幅值误差与关系10/31/2022图5-16振荡环节的误差曲线幅值误差与关系10/23/0Re[G(jω)]Im[G(jω)]1ABA:B:振荡环节G(jω)10/31/20220Re[G(jω)]Im[G(jω)]1ABA:B:振荡环节三、开环幅相曲线绘制绘制开环系统幅相曲线应注意的三点：开环系统幅相曲线的起点（）和终点（）。开环幅相曲线与实轴的交点。开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）。10/31/2022三、开环幅相曲线绘制绘制开环系统幅相曲线应注意的三点：10/开环幅相曲线与实轴的交点设时,开环幅相曲线与实轴相交,则或称为穿越频率,而开环频率特性曲线与实轴交点的坐标值为10/31/2022开环幅相曲线与实轴的交点设时,开环幅相曲线与实例题：绘制的幅相曲线。解：求交点：10/31/2022例题：绘制的幅相曲线。解0-25Im[G(jω)]Re[G(jω)]曲线如图所示：开环幅相曲线的绘制10/31/20220-25Im[G(jω)]Re[G(jω)]曲线如图所示：开

极坐标图的一般形状0型系统：极坐标图的起点是一个位于正实轴的有限值

极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的曲线与一个坐标轴相切。10/31/2022极坐标图的一般形状0型系统：极坐标图的起点是一个位于正实

极坐标图的一般形状Ⅰ型系统：的相角是极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段幅值为零，且曲线收敛于原点，且曲线与一个坐标轴相切。在总的相角中项产生的n＞m10/31/2022极坐标图的一般形状Ⅰ型系统：的相角是极坐标是一条渐近于平在总相角中的相角是由项产生的Ⅱ型系统：高频区域内的极坐标图

如果的分母多项式阶次高于分子多项式阶次，那么的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点时，轨迹将与实轴或虚轴相切当10/31/2022在总相角中的相角是由项产生的Ⅱ型系统：高频区域内的极坐标图四、开环对数频率特性曲线方法将开环系统传递函数按典型环节分解。确定各典型环节的交接频率,将各交接频率标注在半对数坐标图的ω轴上。绘制低频段渐近特性线；开环系统幅频渐近特性的斜率为:绘制频段渐近特性线；系统开环对数幅频特性曲线表现为分段折线。10/31/2022四、开环对数频率特性曲线方法10/23/2022绘制开环系统的伯德图步骤如下

12写出开环频率特性表达式，将所含各因子的转折频率由小到大依次标在频率轴上。绘制开环对数幅频曲线的渐近线。43作出以分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按典型因子的误差曲线对相应的分段直线进行修正。作相频特性曲线。根据表达式，在低频中频和高频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线。10/31/2022绘制开环系统的伯德图步骤如下12写出开环频率特性表达式，将低频段的斜率为在每遇到一个转折频率，就改变一次分段直线的斜率

因子的转折频率，当时，

分段直线斜率的变化量为

因子的转折频率，当分段直线斜率的变化量为时，处，高频渐近线，其斜率为n为极点数，m为零点数

开环对数幅频曲线的渐近线10/31/2022低频段的斜率为在每遇到一个转折频率，就改变一次分段直线的斜率例题：绘制的对数曲线。解：对数幅频：低频段：20/s 转折频率：1510 斜率：-400-40修正值：开环对数曲线的绘制10/31/2022例题：绘制对数相频：相频特性的画法为：起点，终点，转折点。环节角度：10/31/2022对数相频：相频特性的画法为：起点，终点，转折点。环节角度：11101000db20db40db-20db--40dbL(ω)ω5-90-180对数幅频：低频段：20/s 转折频率：1510 斜率：-400-40修正值：

-114.7-93.7-137.510/31/20221101000db20db40db-20db--40dbL(10/31/202210/23/2022最小相位系统与非最小相位系统最小相位传递函数非最小相位传递函数在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数最小相位系统非最小相位系统具有最小相位传递函数的系统具有非最小相位传递函数的系统请看例子10/31/2022最小相位系统与非最小相位系统最小相位传递函数非最小相位传递函对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定。对于非最小相位系统则不是这种情况。

最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图10/31/2022对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定非最小相位系统

最小相位系统

的相角特性

相同的幅值特性和10/31/2022非最小相位系统最小相位系统的相角特性相同的幅值特性和1在具有相同幅值特性的系统中，最小相位传递函数（系统）的相角范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范围，都大于最小相位传递函数的相角范围

最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应关系。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定。这个结论对于非最小相位系统不成立。

反之亦然10/31/2022在具有相同幅值特性的系统中，最小相位传递函数（系统）的相角范五、时滞环节和时滞系统两者存在本质的差别低频时传递延迟与一阶环节的特性相似

当时当时10/31/2022五、时滞环节和时滞系统两者存在本质的差别低频时传递延迟与一阶确定系统积分或微分环节的个数。确定系统传递函数结构形式。将实验曲线用渐近线近似为折线。由给定条件确定传递函数参数。六、传递函数的频域实验确定10/31/2022确定系统积分或微分环节的个数。六、传递函数的频域实验确定10例910/31/2022例910/23/20225.5Nquist稳定判据一、Nyquist稳定判据二、对数频率稳定判据10/31/20225.5Nquist稳定判据一、Nyquist稳定判据10闭环传递函数为闭环系统特征方程为一、Nyquist稳定判据10/31/2022闭环传递函数为闭环系统特征方程为一、Nyquist稳定判据1闭环系统稳定的充分必要条件是其特征方程的全部特征根位于S平面的左半平面。Nquist稳定判据是通过闭环系统的开环频率特性G(jw)H(jw)与闭环特征方程的根在S平面上的分布之间的联系，由开环频率特性G(jw)H(jw)判别闭环系统稳定性的一种准则。10/31/2022闭环系统稳定的充分必要条件是其特征方程的全部特征根位于S平面1、奈氏判据的数学基础1)幅角原理设F(s)为S的有理函数，则对于S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在平面上必存在一条封闭曲线与之对应。平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围原点的次数和方向与系统的稳定性联系起来。10/31/20221、奈氏判据的数学基础1)幅角原理设F(s)为S的有理函数，其特征方程为：例如：考虑下列开环传递函数：函数在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每一个解析点，平面上必有一点与之对应。10/31/2022其特征方程为：例如：考虑下列开环传递函数：函数则为：例如这样，对于s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在平面上就必有一个封闭曲线与之对应。10/31/2022则为：例如这样，对于s平面上给定的连

s平面上的图形在平面上的变换上半s平面内的直线和在平面上的变换10/31/2022s平面上的图形在平面上的变换上半00当s平面上的图形包围两个的极点时，的轨迹将反时针方向包围平面上原点两次10/31/202200当s平面上的图形包围两个的极点时，的轨迹将反时针方向包围ABFEDCA1B1F1E1D1C1当s平面上的图形包围的两个极点和两个零点，的轨迹将不包围原点相应的10/31/2022ABFEDCA1B1F1E1D1C1当s平面上的图形包围的两00如果这个曲线只包围一个零点，相应的轨迹将顺时针包围原点一次，的封闭曲线既不包围零点又不包围极点，的轨迹将永远不会包围平面上的原点10/31/202200如果这个曲线只包围一个零点，相应如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，即包围的零点数与极点数相同，则在平面上，相应的封闭曲线不包围平面上的原点。上述讨论是幅角原理的图解说明。奈奎斯特稳定判据正是建立在幅角原理的基础上。10/31/2022如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1幅角原理设s平面上闭合曲线包围的Z个零点和P个极点,当s沿顺时针运动一周时,在平面上的映射闭合曲线按顺时针包围原点的次数为N>0表示封闭曲线顺时针包围平面原点N次。N<0表示封闭曲线逆时针包围平面原点N次R=0表示表示封闭曲线不包围平面的原点。10/31/2022幅角原理设s平面上闭合曲线包围的Z个零点和P个2、Nyquist稳定判据1).辅助函数：闭环传递函数为开环传递函数为闭环系统特征多项式D(s)—辅助函数F(s）10/31/20222、Nyquist稳定判据1).辅助函数：开环传递函数为闭环Φ(S)零点极点相同F(S)零点极点相同G(s)H(s)零点极点10/31/2022Φ(S)零点极点相同F(S)零点极点相同G(s)H(s)零点jw(3)(1)(2)0[s]s10/31/2022jw(3)(1)(2)0[s]s10/23/2022(1)(2)r=0(3)ImRes[F(s)]10/31/2022(1)(2)r=0(3)ImRes[F(s)]10/23/(1,j0)ReIm[F(S)]10/31/2022(1,j0)ReIm[F(S)]10/23/2022.(-1,j0)[GH]10/31/2022.(-1,j0)[GH]10/23/202210/31/202210/23/202210/31/202210/23/2022图5-37s平面内的封闭曲线曲线对原点的包围，恰等于轨迹对-1+j0点的包围10/31/2022图5-37s平面内的封闭曲线曲线对原点的包围，恰等于轨迹对这一判据可表示为：函数在右半s平面内的零点数对-1+j0点顺时针包围的次数如果P不等于零，对于稳定的控制系统，必须或，这意味着必须反时针方向包围-1+j0点P次。关于奈奎斯特稳定判据的几点说明式中函数在右半s平面内的极点数如果函数在右半s平面内无任何极点，则因此，为了保证系统稳定，的轨迹必须不包围-1+j0点。10/31/2022这一判据可表示为：函数在右半s平面内的零点数对-1+j0点顺含有位于上极点和/或零点的特殊情况变量沿着轴从运动到）的半圆运动，再沿着正轴从运动到（，从到，变量沿着半径为10/31/2022含有位于上极点和/或零点的特殊情况变量沿着轴从运动到）的半圆对于包含因子的开环传递函数，当变量s沿半径为()的半圆运动时，的图形中将有个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。例如，考虑开环传递函数：当s平面上的时，的相角10/31/2022对于包含因子的开环传递函数，当变量s沿半径为()的半圆运动时在右半s平面内没有极点，并且对所有的正K值，轨迹包围点两次。所以函数在右半s平面内存在两个零点。因此，系统是不稳定的。

10/31/2022在右半s平面内没有极点，并且对所有的正K值，轨迹包围点两次。稳定性分析如果在s平面内，奈奎斯特轨迹包含和P个极点，并且当s变量顺时针沿奈奎斯特轨迹运动时，不通过的任何极点或零点，则在平面上相对应的曲线将沿顺时针方向包围点次（负R值表示反时针包围点）。的Z个零点10/31/2022稳定性分析如果在s平面内，奈奎斯特轨迹包含和P个极点，并且当a)不包围-1+j0点如果这时在右半s平面内没有极点，说明系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。如果反时针方向包围的次数，等于在右半s平面内没有极点数，则系统是稳定的；否则系统是不稳定的。系统是不稳定的。

b)反时针包围-1+j0点c)顺时针包围-1+j010/31/2022a)不包围-1+j0点如果这时例5-3设闭环系统的开环传递函数为：的轨迹如图5-41所示。在右半s平面内没有任何极点，并且的轨迹不包围，所以对于任何的值，该系统都是稳定的。10/31/2022例5-3设闭环系统的开环传递函数为：的轨迹如图5-41所示图5-41例5-3中的极坐标图

10/31/2022图5-41例5-3中的极坐标图10/23/2022例5-4设系统具有下列开环传递函数：试确定以下两种情况下，系统的稳定性：增益K较小增益K较大。小K值时是稳定的

大K值时是不稳定的

10/31/2022例5-4设系统具有下列开环传递函数：试确定以下两种相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。例5-5设开环传递函数为：该系统的闭环稳定性取决于和

的轨迹不包围系统是稳定的的轨迹通过点，这表明闭环极点位于轴上10/31/2022相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。例5的轨迹顺时针方向包围点两次，因此系统有两个闭环极点位于右半s平面，系统是不稳定的。10/31/2022的轨迹顺时针方向包围点两次，因此系统有两个闭环极点位于右半s例5-6设一个闭环系统具有下列试确定该闭环系统的稳定性。开环传递函数：在右半s平面内有一个极点()，因此图5-44中的奈奎斯特图表明，轨迹顺时针方向包围点一次，因此，。这表明闭环系统有两个极点在右半s平面，因此系统是不稳定的。因为10/31/2022例5-6设一个闭环系统具有下列试确定该闭环系统的稳定性。开10/31/202210/23/2022例5-7设一个闭环系统具有下列开环传递函数：在右半s平面内有一个极点因此开环系统是不稳定的。试确定该闭环系统的稳定性。则10/31/2022例5-7设一个闭环系统具有下列开环传递函数：在右半s平面图5-45例5-7中的极坐标图轨迹逆时针方向包围点一次，因此，因为这说明没有零点位于右半s平面内，闭环系统闭环系统是稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是回路闭合后，变成稳定系统的例子。

图5-45表明10/31/2022图5-45例5-7中的极坐标图轨迹逆时针方向包围点一次，因相位裕度和增益裕度对于大的K值，系统是不稳定的。的轨迹通过点。的轨迹对点的靠近程度，可以用来度量稳定裕量(对条件稳定系统不适用)。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表示。

图5-46的极坐标图对于小的K值，系统是稳定的。当增益减小到一定值时，10/31/2022相位裕度和增益裕度对于大的K值，系统是不稳定的。的轨迹通过点相位裕度、相角裕度(PhaseMargin)设系统的截止频率(Gaincross-overfrequency)为定义相角裕度为相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后度，则系统将变为临界稳定。10/31/2022相位裕度、相角裕度(PhaseMargin)设系统的截止增益裕度、幅值裕度(GainMargin)设系统的穿越频率(Phasecross-overfrequency)为定义幅值裕度为幅值裕度的含义对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大倍，则系统将变为临界稳定状态。10/31/2022增益裕度、幅值裕度(GainMargin)设系PositiveGainMarginPositivePhaseMargin-11NegativeGainMarginNegativePhaseMargin-11StableSystemUnstableSystem10/31/2022PositivePositive-11NegativePositiveGainMarginPositivePhaseMarginNegativeGainMarginNegativePhaseMarginStableSystemUnstableSystem0dB0dB10/31/2022PositivePositiveNegativeNeg最小相角系统临界稳定时G(jw)曲线过(-1,j0)点，该点：同时成立-110j临界稳定的特点10/31/2022最小相角系统临界稳定时G(jw)曲线过(-1,10/31/202210/23/202210/31/202210/23/2022机械与电子工程学院西北农林科技大学杨兵力机械工程控制基础10/31/2022机械与电子工程学院杨兵力机械工程控制基础10/23/2022第五章线性系统的频域分析10/31/2022第五章线性系统的频域分析10/23/2022一、工程研究方法计算量不应当太大,而且计算量不因微分方程的阶的升高而增加太多;容易分析系统的各个部分对总体动态性能的影响；容易区分出主要因素；能用作图法直观地表示出系统性能的主要特征。10/31/2022一、工程研究方法计算量不应当太大,而且计算量不因微分方程的阶直接求解微分方程的方法。存在以下问题：对于高阶系统和复杂系统难以进行求解和分析。当系统参数变化时，必须重新计算、求解。无法确定如何变化系统的参数，使系统的性能满足要求。Routh判据的基础是闭环传递函数。不是工程研究方法。二、时域分析法10/31/2022直接求解微分方程的方法。二、时域分析法10/23/2022是工程研究方法。没有明确的物理意义。不能解决高频噪声问题。三、根轨迹分析法10/31/2022是工程研究方法。三、根轨迹分析法10/23/20221932年，Nyquist提出一种根据系统的开环频率响应，确定闭环系统稳定的方法。1945年，Bode发表了“网络分析与放大器的设计”的论文。四、频域分析法10/31/20221932年，Nyquist提出一种根据系统的开环频率响应，确5.1频率响应及其描述频率特性的基本概念频率特性的几何表示法10/31/20225.1频率响应及其描述频率特性的基本概念10/23/20频率特性的基本概念10/31/2022频率特性的基本概念10/23/2022设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲线如下:结论：给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。40不10/31/2022设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个幅值不变频率特性的基本概念频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的稳态响应特性。输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化10/31/2022频率特性的基本概念频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对频率响应法的基本思想是把控制系统中的各个变量看成一些信号，而这些信号又是由许多不同频率的正弦信号合成的；各个变量的运动就是系统对各个不同频率的信号的响应的总和。频率响应法的基本思想10/31/2022频率响应法的基本思想是把控制系统中的各个变量看成一些信号，而频率响应法的特点频率响应法的特点:物理意义明确；可用实验的方法求出对象的数学模型频率响应法的计算量小；直观性强。10/31/2022频率响应法的特点频率响应法的特点:10/23/2022一、频率特性的基本概念RUiU0CRC电路如图所示，已知：1.频率特性的定义且初始条件为零，试求在正弦输入信号作用下的稳态解。由第三章知识可知，该RC电路的传递函数为：10/31/2022一、频率特性的基本概念RUiU0CRC电路如图所示，已知：110/31/202210/23/202210/31/202210/23/2022分析过程输入信号：输出信号：结论：A、输入信号和输出信号频率相同；B、输入信号和输出信号幅值比为频率的函数；C、输入信号和输出信号的相位差为频率的函数。10/31/2022分析过程输入信号：输出信号：结论：10/23/2022分析过程10/31/2022分析过程10/23/2022分析过程10/31/2022分析过程10/23/2022分析过程10/31/2022分析过程10/23/2022分析过程10/31/2022分析过程10/23/2022几点说明10/31/2022几点说明10/23/2022几点说明10/31/2022几点说明10/23/2022微分方程频率特性传递函数系统2.系统三种描述方法的关系10/31/2022微分方程频率特性传递函数系统2.系统三种描述方法的关系10/3.频率特性的物理意义

——输入、输出的傅氏变化之比令s=jω10/31/20223.频率特性的物理意义

——输入、输出的傅氏二、频率特性的几何表示法幅相频率特性曲线对数频率特性曲线对数幅相曲线j0Reω=0ω=∞ImG(jω)ReG(jω)G(jω)10/31/2022二、频率特性的几何表示法幅相频率特性曲线j00Re[G(jω)]Im[G(jω)]11、幅相频率特性曲线～惯性环节G(jω)10/31/20220Re[G(jω)]Im[G(jω)]11、幅相频率特性曲线2.对数频率特性曲线10/31/20222.对数频率特性曲线10/23/2022返回对数坐标系10/31/2022返回对数坐标系10/23/2022Asymptote图5-14惯性环节的对数频率特性[渐近线精确曲线]渐近线渐近线精确曲线AsymptoteCornerfrequencyExactcurve精确曲线Exactcurve10/31/2022Asymptote图5-14惯性环节的对数频率特性[渐近线一阶对象的幅频特性10/31/2022一阶对象的幅频特性10/23/2022一阶对象的相频特性10/31/2022一阶对象的相频特性10/23/20225.2典型环节的频率响应5.2.1典型环节的幅相频率特性⑴比例环节⑵微分环节⑶积分环节⑷惯性环节10/31/20225.2典型环节的频率响应5.2.1典型环节的幅相频率特(6)一阶微分环节(5)不稳定惯性环节10/31/2022(6)一阶微分环节(5)不稳定惯性环节10/23/2022(7)振荡环节10/31/2022(7)振荡环节10/23/2022谐振频率wr

和谐振峰值Mr

例:当，时10/31/2022谐振频率wr和谐振峰值Mr例:当幅相特性例系统的幅相曲线如图所试，求传递函数。由曲线形状有由起点：由j(w0)：由|G(w0)|：10/31/2022幅相特性例系统的幅相曲线如图所试，求传递函数。由曲线形状有(8)二阶微分环节10/31/2022(8)二阶微分环节10/23/2022一、典型环节二、典型环节的频率特性三、开环幅相曲线绘制四、开环对数频率特性曲线五、时滞环节和时滞系统六、传递函数的频域实验确定5.3开环系统频率响应10/31/2022一、典型环节5.3开环系统频率响应10/23/2022一、典型环节比例环节积分环节微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节时滞环节1.典型环节10/31/2022一、典型环节比例环节1.典型环节10/23/20222.开环系统的典型环节的分解已知控制系统的开环传递函数为则系统开环频率特性为10/31/20222.开环系统的典型环节的分解已知控制系统的开环传递函数为则系系统开环幅频特性和开环相频特性为:系统开环对数幅频特性为:10/31/2022系统开环幅频特性和开环相频特性为:系统开环对数幅频特性为:1二、典型环节的频率特性1.比例环节的对数频率特性曲线10/31/2022二、典型环节的频率特性1.比例环节的对数频率特性曲线10/20.10.21210201000db20db40db-20db-40dbL(ω)ω[-20]积分环节L(ω)10/31/20220.10.21210201000db20db40db-20d0.10.21210201000db20db40db-20db-40dbL(ω)ω[+20]微分环节L(ω)10/31/20220.10.21210201000db20db40db-20d惯性环节的对数频率特性

斜率为:-20dB/dec10/31/2022惯性环节的对数频率特性斜率为:-20dB/dec10/23渐近线渐近线精确曲线AsymptoteAsymptoteCornerfrequencyExactcurve精确曲线Exactcurve图5-14惯性环节的对数频率特性[渐近线精确曲线]惯性环节的对数频率特性

10/31/2022渐近线渐近线精确曲线AsymptoteAsympto图5-13惯性环节的误差曲线10-1100101-3-2.5-2-1.5-1-0.50惯性环节的对数频率特性

10/31/2022图5-13惯性环节的误差曲线10-1100101-3-210/31/202210/23/202210/31/202210/23/202210/31/202210/23/2022振荡环节G(jω)对数频率特性曲线

斜率为:-40dB/dec10/31/2022振荡环节G(jω)对数频率特性曲线斜率为:-40dB/de振荡环节G(jω)对数频率特性曲线10/31/2022振荡环节G(jω)对数频率特性曲线10/23/2022图5-17振荡环节的对数幅频特性曲线

幅频特性与

关系10/31/2022图5-17振荡环节的对数幅频特性曲线幅频特性与图5-18振荡环节的对数相频特性曲线

相频特性与关系10/31/2022图5-18振荡环节的对数相频特性曲线相频特性与关系10幅值误差与关系10/31/2022幅值误差与关系10/23/2022相频特性与关系10/31/2022相频特性与关系10/23/2022图5-16振荡环节的误差曲线幅值误差与关系10/31/2022图5-16振荡环节的误差曲线幅值误差与关系10/23/0Re[G(jω)]Im[G(jω)]1ABA:B:振荡环节G(jω)10/31/20220Re[G(jω)]Im[G(jω)]1ABA:B:振荡环节三、开环幅相曲线绘制绘制开环系统幅相曲线应注意的三点：开环系统幅相曲线的起点（）和终点（）。开环幅相曲线与实轴的交点。开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）。10/31/2022三、开环幅相曲线绘制绘制开环系统幅相曲线应注意的三点：10/开环幅相曲线与实轴的交点设时,开环幅相曲线与实轴相交,则或称为穿越频率,而开环频率特性曲线与实轴交点的坐标值为10/31/2022开环幅相曲线与实轴的交点设时,开环幅相曲线与实例题：绘制的幅相曲线。解：求交点：10/31/2022例题：绘制的幅相曲线。解0-25Im[G(jω)]Re[G(jω)]曲线如图所示：开环幅相曲线的绘制10/31/20220-25Im[G(jω)]Re[G(jω)]曲线如图所示：开

极坐标图的一般形状0型系统：极坐标图的起点是一个位于正实轴的有限值

极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的曲线与一个坐标轴相切。10/31/2022极坐标图的一般形状0型系统：极坐标图的起点是一个位于正实

极坐标图的一般形状Ⅰ型系统：的相角是极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段幅值为零，且曲线收敛于原点，且曲线与一个坐标轴相切。在总的相角中项产生的n＞m10/31/2022极坐标图的一般形状Ⅰ型系统：的相角是极坐标是一条渐近于平在总相角中的相角是由项产生的Ⅱ型系统：高频区域内的极坐标图

如果的分母多项式阶次高于分子多项式阶次，那么的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点时，轨迹将与实轴或虚轴相切当10/31/2022在总相角中的相角是由项产生的Ⅱ型系统：高频区域内的极坐标图四、开环对数频率特性曲线方法将开环系统传递函数按典型环节分解。确定各典型环节的交接频率,将各交接频率标注在半对数坐标图的ω轴上。绘制低频段渐近特性线；开环系统幅频渐近特性的斜率为:绘制频段渐近特性线；系统开环对数幅频特性曲线表现为分段折线。10/31/2022四、开环对数频率特性曲线方法10/23/2022绘制开环系统的伯德图步骤如下

12写出开环频率特性表达式，将所含各因子的转折频率由小到大依次标在频率轴上。绘制开环对数幅频曲线的渐近线。43作出以分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按典型因子的误差曲线对相应的分段直线进行修正。作相频特性曲线。根据表达式，在低频中频和高频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线。10/31/2022绘制开环系统的伯德图步骤如下12写出开环频率特性表达式，将低频段的斜率为在每遇到一个转折频率，就改变一次分段直线的斜率

因子的转折频率，当时，

分段直线斜率的变化量为

因子的转折频率，当分段直线斜率的变化量为时，处，高频渐近线，其斜率为n为极点数，m为零点数

开环对数幅频曲线的渐近线10/31/2022低频段的斜率为在每遇到一个转折频率，就改变一次分段直线的斜率例题：绘制的对数曲线。解：对数幅频：低频段：20/s 转折频率：1510 斜率：-400-40修正值：开环对数曲线的绘制10/31/2022例题：绘制对数相频：相频特性的画法为：起点，终点，转折点。环节角度：10/31/2022对数相频：相频特性的画法为：起点，终点，转折点。环节角度：11101000db20db40db-20db--40dbL(ω)ω5-90-180对数幅频：低频段：20/s 转折频率：1510 斜率：-400-40修正值：

-114.7-93.7-137.510/31/20221101000db20db40db-20db--40dbL(10/31/202210/23/2022最小相位系统与非最小相位系统最小相位传递函数非最小相位传递函数在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数最小相位系统非最小相位系统具有最小相位传递函数的系统具有非最小相位传递函数的系统请看例子10/31/2022最小相位系统与非最小相位系统最小相位传递函数非最小相位传递函对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定。对于非最小相位系统则不是这种情况。

最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图10/31/2022对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定非最小相位系统

最小相位系统

的相角特性

相同的幅值特性和10/31/2022非最小相位系统最小相位系统的相角特性相同的幅值特性和1在具有相同幅值特性的系统中，最小相位传递函数（系统）的相角范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范围，都大于最小相位传递函数的相角范围

最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应关系。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定。这个结论对于非最小相位系统不成立。

反之亦然10/31/2022在具有相同幅值特性的系统中，最小相位传递函数（系统）的相角范五、时滞环节和时滞系统两者存在本质的差别低频时传递延迟与一阶环节的特性相似

当时当时10/31/2022五、时滞环节和时滞系统两者存在本质的差别低频时传递延迟与一阶确定系统积分或微分环节的个数。确定系统传递函数结构形式。将实验曲线用渐近线近似为折线。由给定条件确定传递函数参数。六、传递函数的频域实验确定10/31/2022确定系统积分或微分环节的个数。六、传递函数的频域实验确定10例910/31/2022例910/23/20225.5Nquist稳定判据一、Nyquist稳定判据二、对数频率稳定判据10/31/20225.5Nquist稳定判据一、Nyquist稳定判据10闭环传递函数为闭环系统特征方程为一、Nyquist稳定判据10/31/2022闭环传递函数为闭环系统特征方程为一、Nyquist稳定判据1闭环系统稳定的充分必要条件是其特征方程的全部特征根位于S平面的左半平面。Nquist稳定判据是通过闭环系统的开环频率特性G(jw)H(jw)与闭环特征方程的根在S平面上的分布之间的联系，由开环频率特性G(jw)H(jw)判别闭环系统稳定性的一种准则。10/31/2022闭环系统稳定的充分必要条件是其特征方程的全部特征根位于S平面1、奈氏判据的数学基础1)幅角原理设F(s)为S的有理函数，则对于S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在平面上必存在一条封闭曲线与之对应。平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围原点的次数和方向与系统的稳定性联系起来。10/31/20221、奈氏判据的数学基础1)幅角原理设F(s)为S的有理函数，其特征方程为：例如：考虑下列开环传递函数：函数在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每一个解析点，平面上必有一点与之对应。10/31/2022其特征方程为：例如：考虑下列开环传递函数：函数则为：例如这样，对于s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在平面上就必有一个封闭曲线与之对应。10/31/2022则为：例如这样，对于s平面上给定的连

s平面上的图形在平面上的变换上半s平面内的直线和在平面上的变换10/31/2022s平面上的图形在平面上的变换上半00当s平面上的图形包围两个的极点时，的轨迹将反时针方向包围平面上原点两次10/31/202200当s平面上的图形包围两个的极点时，的轨迹将反时针方向包围ABFEDCA1B1F1E1D1C1当s平面上的图形包围的两个极点和两个零点，的轨迹将不包围原点相应的10/31/2022ABFEDCA1B1F1E1D1C1当s平面上的图形包围的两00如果这个曲线只包围一个零点，相应的轨迹将顺时针包围原点一次，的封闭曲线既不包围零点又不包围极点，的轨迹将永远不会包围平面上的原点10/31/202200如果这个曲线只包围一个零点，相应如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，即包围的零点数与极点数相同，则在平面上，相应的封闭曲线不包围平面上的原点。上述讨论是幅角原理的图解说明。奈奎斯特稳定判据正是建立在幅角原理的基础上。10/31/2022如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1幅角原理设s平面上闭合曲线包围的Z个零点和P个极点,当s沿顺时针运动一周时,在平面上的映射闭合曲线按顺时针包围原点的次数为N>0表示封闭曲线顺时针包围平面原点N次。N<0表示封闭曲线逆时针包围平面原点N次R=0表示表示封闭曲线不包围平面的原点。10/31/2022幅角原理设s平面上闭合曲线包围的Z个零点和P个2、Nyquist稳定判据1).辅助函数：闭环传递函数为开环传递函数为闭环系统特征多项式D(s)—辅助函数F(s）10/31/20222、Nyquist稳定判据1).辅助函数：开环传递函数为闭环Φ(S)零点极点相同F(S)零点极点相同G(s)H(s)零点极点10/31/2022Φ(S)零点极点相同F(S)零点极点相同G(s)H(s)零点jw(3)(1)(2)0[s]s10/31/2022jw(3)(1)(2)0[s]s10/23/2022(1)(2)r=0(3)ImRes[F(s)]10/31/2022(1)(2)r=0(3)ImRes[F(s)]10/23/(1,j0)ReIm[F(S)]10/31/2022(1,j0)ReIm[F(S)]10/23/2022.(-1,j0)[GH]10/31/2022.(-1,j0)[GH]10/23/202210/31/202210/23/202210/31/202210/23/2022图5-37s平面内的封闭曲线曲线对原点的包围，恰等于轨迹对-1+j0点的包围10/31/2022图5-37s平面内的封闭曲线曲线对原点的包围，恰等于轨迹对这一判据可表示为：函数在右半s平面内的零点数对-1+j0点顺时针包围的次数如果P不等于零，对于稳定的控制系统，必须或，这意味着必须反时针方向包围-1+j0点P次。关于奈奎斯特稳定判据的几点说明式中函数在右半s平面内的极点数如果函数在右半s平面内无任何极点，则因此，为了保证系统稳定，的轨迹必须不包围-1+j0点。10/31/2022这一判据可表示为：函数在右半s平面内的零点数对-1+j0点顺含有位于上极点和/或零点的特殊情况变量沿着轴从运动到）的半圆运动，再沿着正轴从运动到（，从到，变量沿着半径为10/31/2022含有位于上极点和/或零点的特殊情况变量沿着轴从运动到）的半圆对于包含因子的开环传递函数，当变量s沿半径为()的半圆运动时，的图形中将有个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。例如，考虑开环传递函数：当s平面上的时，的相角10/31/2022对于包含因子的开环传递函数，当变量s沿半径为()的半圆运动时在右半s平面内没有极点，并且对所有的正K