表面电子态的分类概述(课件)

本节课主要内容凝胶模型近自由电子近似紧束缚近似镜像态实例1：贵金属表面态实例2：半导体表面态实例3：拓扑绝缘体表面态实例4：高温超导体表面态本节课主要内容凝胶模型表面电子态的分类表面电子态的分类表面态的发现者NobelPrizeforPhysicsin1958,forthe1937workunravelingthesciencebehindtheblueglowofradioactivematerialimmersedinliquid,calledtheCherenkoveffect.In1932,hepredictedwhatarenowcalledsurfacestatesorTammstates.

HeisalsofamousforhisworkontheSovietUnion'shydrogenbombproject.IgorY.Tamm(1895-1971)

表面态的发现者NobelPrizeforPhysics1.凝胶模型Thejelliummodel,inwhichthevalanceelectronsareininteractionwiththeirownaveragechargeandwithanionicchargeuniformlyspreadinhalfthespace,equilibratingtheelectronicdensityand,thus,arefree.Itappliestonormalmetals.M.C.DesjonqùeresandD.Spanjaard,ConceptsinSurfacePhysics,Springer-Verlag,1996.1.凝胶模型Thejelliummodel,inw一维无限深势阱zAssumingthewavefunctioninthewellcanbe:Withtheboundaryconditions:Then,thenormalizedwavefunctionis:where,p=1,2,3…ThedensityofkstatesisthusL/π一维无限深势阱zAssumingthewavefunc无边界情况Forinfiniteonedimensionalelectrongas,theBorn-VonKarmanboundaryconditionis:Thecorrespondingwavefunctionsare:wheren=0,1,2,3……ThedensityofkstatesisthusL/2π长度为L的一维电子气（周期性边界条件）无边界情况Forinfiniteonedimensio可填充电子数vs

费米波矢无边界的一维电子气：一维无限深势阱：LLForagivenkF,welooseonestateatthebottomofthebandonmakingtwosurfaces.可填充电子数vs费米波矢无边界的一维电子气：一维无限深势有边界情况下的电子密度（一维无限深势阱）Atthecontinuumlimit,N,L,but2N/Lremainsconstantandequaltothehomogeneousbulkelectrondensityρ0-:Ifweintegrateρ-(z)-

ρ0-fromz=0toz=,wefind:

Wehave:Wavefunction：Forz<<L:z有边界情况下的电子密度（一维无限深势阱）Atthecon拓展到三维情况Assumingtheelectronsareboundedinz-directionbyimpenetrablepotentialatz=0andz=L,andfreetomoveinxy-direction:Thecorrespondingnormalizedwavefunctionis:有表面存在情况下的动量空间拓展到三维情况Assumingtheelectrons表面处的电子密度体电子密度Friedeloscillations~z-2whenzislarge:表面处的电子密度体电子密度Friedeloscillati一维有限深势阱z>>0z<0Where:Phaseshift一维有限深势阱z>>0z<0Where:Phaseshif当前模型的局限没有考虑电子间的交换关联作用。忽略了原子核的周期性分布。非自洽的计算：势场应该从波函数得到。当前模型的局限没有考虑电子间的交换关联作用。更精确的方法：DFT-LDAVes(r)更精确的方法：DFT-LDAVes(r)RemarksThejelliummodeldescriptionofametalsurfaceneglectsthedetailsoftheelectron-ioninteractionandemphasizesthenatureofthesmoothsurfacebarrier.Thenearlyfreeelectronmodelemphasizesthelatticeaspectsoftheproblemandsimplifiestheformofthesurfacebarrier.RemarksThejelliummodeldescr2.近自由电子模型Thenearlyfreeelectronmodel,whichisvalidwhenthelatticepotentialisweak.Consequently,thispotentialistreatedasaperturbation,theunperturbedstatesbeingfreeelectronplanewaves.Thismodelcandescribetheelectronicstructureofnormalmetalsandsomenarrow-gapsemiconductors.M.C.DesjonqùeresandD.Spanjaard,ConceptsinSurfacePhysics,Springer-Verlag,1996.2.近自由电子模型Thenearlyfreeelec布洛赫定理布洛赫定理一维能带理论设：e=ħ=m=1a/20一维能带理论设：e=ħ=m=1a/20在体内(z<a/2)，该方程可以利用简并微扰法求解:将上述试解代入薛定谔方程可得:能量本征值：波函数：where:在体内(z<a/2)，该方程可以利用简并微扰法求解:将上述试能量色散关系E(ĸ2)能隙0能量色散关系E(ĸ2)能隙0Inthebulk,khastoberealduetotheperiodicboundaryconditions.However,theterminationofacrystal,i.e.theformationofasurface,obviouslycausesdeviationfromperfectperiodicity.Therefore,kcanbetakenascomplexnumber.Inthebulk,khastoberz<a/2z>a/2where:当k为虚数时，薛定谔方程存在下列形式解：

根据表面处的波函数连续性，可以唯一确定k的取值。该k值对应的电子态能量位于体能隙之中，其波函数局域在表面附近，在表面外和体内都呈衰减行为。该电子态被称作表面态。z<a/2z>a/2where:当k为虚数时，薛定谔方程存在波函数在表面处的连续性Vg<0Vg>0ShockleystateE123ThecurvatureofΨkcanmatchthedecayingvacuumsolutiononlyforVg>0波函数在表面处的连续性Vg<0Vg>0Shockleyst近自由电子模型的使用范围Assumingthatthevalenceelectronsarecompletelydelocalizedwhenthesolidisformed（metal）.Theperturbationofthelatticepotentialisweak（narrow-bandsemiconductor）.近自由电子模型的使用范围Assumingthatthe3.紧束缚近似模型Thetight-bindingapproximationusingwavefunctionswrittenaslinearcombinationsofatomicorbitalscenteredateachlatticesite.Thisapproximationappliestofairlylocalizedelectrons.Itissuccessfulinthetreatmentoftransitionmetalsandalsoforwide-bandgapsemiconductorsandinsulators.3.紧束缚近似模型Thetight-bindingap物理图像Thispicture,itiseasytocomprehendthattheexistenceofasurfacewillgiverisetosurfacestateswithenergiesdifferentfromtheenergiesofthebulkstates.Sincetheatomsresidinginthetopmostsurfacelayeraremissingtheirbondingpartnersononesidetheirorbitalshavelessoverlapwiththeorbitalsofneighboringatoms.Thesplittingandshiftingofenergylevelsoftheatomsformingthecrystalisthereforesmalleratthesurfacethaninthebulk.物理图像Thispicture,itiseasyt一维线性链模型……..1N2356aaaa体系的周期性势场为VL(r)为各格点原子势场Va(r-na)之和：考虑由N个原子组成的线性链，原子间距为a：其中孤立原子的薛定谔方程为：原子能级原子束缚态一维线性链模型……..1N2356aaaa体系的周期性势场为则一维线性链体系的薛定谔方程为：微扰根据简并微扰方法，线性链共有化电子的波函数可以写为：将上式代入体系的薛定谔方程，并只考虑最近邻格点的交叠积分：α:on-sitematrixelementβ:nearestneighborhoppingmatrixelement则一维线性链体系的薛定谔方程为：微扰根据简并微扰方法，线性链可以得到关于展开系数cn的齐次方程：可以证明，该方程有下列简单形式的解：A,B为任意常数将cn的解代入上述cn的齐次方程可得：在没有表面的情况下，根据周期性边界条件：可以得知，k为简约波矢，在第一布里渊区内共有N个值，密度为Na/2π可以得到关于展开系数cn的齐次方程：可以证明，该方程有下列简在有表面存在的情况下，展开系数cn在表面处应满足：n=1n=N考虑到表面处的on-sitematrixelement可能与体内不同：所以有如下关于cn的齐次方程组：n=1n=N1<n<N在有表面存在的情况下，展开系数cn在表面处应满足：n=1n=上述齐次方程组有非零解的条件是cn的系数矩阵的行列式为0由此可得到关于E的一个超越方程，共有N个解，大多数解对应的波函数在链中每个原子上有差不多的强度，

其中有两个解不同于体态值，其对应的波函数在表面上有很大的强度，而在体内原子上的强度很小，这便对应于表面态，一般称作Tammstate。但是如果：n=1n=N1<n<N上述齐次方程组有非零解的条件是cn的系数矩阵的行列式为0由此例子：三原子线性链123aa

由于on-sitematrixelementα只引起能级的整体移动，所以我们这里忽略α，并把E0作为能级原点，则有：关于cn的齐次方程组可以简化为：例子：三原子线性链123aa由于on-sitema由cn的系数矩阵的行列式为0，可得：从而得到能量本征值E：对应的本征波函数为：可见，Ψ

2（r）只在表面处原子上有分布，对应于表面态Surfacestate由cn的系数矩阵的行列式为0，可得：从而得到能量本征值E：对镜像态-强关联效应前面的模型都假设电子-电子相互作用比较弱，或者不考虑电子-电子相互作用。如果电子-电子相互作用较强，将出现一种新的表面态：镜像态。不同于一般的表面态，镜像态往体内迅速衰减，而在表面外可以延伸很长的距离。镜像态-强关联效应前面的模型都假设电子-电子相互作用比较弱，镜像势StronglycorrelatedinteractionEn=-0.85eV/(n+a)2,n=1,2,...类似于氢原子的能级金属电子对表面外电荷的屏蔽效应镜像势StronglycorrelatedinteracCu(100)和Cu(111)表面的镜像态Non-resonantResonantCu(100)和Cu(111)表面的镜像态Non-reson金属/绝缘体界面的镜像态ProgressinSurfaceScience

80(2005)49–91两个界面都有镜像态！金属/绝缘体界面的镜像态ProgressinSurfac表面电子态的分类概述(课件)2PPE测得的Cu(100)表面的镜像态ProgressinSurfaceScience

80(2005)49–912PPE测得的Cu(100)表面的镜像态ProgressSTMz(V)spectroscopyn=1n=2n=3n=4n=5n=6利用STM探测表面的镜像态3456789-120-115-110-105-100-95

Cu(100)rel.Tipheight(A)samplebias(V)STMz(V)spectroscopyn=1n=2n=3休息15分钟休息15分钟实例1：贵金属表面态实例1：贵金属表面态Ag(111)表面在费米面附近存在能隙，而其他表面不存在能隙Ag各个表面的能带结构Ag(111)表面在费米面附近存在能隙，而其他表面不存在能隙各种贵金属的（111）面各种贵金属的（111）面Au(111)表面态的测量ARPESSTMdI/dVspectroscopyConstantdensityofstates(2D)自旋轨道耦合Au(111)表面态的测量ARPESSTMdI/dVs表面驻波StandingwavesonAg(111)surface局域态密度：表面驻波StandingwavesonAg(111)表面态电子被台阶的散射kxkyk1ik1sk2ik2s0台阶等能面E’M.F.Crommieetal.,Science

363,524(1993)局域态密度：表面态电子被台阶的散射kxkyk1ik1sk2ik2s0台阶表面态的能量色散Y.HasegawaandPh.Avouris,Phys.Rev.Lett.

71,1071(1993)表面态的能量色散Y.HasegawaandPh.AvQuantumcorralsFeadatomsonCu(111)1993-IBM'sQuantumCorralQuantumcorralsFeadatomsonCOtherarrangementsofironatomsoncoppersubstrates.Notethatonlytheperfectcircleshowsthestandingwaveofelectrons.Otherarrangementsofironato表面态的应用1:原子超晶格F.Sillyetal.,Phys.Rev.Lett.

92,016101(2004)表面态的应用1:原子超晶格F.Sillyetal.,表面态的应用2：Moleculargraphene人工石墨晶格：COonCu(111)COK.K.Gomesetal.,Nature

483,306(2012)表面态的应用2：Moleculargraphene人工石墨表面态的应用2：moleculargraphene表面态的应用2：moleculargraphene实例2：半导体表面态实例2：半导体表面态Thereisanaturalquasi-chemicalviewofthecreationofasurface,asprocessaccompaniedbybreakingofinteratomicbonds,whichcanbediscussedintheframeworkofthetight-bindingapproach.半导体表面态可以由紧束缚近似很好的描述Thereisanaturalquasi-chemiPrincipleofsemiconductorsurfacereconstructionBasicprinciple:thesurfacestructureobservedwillbethelowestfree-energystructurekineticallyaccessibleunderthepreparationconditions.Principle1:Asurfacetendstominimizethenumberofdanglingbondsbyformationofnewbonds.Theremainingdanglingbondstendtosaturated.Principle2:Asurfacetendstocompensatecharges.Principle3:Asemiconductorsurfacetendstobeinsulating(orsemi-conducting).Principleofsemiconductorsursp3杂化s,p轨道杂化sp3杂化s,p轨道杂化表面的断键(111)(100)IllustrationofbondcuttingduringsurfaceformationDanglingbondbackbond表面的断键(111)(100)IllustrationofSi(111)和Si(100)的表面态Si(111)和Si(100)的表面态Si(100)的表面杂化Si(100)的表面杂化Si(100)表面的二聚体重构（2x1）Fourdegenerateddanglingbonds*Dimer-bondformation:andanti-levels降低系统的总能量！Si(100)表面的二聚体重构（2x1）Fourdegen二聚体的buckling*DBdownDBupFurtherseparationofDBlevelsbydimerbuckling*Splittingofdanglingbond(DB)levelsby-*interaction*二聚体的buckling*DBdownDBupFurSi(100)-c(4x2)STM形貌图占据态空态STS隧道谱T.Yokoyamaetal.,Phys.Rev.B

61,R5078(2000)π*state色散Si(100)-c(4x2)STM形貌图占据态空态STS隧实例3：拓扑绝缘体表面态实例3：拓扑绝缘体表面态拓扑表面态的形成拓扑表面态的形成表面电子态的分类概述(课件)表面电子态的分类概述(课件)表面电子态的分类概述(课件)表面电子态的分类概述(课件)表面电子态的分类概述(课件)T.Zhangetal.,PRL103,266803(2009)T.Zhangetal.,PRL103,2668实例4：高温超导体表面态实例4：高温超导体表面态Bi2212的晶体结构和电子结构REVIEWSOFMODERNPHYSICS

79,353(2007)超导能隙单晶层状结构Bi2212的晶体结构和电子结构REVIEWSOFMOD动量空间中的准粒子弹性散射超导能隙中的等能面动量空间中的散射矢量分布K.McElroy

etal.,Nature

422,592(2003)弹性散射动量空间中的准粒子弹性散射超导能隙中的等能面动量空间中的散射解理后的BiO表面STM形貌图局域态密度图（准粒子干涉条纹）K.McElroy

etal.,Nature

422,592(2003)解理后的BiO表面STM形貌图局域态密度图（准粒子干涉条纹局域态密度图的傅里叶变换K.McElroy

etal.,Nature

422,592(2003)局域态密度图的傅里叶变换K.McElroyetal.,能量色散和等能面K.McElroy

etal.,Nature

422,592(2003)色散关系等能面能量色散和等能面K.McElroyetal.,Nat本节课小结凝胶模型近自由电子近似紧束缚近似镜像态实例1：贵金属表面态实例2：半导体表面态实例3：拓扑绝缘体表面态实例4：高温超导体表面态本节课小结凝胶模型参考书：M.C.DesjonqùeresandD.Spanjaard,ConceptsinSurfacePhysics,Springer-Verlag,1996.（第5章）Zangwill,PhysicsatSurfaces,Cambridge,1998(第2章)参考书：1.从以往的选文看，高考虽说回避社会的焦点和热点问题，但倡导并弘扬真善美是永恒的时代主题，结合当前反腐倡廉和社会舆论看，对忠臣廉吏的价值判断依然会影响高考文言文的选文。2.可以根据上句或下句推导提醒。内容提示的默写，可先在头脑中默背有关内容，选取与提示相对应的内容默写。如果默写的内容印象不深，可先记得几个字默写几个字，暂时放过，后面记起来了再默写。3.一般而言，课外文言文阅读文段都会给出标题。同学们要留意并仔细分析文段的标题。因为大部分标题本身就概括了文言文的主要内容。理解题目可以帮助自己理解材料的内容，从而正确答题。4.课外文言文阅读问题设计有三种类型即词语解释题、句子翻译题和内容理解题。对于不同的题目则采用不同的解题方法.5.首先，能够读懂文章，理清文章的思路，把握文章层次之间的关系，并且能够概括出文章各个层次的含义。其次，能够抓住文章的关键语句，概括文章的要点，把握文章的主旨。在答题之前我们要结合注释，疏通文意，读懂语段。6.赫鲁晓夫因退一步成就了自己，卡耐基因退一步获得友谊，由此可见，退一步不但给他人留下一片天地，同时也给自己留下了更宽阔的天地。退一步不仅表现了对他人一份爱，更表现了自己对自己的爱，这种爱已经超出了人与人的界限，于社会每一个角落中显示着它的力量。7.阳光总在风雨后，不管失败还是痛苦，我们如果能快乐地笑一笑，高歌生活多么好，蓝天白云多么美，那我们就会获得微笑的幸福，甚至能拥有金灿灿的硕果。朋友，为了生活更加美好，快快亮出你的笑容吧！8.社会性是人的本质属性。社会参与，重在强调能处理好自我与社会的关系，养成现代公民所必须遵守和履行的道德准则和行为规范，增强社会责任感，提升创新精神和实践能力，促进个人价值实现，推动社会发展进步，发展成为有理想信念、敢于担当的人。1、乐学善学重点是能正确认识和理解学习的价值，具有积极的学习态度和浓厚的学习兴趣;能养成良好的学习习惯，掌握适合自身的学习方法;能自主学习，具有终身学习的意识和能力等。1.从以往的选文看，高考虽说回避社会的焦点和热点问题，但倡导本节课主要内容凝胶模型近自由电子近似紧束缚近似镜像态实例1：贵金属表面态实例2：半导体表面态实例3：拓扑绝缘体表面态实例4：高温超导体表面态本节课主要内容凝胶模型表面电子态的分类表面电子态的分类表面态的发现者NobelPrizeforPhysicsin1958,forthe1937workunravelingthesciencebehindtheblueglowofradioactivematerialimmersedinliquid,calledtheCherenkoveffect.In1932,hepredictedwhatarenowcalledsurfacestatesorTammstates.

HeisalsofamousforhisworkontheSovietUnion'shydrogenbombproject.IgorY.Tamm(1895-1971)

表面态的发现者NobelPrizeforPhysics1.凝胶模型Thejelliummodel,inwhichthevalanceelectronsareininteractionwiththeirownaveragechargeandwithanionicchargeuniformlyspreadinhalfthespace,equilibratingtheelectronicdensityand,thus,arefree.Itappliestonormalmetals.M.C.DesjonqùeresandD.Spanjaard,ConceptsinSurfacePhysics,Springer-Verlag,1996.1.凝胶模型Thejelliummodel,inw一维无限深势阱zAssumingthewavefunctioninthewellcanbe:Withtheboundaryconditions:Then,thenormalizedwavefunctionis:where,p=1,2,3…ThedensityofkstatesisthusL/π一维无限深势阱zAssumingthewavefunc无边界情况Forinfiniteonedimensionalelectrongas,theBorn-VonKarmanboundaryconditionis:Thecorrespondingwavefunctionsare:wheren=0,1,2,3……ThedensityofkstatesisthusL/2π长度为L的一维电子气（周期性边界条件）无边界情况Forinfiniteonedimensio可填充电子数vs

费米波矢无边界的一维电子气：一维无限深势阱：LLForagivenkF,welooseonestateatthebottomofthebandonmakingtwosurfaces.可填充电子数vs费米波矢无边界的一维电子气：一维无限深势有边界情况下的电子密度（一维无限深势阱）Atthecontinuumlimit,N,L,but2N/Lremainsconstantandequaltothehomogeneousbulkelectrondensityρ0-:Ifweintegrateρ-(z)-

ρ0-fromz=0toz=,wefind:

Wehave:Wavefunction：Forz<<L:z有边界情况下的电子密度（一维无限深势阱）Atthecon拓展到三维情况Assumingtheelectronsareboundedinz-directionbyimpenetrablepotentialatz=0andz=L,andfreetomoveinxy-direction:Thecorrespondingnormalizedwavefunctionis:有表面存在情况下的动量空间拓展到三维情况Assumingtheelectrons表面处的电子密度体电子密度Friedeloscillations~z-2whenzislarge:表面处的电子密度体电子密度Friedeloscillati一维有限深势阱z>>0z<0Where:Phaseshift一维有限深势阱z>>0z<0Where:Phaseshif当前模型的局限没有考虑电子间的交换关联作用。忽略了原子核的周期性分布。非自洽的计算：势场应该从波函数得到。当前模型的局限没有考虑电子间的交换关联作用。更精确的方法：DFT-LDAVes(r)更精确的方法：DFT-LDAVes(r)RemarksThejelliummodeldescriptionofametalsurfaceneglectsthedetailsoftheelectron-ioninteractionandemphasizesthenatureofthesmoothsurfacebarrier.Thenearlyfreeelectronmodelemphasizesthelatticeaspectsoftheproblemandsimplifiestheformofthesurfacebarrier.RemarksThejelliummodeldescr2.近自由电子模型Thenearlyfreeelectronmodel,whichisvalidwhenthelatticepotentialisweak.Consequently,thispotentialistreatedasaperturbation,theunperturbedstatesbeingfreeelectronplanewaves.Thismodelcandescribetheelectronicstructureofnormalmetalsandsomenarrow-gapsemiconductors.M.C.DesjonqùeresandD.Spanjaard,ConceptsinSurfacePhysics,Springer-Verlag,1996.2.近自由电子模型Thenearlyfreeelec布洛赫定理布洛赫定理一维能带理论设：e=ħ=m=1a/20一维能带理论设：e=ħ=m=1a/20在体内(z<a/2)，该方程可以利用简并微扰法求解:将上述试解代入薛定谔方程可得:能量本征值：波函数：where:在体内(z<a/2)，该方程可以利用简并微扰法求解:将上述试能量色散关系E(ĸ2)能隙0能量色散关系E(ĸ2)能隙0Inthebulk,khastoberealduetotheperiodicboundaryconditions.However,theterminationofacrystal,i.e.theformationofasurface,obviouslycausesdeviationfromperfectperiodicity.Therefore,kcanbetakenascomplexnumber.Inthebulk,khastoberz<a/2z>a/2where:当k为虚数时，薛定谔方程存在下列形式解：

根据表面处的波函数连续性，可以唯一确定k的取值。该k值对应的电子态能量位于体能隙之中，其波函数局域在表面附近，在表面外和体内都呈衰减行为。该电子态被称作表面态。z<a/2z>a/2where:当k为虚数时，薛定谔方程存在波函数在表面处的连续性Vg<0Vg>0ShockleystateE123ThecurvatureofΨkcanmatchthedecayingvacuumsolutiononlyforVg>0波函数在表面处的连续性Vg<0Vg>0Shockleyst近自由电子模型的使用范围Assumingthatthevalenceelectronsarecompletelydelocalizedwhenthesolidisformed（metal）.Theperturbationofthelatticepotentialisweak（narrow-bandsemiconductor）.近自由电子模型的使用范围Assumingthatthe3.紧束缚近似模型Thetight-bindingapproximationusingwavefunctionswrittenaslinearcombinationsofatomicorbitalscenteredateachlatticesite.Thisapproximationappliestofairlylocalizedelectrons.Itissuccessfulinthetreatmentoftransitionmetalsandalsoforwide-bandgapsemiconductorsandinsulators.3.紧束缚近似模型Thetight-bindingap物理图像Thispicture,itiseasytocomprehendthattheexistenceofasurfacewillgiverisetosurfacestateswithenergiesdifferentfromtheenergiesofthebulkstates.Sincetheatomsresidinginthetopmostsurfacelayeraremissingtheirbondingpartnersononesidetheirorbitalshavelessoverlapwiththeorbitalsofneighboringatoms.Thesplittingandshiftingofenergylevelsoftheatomsformingthecrystalisthereforesmalleratthesurfacethaninthebulk.物理图像Thispicture,itiseasyt一维线性链模型……..1N2356aaaa体系的周期性势场为VL(r)为各格点原子势场Va(r-na)之和：考虑由N个原子组成的线性链，原子间距为a：其中孤立原子的薛定谔方程为：原子能级原子束缚态一维线性链模型……..1N2356aaaa体系的周期性势场为则一维线性链体系的薛定谔方程为：微扰根据简并微扰方法，线性链共有化电子的波函数可以写为：将上式代入体系的薛定谔方程，并只考虑最近邻格点的交叠积分：α:on-sitematrixelementβ:nearestneighborhoppingmatrixelement则一维线性链体系的薛定谔方程为：微扰根据简并微扰方法，线性链可以得到关于展开系数cn的齐次方程：可以证明，该方程有下列简单形式的解：A,B为任意常数将cn的解代入上述cn的齐次方程可得：在没有表面的情况下，根据周期性边界条件：可以得知，k为简约波矢，在第一布里渊区内共有N个值，密度为Na/2π可以得到关于展开系数cn的齐次方程：可以证明，该方程有下列简在有表面存在的情况下，展开系数cn在表面处应满足：n=1n=N考虑到表面处的on-sitematrixelement可能与体内不同：所以有如下关于cn的齐次方程组：n=1n=N1<n<N在有表面存在的情况下，展开系数cn在表面处应满足：n=1n=上述齐次方程组有非零解的条件是cn的系数矩阵的行列式为0由此可得到关于E的一个超越方程，共有N个解，大多数解对应的波函数在链中每个原子上有差不多的强度，

其中有两个解不同于体态值，其对应的波函数在表面上有很大的强度，而在体内原子上的强度很小，这便对应于表面态，一般称作Tammstate。但是如果：n=1n=N1<n<N上述齐次方程组有非零解的条件是cn的系数矩阵的行列式为0由此例子：三原子线性链123aa

由于on-sitematrixelementα只引起能级的整体移动，所以我们这里忽略α，并把E0作为能级原点，则有：关于cn的齐次方程组可以简化为：例子：三原子线性链123aa由于on-sitema由cn的系数矩阵的行列式为0，可得：从而得到能量本征值E：对应的本征波函数为：可见，Ψ

2（r）只在表面处原子上有分布，对应于表面态Surfacestate由cn的系数矩阵的行列式为0，可得：从而得到能量本征值E：对镜像态-强关联效应前面的模型都假设电子-电子相互作用比较弱，或者不考虑电子-电子相互作用。如果电子-电子相互作用较强，将出现一种新的表面态：镜像态。不同于一般的表面态，镜像态往体内迅速衰减，而在表面外可以延伸很长的距离。镜像态-强关联效应前面的模型都假设电子-电子相互作用比较弱，镜像势StronglycorrelatedinteractionEn=-0.85eV/(n+a)2,n=1,2,...类似于氢原子的能级金属电子对表面外电荷的屏蔽效应镜像势StronglycorrelatedinteracCu(100)和Cu(111)表面的镜像态Non-resonantResonantCu(100)和Cu(111)表面的镜像态Non-reson金属/绝缘体界面的镜像态ProgressinSurfaceScience

80(2005)49–91两个界面都有镜像态！金属/绝缘体界面的镜像态ProgressinSurfac表面电子态的分类概述(课件)2PPE测得的Cu(100)表面的镜像态ProgressinSurfaceScience

80(2005)49–912PPE测得的Cu(100)表面的镜像态ProgressSTMz(V)spectroscopyn=1n=2n=3n=4n=5n=6利用STM探测表面的镜像态3456789-120-115-110-105-100-95

Cu(100)rel.Tipheight(A)samplebias(V)STMz(V)spectroscopyn=1n=2n=3休息15分钟休息15分钟实例1：贵金属表面态实例1：贵金属表面态Ag(111)表面在费米面附近存在能隙，而其他表面不存在能隙Ag各个表面的能带结构Ag(111)表面在费米面附近存在能隙，而其他表面不存在能隙各种贵金属的（111）面各种贵金属的（111）面Au(111)表面态的测量ARPESSTMdI/dVspectroscopyConstantdensityofstates(2D)自旋轨道耦合Au(111)表面态的测量ARPESSTMdI/dVs表面驻波StandingwavesonAg(111)surface局域态密度：表面驻波StandingwavesonAg(111)表面态电子被台阶的散射kxkyk1ik1sk2ik2s0台阶等能面E’M.F.Crommieetal.,Science

363,524(1993)局域态密度：表面态电子被台阶的散射kxkyk1ik1sk2ik2s0台阶表面态的能量色散Y.HasegawaandPh.Avouris,Phys.Rev.Lett.

71,1071(1993)表面态的能量色散Y.HasegawaandPh.AvQuantumcorralsFeadatomsonCu(111)1993-IBM'sQuantumCorralQuantumcorralsFeadatomsonCOtherarrangementsofironatomsoncoppersubstrates.Notethatonlytheperfectcircleshowsthestandingwaveofelectrons.Otherarrangementsofironato表面态的应用1:原子超晶格F.Sillyetal.,Phys.Rev.Lett.

92,016101(2004)表面态的应用1:原子超晶格F.Sillyetal.,表面态的应用2：Moleculargraphene人工石墨晶格：COonCu(111)COK.K.Gomesetal.,Nature

483,306(2012)表面态的应用2：Moleculargraphene人工石墨表面态的应用2：moleculargraphene表面态的应用2：moleculargraphene实例2：半导体表面态实例2：半导体表面态Thereisanaturalquasi-chemicalviewofthecreationofasurface,asprocessaccompaniedbybreakingofinteratomicbonds,whichcanbediscussedintheframeworkofthetight-bindingapproach.半导体表面态可以由紧束缚近似很好的描述Thereisanaturalquasi-chemiPrincipleofsemiconductorsurfacereconstructionBasicprinciple:thesurfacestructureobservedwillbethelowestfree-energystructurekineticallyaccessibleunderthepreparationconditions.Principle1:Asurfacetendstominimizethenumberofdanglingbondsbyformationofnewbonds.Theremainingdanglingbondstendtosaturated.Principle2:Asurfacetendstocompensatecharges.Principle3:Asemiconductorsurfacetendstobeinsulating(orsemi-conducting).Principleofsemiconductorsursp3杂化s,p轨道杂化sp3杂化s,p轨道杂化表面的断键(111)(100)IllustrationofbondcuttingduringsurfaceformationDanglingbondbackbond表面的断键(111)(100)IllustrationofSi(111)和Si(100)的表面态Si(111)和Si(100)的表面态Si(100)的表面杂化Si(100)的表面杂化Si(100)表面的二聚体重构（2x1）Fourdegenerateddanglingbonds*Dimer-bondformation:andanti-leve