考研-2004年全国入学统一考试数学一真题

年入学考试数学一.曲线y=lnx上与直线xy1垂直的切线方程 已知f(ex)xex，且f(1)=0,则 L

xdy2ydx值

2d2y4x

2y0(x0)的通解为 xdx x 设矩阵A 0，矩阵B满足ABA*2BA*E，其中A*为A的伴 矩阵，E是单位矩阵，则B 设随量X服从参数为的指数分布，则P{X DX 二、选择题（8432分.每小题给出的四个选项中，只有一x0时的无穷小量

cost2dt,

x tdt,x

sint3dt (A),, ,, (C),, ,, f(x)f(0)0,则存在0f(x)在（0，)内单调增加 （B）f(x)在(,0)内单调减少对任x(0,f(x)>f(0) 设an若limnan=0，则级数an收敛 （B）若存在非零常数，使得limnan，则级数an发散 若级数a收敛，则limn 0n

若级数an发散,则存在非零常数，使得limnan f(x)F(ttdytf(x)dxF(2) C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为1 1

111 111

0 (B)

1

0

0

0

A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关 设 量X服从正态分布N(0,1)，对给定的(01)，数u满P{XuPXxx u 2

u 2

2

u1 （14）设 量X1,X2,,Xn(n1)独立同分布，且其方差为20.Y1n

Xi

Cov(X1,Y)

Cov(X1,Y)n D(X

Y)n22 n

D(X

Y)n12 n（15（设eabe2,证明ln2bln2a16（

4(ba)以增，使飞机迅速并停下.飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（k6.0106).kg表示千克，km/h表示千米/小时（17（I2x3dydz2y3dzdx3(z2其中z1x2y2z0)的上侧18（xnnx10n为正整数.xn明当1时，级

收敛（19（z=z(x,y)x26xy10y22yzz2180zz(xy的极（20（ (1a)xx 2x(2a)x2x (nnx1nx2(na)xn（21（ 设矩阵A

A是否可

5(22)（本题满分9分A,BPA1P(BA)1PAB)1

Y 求：（I）二维随量(X,Y)的概率分布（II）XY的相关系数XY（23（ x1 F(x,) x

x的最大似然估计量 年数学一试题分析、详解.y=lnxxy1yx1【详解y(lnx)11x=1,可见切点为(1,0)xy01x1)，即yx1】本题也可先设切点为(x0lnx0，曲线y=lnx过此切点的导数为 x

1y01x1)，即yx1本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到1f(exxexf(1)=0,

(ln 【分析f(x的表达式，再积分即可【详解】令extxlntf(t)lnt， f(x)lnx f(x)lnxdx1(lnx)2C.利用初始条件f(1)=0,得C=0，故所求

1(lnx)22L

xdy2ydx值为32【详解x2y22xy

sin222222

:02于是

xdy2ydx20

2cos 2cos22sin

sin=22sin0

d

32 d2 欧拉方程x 4x 2 0(x0)的通解 2dx 【分析xet化为常系数线性齐次微分方【详解 令xet，则dydydtetdy1dy xd2y1dy1d2ydt d2ydxd2y

x2 xdt

x2

dt

] 3 2y0dt ycetce2tc1c2 x2d2ybxdxd2

cyf(x)

]b cyf(etdt 设矩阵A 0，矩阵B满足ABA*2BA*E，其中A*为A的伴 1矩阵，E是单位矩阵，则B 9

【详解AABA*A2BA*AA，而A3，于是有3AB6BA，即 (3A6E)BA，

3A6EB

A31而3A

27，故所求行列式为B 9【评注】先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵A*，一般均应先A*AAA*AE进行化简.设随量X服从参数为的指数分布，则P{X

DX 1e11【详解】由题设，知DX P{X DX}=P{X1}ex =

1e1e二、选择题（8432分.每小题给出的四个选项中，只有一x0时的无穷小量

cost2dt,

x tdt,x

sint3dt (A),, ,, (C),, ,, 【详解 lim

0 tdtlimtanx2x0，可排除(C),(D)x0

xcost0xsint

cosx1312sinx22

limx0

x

2xtan lim ，可见是比低阶的无穷小量，故应选4x0【评注,xn进行比较，再确定f(x)f(0)0,则存在0f(x)在（0，)内单调增加 （B）f(x)在(,0)内单调减少对任意的x(0,)有f(x)>f(0) (D)对任意的x(,0)有f(x)>f(0) 选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可【详解】由导数的定义，知f(0)limf(x)f(0)0 f(x)f(0)x 若limnan=0，则级数an收敛 （B）若存在非零常数，使得limnan，则级数an发散 若级数a收敛，则limn 0n

若级数an发散,则存在非零常数，使得limnan 【分析【详解】取a ，则limna=0，但a

发散，排除nln nln

nln又取

1，则级数a收敛，但limn ，排除(C),故应选nnn nnn

limnaliman0，而级数

na也发散，故应选n nn

f(x)F(ttdytf(x)dxF(2) 积函数中不含有变量t. F(t)1dyyf(x)dx=1[1f(x)dy]dx1f(x)(xF(tf(t)(t1)，从而有F(2)f(2)，故应选[b(x)f(t)dt]a(

f[b(x)]b(x)fC,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为1 1

111 111

0 (B)

1

0

0

0

个相应的初等矩阵，而Q即为此两个初等矩阵的乘积.【详解】由题设，

0B

1C

A

A

可见，应选

A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关 A是否有非零解进行分析.【1Amn矩阵，B为nsAB=Or(A)r(B)nA,Br(A)>0,r(B)>0.r(A)<nr(B)<n,A的列向量组线性相关，B在非零解，可见A的列向量组线性相关.关，故应选

】1）AB=Or(A)r(B)n设 量X服从正态分布N(0,1)，对给定的(01)，数u满足P{XuPXxx u 2

u 2

2

u1 11P{Xx}P{Xx}P{Xx}P{Xx}2P{X12即有P{Xx2

2o【评注uo(1)/2（14）设 量X1,X2,,Xn(n1)独立同分布，且其方差为20.Y1nXni1

i

Cov(X1,Y)

Cov(X1,Y)n D(X

Y)n22 n

D(X

Y)n12 An【分析】本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有：Cov(X1,Xi)0,i2,3,1 1【详解Cov(X1Y)CovX1nXinCovX1X1nCovX1Xi1

12n

【评注(C),(D)1nX1X

1X)(1n)22n1D(X1Y)n

n2 =

nn

2D(

Y)D(n1X1X

1X)(n1)22n11nn2

n

2n（15（设eabe2,证明ln2bln2a

4(ba)【1】对函数ln2x在[a,b]ln2bln2a2ln(ba),a设(t)lnt，则(t)1lnt tt>e时，(t)0,所以(t单调减少，从而()(e2，lnlne2， 故ln2bln2a

4(ba)【2】设(x)ln2x

(x)2lnx4 (x)21lnxxx>e(x)0,故(x单调减少，从而当exe2(x)(e2)4 即当exe2(x单调增加

0因此当exe2(b)(a ln2b4bln2a4a ln2bln2a

4(ba)【评注(x)ln2xln2a4(xaeaxe2(x)ln2bln2x4(bxexbe2，再用单调性进行证明即可16（以增，使飞机迅速并停下.飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k6.0106).问从着陆点算起，飞kg表示千克，km/h表示千米/小时【1】由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时的水平速度v0700kmh.从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).m kv.

v dx dxmdvm 积分得x(t

vk

由于v(0)v0x(0)0，故得Ckv0x(t)m

当v(t)0时，x(t)k

90007006.0【详解2】根据牛顿第二定律，得m kv, dvk k两端积分得通解vCem，代入初始条件

v0解得Cv0t v(t)

km k x

v(t)dt 0ek

0 k k k vem知x(t)

vemdt 0(e

x(t)m

0

0

md2xk【3d2xkdx

dt dt

0m其特征方程为2k0，解之得0,k xC1C2

km

k由t

0,

t

t

2em

t

v0

k

0,

x(t)mv0(1e

km当tx(tk

【评注t或v(t0的极限值，这种（17（I2x3dydz2y3dzdx3(z2其中z1x2y2z0)的上侧【详解1xoyx2y21所围部分的下侧，记为由与1围I2x3dydz2y3dzdx3(z22x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy6(x2y2 1r =60d0dr (zr1r=12[1(1r2)2r3(1r2)]dr21r0 2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy故I23

3dxdy3x2y218（xnnx10n为正整数.xn明当1时，级

收敛【证】记 fn(x)xnnx1.由fn(0)10，fn(1)n0，及连续函数的介值定理知，方程xnnx10存在正实数根xn(0,1).当x>0时，fn(x)nxn1n0，可见fn(x)[0,)上单调增加,故方程xnnx10xnxnnx10xn00

1 n

1，故当10

(1) n而正项级数收敛，所以当1时，级数xn收敛n （19（z=z(x,y)x26xy10y22yzz2180zz(xy的极【详解】因为x26xy10y22yzz2180 2x6y2yx2zx06x20y2z2yz2zz0 z令z

x3y得3x10yz x故zx26xy10y22yzz2180xy z

xyz由于22

2

0 62z2y2

2zz2z2

y 202z2z2y2z2(z

2z2

022

2121

，C

5 2AC2

0A10，从而点(9,3)z(x,y)的极小值点，极小值为622

6

，B

22

，C121

(

532AC2

0A10，从而点(-9,3)z(x,y)6（20（ (1a)xx 2x(2a)x2x (nnx1nx2(na)xn【分析

2

1 1 0A a a

n 时，x1x21(1,1,0,,0)T

xn2(1,0,1,,0)T,,n1(1,0,0,,1)Txk11kn1n1,其中k1kn1为任意常数.a0时，对矩阵B作初等行变换，有 1

n(n 0

a

B

1n(n1

1

可知a 23x1x3 1,2,n)T，xkk为任意常数111 122 2 nn nA (an(n1))an12A0a=0a

时，方程组有非零解

1 1 2 0A

n 0x1x21(1,1,0,,0)T

xn2(1,0,1,,0)T,,n1(1,0,0,,1)Txk11kn1n1,其中k1kn1为任意常数n(na

2

2

1 12 0A a n a1110 1 010000 1 00 11 3x1x3 1,2,n)T，xkk为任意常数An n

=na

122111112222 + ，矩阵nnn 1 1 1 1n

n(n

的特征值为0,,0, ，从而A 的特征值 nn nnna,a,an(n1),Aan(n （21（ 设矩阵A

A是否可

5【分析】先求出A的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A是否可相似对角化即可.【详解】AEA

1

1

3

0

(

3=(2)

(2)(2818当2是特征方程的二重根，则有2216183a0,解得a=- 当a=-2时，A的特征值为2,2,6,矩阵2E-A=

331，故2 若2不是特征方程的二重根，则28183a2解得a 333 33a

3