专题三：立体几何基本性质

高考中心模块四：立体几何

第一讲：平面的基本性质一：考点归纳1、 平面的概念平面是一个不加定义，只需要理解的最基本的原始概念.立体几何里所说的平面就是从生活中常见的平面抽象出来的，生活中的平面是比较平、且有限的，而立体几何中的平面是理想的、绝对的平且无限延展的.2、 几何中符号的规定：数学徊号表示数学语言表达Aea点A在直;线a上点4不在点线。上AGcr -点A在平两a内q任：a点人不在平面"内aUa直线a在平画a内直线。不在平面a内aC\b=A白:线a.b相交于点入crQjS—a平面a、/?相交于直攻。3、平面的基本性质公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点噩这个平面内.作用：既可判定直线是否在平面内、点是否在平面内，又可用直线检验平面。公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线作用：其一，它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；其二，它可以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。公理3:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面作用：作用一是确定平面，作用二可用其证明点、线共面问题。公理3有三个推论，它们是：推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面公理4:平行于同一直线的两条直线平行.作用：证明两条直线平行4、 异面直线异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（或既不相交，也不平行的两条直线叫做异面直线）关于异面直线的有关概念（1） 两条异面直线所成的角（或夹角）的定义:直线a、b是异面直线，经过空间一点0,分别引直线a/1|a,b||b/,相交直线a/，b/所成锐角（或直角），叫做异面直线a、b所成的角（2） 两条异面直线垂直的定义:如果两条异面直线所成角是直角，则称这两条异面直线互相垂直.5、 直线和平面平行的判定与性质定理判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.若a||b，a定a，bua；贝0a||a（即线线平行，则线面平行），性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.（即线面平行，则线线平行）用符号表示为；a||a，aup,anp=b，则a||b。（即“线面平行，则线线平行”）6、 直线和平面平行的判定与性质定理判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.定理的符号语言表示为：若aua，bua,anb=A,且a||p,b||p，则a||p.性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.定理的符号语言表示为：若a||p.anY=a，pnY=b，，则a||b.

oA/A博心. 高考中心Mini?skitanj? 推论：垂直与同一直线的两个平面平行.推论符号语言表示为：若a±a,a±p,则aIB.7、 直线和平面垂直定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直。记作L±a二个命题：命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。判定定理：直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂那么这条直线就垂直于这个平面；即推论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。即a||b,a±a,b±a性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.8、 平面与平面垂直二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；大小：一个平面垂直于二面角的棱，且与两个半平面的交线分别是两条射线，两条射线的夹角叫二面角的平面角；二面角的大小，就用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.范围为［0。，1800］当二面角的两个面重合时，规定二面角的大小为0。，当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为1800.若一个二面角的平面角是直角，就说这个二面角为直二面角.定义：若两个平面相交，如果它们所成的二面角的平面角是直角，就说这两个平面互相垂直。判定定理：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直。a±a，ap；性质定理：若两个平面垂直，则一个平面内的垂线与交线的直线垂直另一个平面。即，=b，ap，a二：典例归类例1、正方体ABCD一ABCD中，E为AB的中点，F为AA的中点.1111 1求证：(1)E、C、D「F四点共面；(2)CE、D1F?DA三条直线必过同一点牛刀小试1、已知ABC在平面a夕卜，ABca=P，ACca=R，BCca=Q，如图求证：P、Q、R及三点共线.2、如图，平面ABEF±平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，ZBAD=ZFAB=90°，BC〃AD，BE〃AF，且BC=AD，BE=AF.

节）盘藏~^二＞高考中心.Vfshitang 证明：C、D、F、E四点共面：例2、如图，长方体ABCD—ABCD中,1111与GF例2、如图，长方体ABCD—ABCD中,1111与GF所成的角是a <15A.arccos 5B.AA=AB=2,AD=11 ()C.arccos，点E、F、G分别是叫、”的中点,则异面直线A1E牛刀小试1、已知正四棱柱ABCD-1、已知正四棱柱ABCD-ABCD中，1111AA=2AB，E为AA中点则异面直线BE与CD】所成的角的余弦值为A.AZ B.L C./7T2、如图，已知三棱锥O—ABC的侧棱OA、OB、OCA.AZ B.L C./7T2、如图，已知三棱锥O—ABC的侧棱OA、OB、OC两两垂直，且OA=1，D.35

OB=OC=2,E是OC的中点.求异面直线BE与AC所成的角;3、如图，PA±平面ABC，ZACB=90°且PA=AC=BC=a.则异面直线PB与AC所成角的正切值等于例3、下列命题中正确的命题的个数为（）①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行;②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直;

月£• 高考中心shitane 过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面.A、0 B、1C、 2D、3例4、已知：如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PD中点求证：PB〃平面EACM是CD上异于C、D的点，连结PM交CE于G,连结BM，交AC于H求证：GH〃PB牛刀小试1、对于平面a和共面直线m,n，下列命题正确的是()A、若m||a，n||a，则m||n B、若mua，n||m，且n不包含于a，则n||aC、若mua，n||a，则m||n D、若m,n与a所成角相等，则m||n2、 若直线mua，则条件甲：直线L||a，是条件乙：L||m的()A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分不必要条件3、如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，点E是PD的中点.求证：PB//平面AEC;4、如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF〃-BC.证2明：FO〃平面CDE；5、如图，已知四棱锥P-ABCD中，E是PC上的中点，点G，A、P、G5、如图，已知四棱锥P-ABCD中，E是PC上的中点，点G，A、P、G确定的平面与平面DEB交于GH求证：PA||GH例6、如图，四棱锥P—ABCD中，AB±AD，CD±AD，求证：BM〃平面PAD；D连接EB，ED，在ED上任取一CD=2AB，M为PC的中点。A节）QZ3舟萩高考中心Mingskitang 牛刀小试1、如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面位置关系一定是（）A、平行B、相交C、平行或相交D、垂直相交）B、存在一条直线a，aua）B、存在一条直线a，aua,a||p，a||p，b||a，a||p，b||aA、存在一条直线a，a||a,a||pC、 存在两条平行直线a、b，aua，bupD、 存在两条异面直线a、b，aua，bupM,N分别是AE,CD的中点，1A3、如图，在长方体ABCD-ABCD中，E,PM,N分别是AE,CD的中点，1A求证：MN//面ADDA；例7、四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC±底面BCDE，BC=2，EAEDCD=<2，AB=AC.证明：AD±CED例8、如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，/BCD=60°，E是CD的中点，PA±底面ABCD,PA=2，证明：平面PBE±平面PAB；牛刀小试

节）t 高考中心Mineshitani? 1、已知a,b是直线，a是平面，则下列命题中正确的是 （）A、a±a,a±bnb//a B、a±b,a//anb±aC、a//b,b//ana//a D、a±a,a//bnb±a2、如果直线l和平面a内的两条平行线垂直，那么下列结论正确的是 （ ）AlUa Bl与a相交Cl//a DA、B、C都可能3、如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD］底面ABCD,侧棱PA=PD,AD中点，求证:POL平面ABCD。4、如图，PCBM是直角梯形，4、如图，PCBM是直角梯形，/PCB=90。，PM〃B