一道二次复合函数单调性的错解剖析

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函数问题贯穿整个高中数学学习的始末，数学教材内容几乎都离不开函数的剖析，其中复合函数由于更为繁杂的函数结构，能有效地对学生的数学规律思维能力进行考察，因而成为高考试题的必考要点。本文举例论述了二次复合函数学生们常犯的错误，并对错误的原因进行了深入剖析。

二次复合函数单调性错解剖析

二次复合函数能够有效考察考生对二次函数理解和应用能力，因此，对这部分内容的考察已经成为每年的必考题型。学生想要获得更高的数学成绩，必需深刻理解并把握有关的理论知识。但是二次复合函数结构相对繁杂，且函数结构可以自由组合，具备很大的随机性，因此想要完全把握具有一定难度，而且还简单走进解题误区。

一、复合函数的相关概述

复合函数指的是两个函数经由自变量x这个因素，可以将其中一个函数y变换为用x来表示的函数，那么这种函数就称之为两个函数的复合函数，寻常用y=f（A），A=g（x）的形式来表现。复合函数在求解的环节中经常会用到导数的理论，函数y=f（A），A=g（x）的导数和复合函数y=f[g（x）]的求导，两者之间的关系可以用表达式y"=f"[g（x）]·g"（x）来表示，y对A的导数与A对x的导数的乘积和y对x的导数和最终得出的数值是一致的。复合函数可以理解成函数的组合，通过简易搭配与组合，将函数复合为相对繁杂的结构[1]。复合函数组织结构具备很大随机性，由于大量简单函数稍加组合变换就能形成新的复合结构。

复合函数单调性剖析的常规步骤如下：

①首先求出复合函数定义域的区间范围。

②其次把复合函数拆分成我们熟悉的结构形式。

③对拆分后的函数结构进行逐个剖析和探究。

④把中间量的取值区间变换成自变量x的取值区间。

⑤最终计算得出复合函数的单调性。

二、二次复合函数有关定义域的剖析

通过教师的讲授我们可以知晓，二次函数单调性是在其定义域范围之内才是有意义的。想要判断其单调性需要先求出定义域的区间，也就是函数的自变量x的区间领域[2]。下面列举的几种对比常见的二次函数表达式及其定义域的求解方法，我们要让学生理解并记牢。

（1）形如y=ax2+bx+c（a≠0）为二次函数一般表达式，定义域区间范围是（-∞，+∞）。函数对称轴的计算公式为x=-b/2a，将二次函数定义域分为（-∞，-b/2a）和（-b/2a，+∞）单调区间。

（2）函数y=x+k/x（k>0）这个表达式中，其定义域区间是（-∞，0）U（0，+∞）。x=±k是在其定义域内划分单调区间的自变量，将其定义域分为（-∞，-k），（-k，0），（0，k），（k，+∞）单调区间。

（3）形如y=kx+b（k≠0），y=kx（k≠0）[特别说明：y=k/x（k≠0）的定义域是（-∞，0）U（0，+∞）但该函数的单调区间应当是（-∞，0），（0，+∞）或者（-∞，0）和（0，+∞）以确保满足单调性的定义。]，y=x等，没有自变量x能够划分其定义域为单调区间，原因在于这些函数的单调区间就是其定义域范围。

三、复合函数单调性的判定方法

假设存在y=f（e），e∈（m，n），e=g（x），x∈（a，b）。

①假使y=f（e）在（m，n）区间为递减函数，那么y=f[g（x）]的增减性与g（x）的增减性是不同的。

②假使y=f（e）在（m，n）区间为递增函数，那么y=f[g（x）]的增减性与g（x）的增减性是一致的。

③假使g（x）在（a，b）区间浮现单调递增趋势，并且在该区间上任意选择x1和x2，并且使得x1④假使g（x）在（a，b）区间浮现单调递增趋势，并且在区间上任意选择x1和x2，并且保证x1通过上述剖析，判断二次复合函数的单调性，应当依托其拆分后的简易函数来分析，经过对分解后的函数进行单调性的判断，从而求得二次复合函数的整体单调性。高中时期学习的函数都是简单初等函数，虽说函数类型多种多样，但通过认真学习把握每种函数的精华并不难[3]。在遇到复合函数的时候，细心思考如何拆分更简单解题，一般高中数学的二次复合函数都能拆为两种简易函数。因此，在做题中遇见结构繁杂的复合函数，看看是不是有什么隐蔽条件没有发现，出题人往往会把隐含条件设置得很隐晦，能有效对学生的知識应用能力进行考察。

四、举例剖析二次复合函数单调性的错误会法

举个例子：已知复合函数y=（x2-3）2+1，分析该复合函数的单调性。

错误会法①：易得函数f（x）=（x2-3）2+1在区间（3，+∞）浮现单调递增趋势，在区间（-∞，3）浮现单调递减趋势。易知g（x）=x2在（-∞，0）区间浮现单调递减趋势，在区间（0，+∞）出现单调递增趋势。解出复合函数f[g（x）]在区间（3，+∞），（-∞，0）浮现单调递增趋势，在区间（0，3）浮现单调递减趋势。

错解②：已知y=f[g（x）]=（x2-3）2+1，令y=（A-3）2+1，则A=x2。易知A=x2在区间（-∞，0）浮现单调递减趋势，在区间（0，+∞）浮现单调递增趋势。得出y=（A-3）2+1在区间（3，+∞）浮现单调递增趋势，在区间（-∞，0）浮现单调递增趋势。解得复合函数在区间（3，+∞），（-∞，0）浮现单调递增趋势，在区间（0，3）单调减。

剖析：错误会法①没有解答出正确的单调区间，说明对f（x）与g（x）之间的复合关系没有把握到位，只是单纯搬运判定方式，这是知识理解不确切、不到位造成的。

错误会法②虽然知晓将y=f[g（x）]=（A-3）2+1用A=x2这种换元法来代替，不过仅仅分析了二次函数对称轴，还是没有明白二次复合函数的内核[4]。由于y=f[g（x）]的对称轴并不是回复的结果，基于此分析的单调性必然出现错误。

正解一：已知y=f[g（x）]=（x2-3）2+1，假设f（A）=（A-2）2+1，A=x2-1。

（1）f（A）在A≥2时浮现递增趋势，这种状况下复合函数与A=x2-1保持一致增减性，对A≥2进行求解，解出x≥3或x≤-3两种结果。因此x在区间[3，+∞）时，A=x2-1单调递增，此时复合函数浮现单调递增趋势。x在区间（-∞，-3）时，A=x2-1单调递减，这时复合函数浮现单调递减趋势。

（2）f（A）在A≤2时浮现递减趋势，这种状况下复合函数与A=x2-1的增减性不一致。对A≤2进行求解，解得-3≤x≤3这个结果。x在[-3，0]时，A=x2-1单调递减，此时复合函数浮现单调递增趋势。x在[0，3]时，A=x2-1单调递增，此时复合函数浮现单调递减趋势[5]。

正解二：已知y=f[g（x）]=（x2-3）2+1，假设f（A）=（A-3）2+1，A=x2。

（1）f（A）在A≥3时浮现递增趋势，这种状况下复合函数与A=x2的增减性保持一致。对A≥3进行求解，解得x≥3或x≤-3两个结果。x在[3，+∞）时，A=x2单调递增，此刻复合函数浮现递增趋势[6]。x在（-∞，-3]时，A=x2单调递减，这时复合函数浮现递减趋势。

（2）f（A）在A≤3时浮现递减趋势，这种状况下复合函数與A=x2保持不一致增减性。对A≤3进行求解，得出-3≤x≤3这个结果。x在[0，3]时A=x2单调递增，这时复合函数浮现递减趋势。x在[-3，0]时A=x2单调递减，此刻复合函数浮现递增趋势[7]。

正解三：已知y=f[g（x）]=（x2-3）2+1=x4-6x2+10，求导，得y"=4x3-12x=4x（x-3）（x+3）。根据x的取值状况由此列出下表：

在解决有关二次复合函数的问题时，由于求导法也能解出函数的根，根据根的数值大小，然后可以将定义域拆分成好几部分，通过对每一部分的函数单调性进行分析，看看导数在对应区间的正负状况，从而一一列出对应的图表。图表法与导数结合，也是解决有关二次复合函数的有效方法，解题步骤更加简单[8]。

结语

复合函数的结构之所以繁杂，原因在于它是由两个或者多个函数组合起来的。因此，想要剖析二