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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中,在区间上单调递减的是()A. B. C. D.2.如图,棱长为的正方体中,为线段的中点,分别为线段和棱上任意一点,则的最小值为()A. B. C. D.3.已知集合,集合,若,则()A. B. C. D.4.2020年是脱贫攻坚决战决胜之年,某市为早日实现目标,现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三个贫困县扶贫,要求每个贫困县至少分到一人,则甲被派遣到县的分法有()A.6种 B.12种 C.24种 D.36种5.已知函,,则的最小值为()A. B.1 C.0 D.6.集合的真子集的个数是()A. B. C. D.7.设,则关于的方程所表示的曲线是()A.长轴在轴上的椭圆 B.长轴在轴上的椭圆C.实轴在轴上的双曲线 D.实轴在轴上的双曲线8.已知双曲线的渐近线方程为,且其右焦点为,则双曲线的方程为()A. B. C. D.9.已知边长为4的菱形,,为的中点,为平面内一点,若,则()A.16 B.14 C.12 D.810.已知,满足条件(为常数),若目标函数的最大值为9,则()A. B. C. D.11.已知双曲线的一条渐近线为,圆与相切于点,若的面积为,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.12.如图1,《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高一丈(1丈=10尺),现被风折断,尖端落在地上,竹尖与竹根的距离三尺,问折断处离地面的高为()尺.A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.定义在R上的函数满足:①对任意的,都有;②当时,,则函数的解析式可以是______________.14.设实数,若函数的最大值为,则实数的最大值为______.15.已知四棱锥,底面四边形为正方形,,四棱锥的体积为,在该四棱锥内放置一球,则球体积的最大值为_________.16.曲线在点(1,1)处的切线与轴及直线=所围成的三角形面积为,则实数=____。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)若在上单调递增,求实数的取值范围;(2)若,对,恒有成立,求实数的最小值.18.(12分)某景点上山共有级台阶,寓意长长久久.甲上台阶时,可以一步走一个台阶,也可以一步走两个台阶,若甲每步上一个台阶的概率为,每步上两个台阶的概率为.为了简便描述问题,我们约定,甲从级台阶开始向上走,一步走一个台阶记分,一步走两个台阶记分,记甲登上第个台阶的概率为,其中,且.(1)若甲走步时所得分数为,求的分布列和数学期望;(2)证明:数列是等比数列;(3)求甲在登山过程中,恰好登上第级台阶的概率.19.(12分)已知直线的参数方程:(为参数)和圆的极坐标方程:(1)将直线的参数方程化为普通方程,圆的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)已知点,直线与圆相交于、两点,求的值.20.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若,设,证明:,,使.21.(12分)已知函数的最大值为2.(Ⅰ)求函数在上的单调递减区间;(Ⅱ)中,,角所对的边分别是,且,求的面积.22.(10分)已知椭圆的左、右焦点分别为直线垂直于轴,垂足为,与抛物线交于不同的两点,且过的直线与椭圆交于两点,设且.(1)求点的坐标;(2)求的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
由每个函数的单调区间,即可得到本题答案.【详解】因为函数和在递增,而在递减.故选:C【点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间,属基础题.2、D【解析】
取中点,过作面,可得为等腰直角三角形,由,可得,当时,最小,由,故,即可求解.【详解】取中点,过作面,如图:则,故,而对固定的点,当时,最小.此时由面,可知为等腰直角三角形,,故.故选:D【点睛】本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力,属于中档题.3、A【解析】
根据或,验证交集后求得的值.【详解】因为,所以或.当时,,不符合题意,当时,.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算,属于基础题.4、B【解析】
分成甲单独到县和甲与另一人一同到县两种情况进行分类讨论,由此求得甲被派遣到县的分法数.【详解】如果甲单独到县,则方法数有种.如果甲与另一人一同到县,则方法数有种.故总的方法数有种.故选:B【点睛】本小题主要考查简答排列组合的计算,属于基础题.5、B【解析】
,利用整体换元法求最小值.【详解】由已知,又,,故当,即时,.故选:B.【点睛】本题考查整体换元法求正弦型函数的最值,涉及到二倍角公式的应用,是一道中档题.6、C【解析】
根据含有个元素的集合,有个子集,有个真子集,计算可得;【详解】解:集合含有个元素,则集合的真子集有(个),故选:C【点睛】考查列举法的定义,集合元素的概念,以及真子集的概念,对于含有个元素的集合,有个子集,有个真子集,属于基础题.7、C【解析】
根据条件,方程.即,结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型.【详解】解:∵k>1,∴1+k>0,k2-1>0,
方程,即,表示实轴在y轴上的双曲线,
故选C.【点睛】本题考查双曲线的标准方程的特征,依据条件把已知的曲线方程化为是关键.8、B【解析】试题分析:由题意得,,所以,,所求双曲线方程为.考点:双曲线方程.9、B【解析】
取中点,可确定;根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得,利用可求得结果.【详解】取中点,连接,,,即.,,,则.故选:.【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题,涉及到平面向量的线性运算,关键是能够将所求向量进行拆解,进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解.10、B【解析】
由目标函数的最大值为9,我们可以画出满足条件件为常数)的可行域,根据目标函数的解析式形式,分析取得最优解的点的坐标,然后根据分析列出一个含参数的方程组,消参后即可得到的取值.【详解】画出,满足的为常数)可行域如下图:由于目标函数的最大值为9,可得直线与直线的交点,使目标函数取得最大值,将,代入得:.故选:.【点睛】如果约束条件中含有参数,我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域,分析取得最优解是哪两条直线的交点,然后得到一个含有参数的方程(组,代入另一条直线方程,消去,后,即可求出参数的值.11、D【解析】
由圆与相切可知,圆心到的距离为2,即.又,由此求出的值,利用离心率公式,求出e.【详解】由题意得,,,.故选:D.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质,直线与圆相切的性质,离心率的求法,属于中档题.12、B【解析】如图,已知,,
∴,解得
,∴,解得
.∴折断后的竹干高为4.55尺故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、(或,答案不唯一)【解析】
由可得是奇函数,再由时,可得到满足条件的奇函数非常多,属于开放性试题.【详解】在中,令,得;令,则,故是奇函数,由时,,知或等,答案不唯一.故答案为:(或,答案不唯一).【点睛】本题考查抽象函数的性质,涉及到由表达式确定函数奇偶性,是一道开放性的题,难度不大.14、【解析】
根据,则当时,,即.当时,显然成立;当时,由,转化为,令,用导数法求其最大值即可.【详解】因为,又当时,,即.当时,显然成立;当时,由等价于,令,,当时,,单调递增,当时,,单调递减,,则,又,得,因此的最大值为.故答案为:【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.15、【解析】
由题知,该四棱锥为正四棱锥,作出该正四棱锥的高和斜高,连接,则球心O必在的边上,设,由球与四棱锥的内切关系可知,设,用和表示四棱锥的体积,解得和的关系,进而表示出内切球的半径,并求出半径的最大值,进而求出球的体积的最大值.【详解】设,,由球O内切于四棱锥可知,,,则,球O的半径,,,,当且仅当时,等号成立,此时.故答案为:.【点睛】本题考查了棱锥的体积问题,内切球问题,考查空间想象能力,属于较难的填空压轴题.16、或1【解析】
利用导数的几何意义,可得切线的斜率,以及切线方程,求得切线与轴和的交点,由三角形的面积公式可得所求值.【详解】的导数为,可得切线的斜率为3,切线方程为,可得,可得切线与轴的交点为,,切线与的交点为,可得,解得或。【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程,以及直线方程的运用,三角形的面积求法。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)求得,根据已知条件得到在恒成立,由此得到在恒成立,利用分离常数法求得的取值范围.(2)构造函数设,利用求二阶导数的方法,结合恒成立,求得的取值范围,由此求得的最小值.【详解】(1)因为在上单调递增,所以在恒成立,即在恒成立,当时,上式成立,当,有,需,而,,,,故综上,实数的取值范围是(2)设,,则,令,,在单调递增,也就是在单调递增,所以.当即时,,不符合;当即时,,符合当即时,根据零点存在定理,,使,有时,,在单调递减,时,,在单调递增,成立,故只需即可,有,得,符合综上得,,实数的最小值为【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查化归与转化的数学思想方法,考查分类讨论的数学思想方法,属于难题.18、见解析【解析】
(1)由题可得的所有可能取值为,,,,且,,,,所以的分布列为所以的数学期望.(2)由题可得,所以,又,,所以,所以是以为首项,为公比的等比数列.(3)由(2)可得.19、(1):,:;(2)【解析】
(1)消去参数求得直线的普通方程,将两边同乘以,化简求得圆的直角坐标方程.(2)求得直线的标准参数方程,代入圆的直角坐标方程,化简后写出韦达定理,根据直线参数的几何意义,求得的值.【详解】(1)消去参数,得直线的普通方程为,将两边同乘以得,,∴圆的直角坐标方程为;(2)经检验点在直线上,可转化为①,将①式代入圆的直角坐标方程为得,化简得,设是方程的两根,则,,∵,∴与同号,由的几何意义得.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程,考查利用直线参数的几何意义求解距离问题,属于中档题.20、(1)见解析;(2)证明见解析.【解析】
(1),分,,,四种情况讨论即可;(2)问题转化为,利用导数找到与即可证明.【详解】(1).①当时,恒成立,当时,;当时,,所以,在上是减函数,在上是增函数.②当时,,.当时,;当时,;当时,,所以,在上是减函数,在上是增函数,在上是减函数.③当时,,则在上是减函数.④当时,,当时,;当时,;当时,,所以,在上是减函数,在上是增函数,在上是减函数.(2)由题意,得.由(1)知,当,时,,.令,,故在上是减函数,有,所以,从而.,,则,令,显然在上是增函数,且,,所以存在使,且在上是减函数,在上是增函数,,所以,所以,命题成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式的问题,考查学生逻辑推理能力,是一道较难的题.21、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(1)由题意,f(x)的最大值为所以而m>0,于是m=,f(x)=2sin(x+).由正弦函数的单调性可得x满足即所以f(x)在[0,π]上的单调递减区间为(2)设△ABC的外接圆半径为R,由题意,得化简得sinA+sinB=2sinAsinB.由正弦定理,得①由余弦定理,得a2+b2-ab=9,即(a+b)2-3ab-9=0②将①式代入②,得2(ab)2-3ab-9=0,解得ab=3或(舍去),故22、(1);(2).【解析】
(1)设出的
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