自动化考研现控部分习题解答

自动化考研现控部分习题解答.txtl8拥有诚实,就舍弃了虚伪;拥有诚实,就舍弃了无聊;拥有踏实,就舍弃了浮躁,不论是有意的丢弃,还是意外的失去,只要曾经真实拥有,在ー些时候,大度舍弃也是ー种境界。 本文由victory0702贡献doc文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT,或下载源文件到本机查看。现代控制理论习题详解victory上传第一章控制系统的状态空间描述3-1-1求图示网络的状态空间表达式,选取uc和iL为状态变量。(1)R1uiCluclR2iluC2i2uoc2题3-1-1图1(2)RuiiLLCucuo题3-1-1图2【解】:(1)设状态变量:xl=ucl>x2=uc2而il二Clucl、i2=C2uc2根据基尔霍夫定律得:ui=[Clucl+(ucluc2)]R1+uclR2ucl=C2uc2R2+uc2整理得1RI+R21&xlRIR2ClR2Clxl+R1C1ui=x11x2&20R2C2R2C2xly=u0=[01]x2(2)设状态变量:xl=iL>x2=uc而Page1of84现代控制理论习题详解victory上传iL=Cuc根据基尔霍夫定律得:ui=RiL+LiL+uc整理得R&xlLx=l42CllLxl+uLi0x20xy=u0=[01]1x23-1-2如图所示电枢电压控制的它励直流电动机,输入为电枢电压ua输出为电动机角速度3,电动机轴上阻尼系数为f»转动惯量J»试列写状态方程和输出方程。RauaLaiaif二常数fDJMLG)题3-1-2图【解】:设状态变量为:xlia=x23其中ia为流过电感上的电流,3电动机轴上的角速度。电动机电枢回路的电压方程为:ua=Laia+Raia+ebeb为电动机反电势。电动机力矩平衡方程为MD=J3+f0+ML由电磁力矩和反电势的关系,有eb=c,MD=cMia式中ce为电动机反电势系数,cM为电动机的转矩系数。J为电动机轴上粘性摩擦系数,f电动机轴上等效转动惯量。整理得Page2of84现代控制理论习题详解victory上传Ra&xlLa=x&2cMJce1xlLLa+afx20Jxy=w=[01]1x20ua1MLJ(注:解是非唯一的)3-1-3试求图示系统的模拟结构图,并建立状态空间表达式。(1)U(s)KITls+1K2T2s+1K3s1T4s+1Y(s)1sK5T5s+1题3-1-3图1(2)UI(s)cs+a1sYl(s)U2(s)ds+bfs+eY2(s)g题3-1-3图2【解】:(1)如题3-1-3图3设状态变量Page3of84现代控制理论习题详解U(s)victory上传x6KIT1&x6K2T2&x41T2x4K3&x2x21T4&xl1T4xlY(s)1T1x3&x3x5&x5K5T51T5题3-1-3图3&xl=11xl+x2T4T4&x2=K3(x4x3)&x3=x2&x4=KK1x42x5+2x6T2T2T2K51x2x5T5T5&x5=&x6=K1x6+1(uxl)T1T1y=xl写成矩阵的形式得:1100TT440K3K300100100&x=0T2K5000T5K1000Tly=[100000]x000K2T21T50000000K2X+uT2000K1T11T1(2)如图题3-1-3图4设状态变量Page4of84现代控制理论习题详解victory上传ulc&x2x2xlyiau2d&x4x4f&x3&x3x3y2beg题3-1-3图4&xl=x2&x2=ax2+c(ulx4)&x3=ex3+fx4&x4=bx4+dx2dgx3+du2yl=xly2=x3y=xl写成矩阵的形式得:000010a0ccx+&x=00ef00ddgb01000y=x001000u0d(注:此题解并非唯一的)3-1-4已知系统的微分方程,试将其转变成状态空间表达式。&&⑴&y&+2&&+4y+6y=2uy&&(2)&y&+7&&+3y=u+2uy&&&&&(3)&y&+5&&+4y+7y=u+3u+2uy&(4)y(4)+3&&+2y=3u+uy【解】：Page5of84现代控制理论习题详解victory上传在零初始条件下,方程两边拉氏变换,得到传递函数,再根据传递函数求状态空间表达式。此题多解，-•般写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。(1)传递函数为：G(s)=2s+2s+4s+62状态空间表达式为：1000&x=001x+0u6421y=[200]x(2)传递函数为：G(s)=s+2s+7s+332s+2s+7s2+0s+33状态空间表达式为:0100&=001x+0ux3071y=[210]x(3)传递函数为:G(s)=s2+3s+22s+5s+4s+73状态空间表达式为:1000x+0u&=0x017451y=[231]x(4)传递函数为:G(s)=3s+13s+l=4223s+3s+2s+0s+3s+0s+24状态空间表达式为:010000010x+0u&x=0001020301y=[1300]xPage6of84现代控制理论习题详解victory上传3-1-5已知系统的传递函数,试建立其状态空间表达式,并画出结构图。(1)G(s)=(3)G(s)=s2+s+1s2+3s+1(2)G(s)=22s+5s+6s3+6s+1Is++64s(s+1)2(s+3)4)G(s)=s2+2s+32s3+3s+3s+l【解】:此题多解，一般可以写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。(1)10000x+0u&x-0161161y=[lll]x结构图如图题3-1-5图1所示U&x3x3&x2&x3x2&xlxly6116题3-1-5图1(2)G(s)=s+3s+ls+5s+62s52s+5==1222s+5s+6s+5s+6s+5s+622100&x=x+lu65y=[52]+u结构图如图题3-1-5图2(a)所示Page7of84现代控制理论习题详解victory上传2u&x2&x3x2&xlxly556题3-1-5图2(a)或有G(s)=s2+3s+111=1s+2s+3s2+5s+6201&x=x+lu03y=[ll]x+u结构图如图题3-1-5图2(b)所示u&xl2xly&x2x23题3-1-5图2(b)3)G(s)=4s(s+1)2(s+3)413+2+lG(s)=3+s(s+3)(s+1)2(s+1)Page8of84现代控制理论习题详解victory上传00036x=000014y=33010x+lu0110110021x结构图如图题3-1-5图3所示u&xlxl3x2x2133y&x4x4&x3x32题3-1-5图3(4)G(s)=s2+2s+32s3+3s+3s+l1000&x=001x+0u1331y=[32l]x结构图如图题3-1-5图4所示Page9of84现代控制理论习题详解victory上传2u&x3x3&x2&x3x2&xlxl333y题3-1-5图43-1-6将下列状态方程化成对角标准型。&(1)x=100x+u561100233x+15u&(2)x=02127671010101x+lu61160&(3)x=0【解】:(1)特征方程为:D(X)=X2+6X+5=(X+1)(X+5)=0〇特征值为:X1=1,X2=5系统矩阵A为友矩阵,且特征值互异,因此可以化为对角标准型,其变换矩阵P为范德蒙矩阵。变换阵:1111151P==,P=0.2511X1X215线性变换后的状态方程为:100.25&X=(P1AP)x+(Plb)u=X+u050.25(2)特征方程为:Page10of84现代控制理论习题详解victory上传XXIA=312702=入3+6入2+11X+6=(X+1)(X+2)(X+3)=0X+6特征值为:X1=1,X2=2,X3=3,设变换阵:P=P21P31PHP12P22P32P13P23P33由(XiIA)Pi=0得10PllPl1312P=0取P=P=当X1=1时,12121127P315P3111110Pl2Pl22322P=0取P=P=4当X2=2时,22222127P3214P32310P13Pl31332P=0取P=P=3当X3=3时,32323127P3333P33变换阵:2114.52.51143,P1=321P=112.51.513线性变换后的状态方程为:01018.5274=020x+1520ux013.51603(3)特征方程为:D(X)=X3+6X2+11X+6=(X+1)(X+2)(X+3)=0〇特征值为:X1=1,X2=2,X3=3〇Page11of84现代控制理论习题详解victory上传系统矩阵A为友矩阵,且特征值互异,因此可以化为对角标准型,其变换矩阵P为:1P=X12X11X2X221111=123X32X3149P132.50.5=34111.50.5线性变换后的状态空间表达式为:0105.5&=020x+7ux02.5033-1-7将下列状态方程化成约旦标准型。&(1)x=210x+ul211&(2)x=12312x+27ull353400100001x+0u&(3)x=2541【解】:(1)特征方程为:XIA=X+211X+2=X2+4X+3=(X+1)(X+3)=0特征值为:X1=1,X2=3〇设变换阵:P=PllP21P12P22由(入iIA)Pi=0得:Page12of84现代控制理论习题详解victory上传当人1=1时,111PllP=0取P1=11121111Pl2P=0取P2=11122当X2=3时,110.50.51P=,P=110.50.5线性变换后的状态空间表达式为:100.5&x=(P1AP)X+(Plb)u=x+u030.5(2)特征方程为:X41XIA=1X1122=(X1)(X3)2=OX3特征值为:X1=X2=3,X3=1»设变换阵:PllP=P21P31P12P22P32P13P23P33当X1TOC\o"1-5"\h\z11 2P111132P=0,取 P =1=3 时，由(X 1I A) P1 = 0 得:121 11 10P311 12P121132P22=1 , JUP2= 01 100 P32 1当 X2=3时，由(X2IA) P2=Pl 得:131 2P130112P=0.取 P =2当X3=l时，由(X3IA)P3 = 0得:323112P331变换阵:Page13of84现代控制理论习题详解victory上传110012102,P1=112P=101011线性变换后的状态空间表达式为：31081&=030x+52ux00134(3)特征方程为:D(X)=X34X2+5X2=(X1)2(X2)=0。特征值为:X1=X2=1,X3=2〇且特征值有重根，因此可以化为约当标准型，其变换矩阵P为:系统矩阵A为友矩阵,P=[PlP2dPlP3]=PlMMP3dX1110011X=1,P=1=1,P=X=2P1=13232X112X12X243变换阵:211010112,P1=231P=124121线性变换后的状态空间表达式为:1101&=010x+lux00213-1-801121030x+l&已知状态空间表达式,x=4u01423Page14of84现代控制理论习题详解victory上传1001"=P1x进行线性变换,(1)试用x变换矩阵P=020求变换后的状态空间表达式。0〇1(2)试证明变换前后系统的特征值的不变性和传递函数矩阵的不变性。【解】:(1)~=Plxxx=P~x20.50~1A=PAP=03000.5411~1B=PB=282320.5011~=030~+2&xx8u00.5423(2)证明:变换后的系统矩阵为A=P1AP«输入矩阵为B=P1B特征值的不变性:siP1AP=sP1PP1AP=P1siAP=siA〜r传递函数矩阵的不变性:G(s)=CP(siP1AP)1P1B=CP(sP1PP1AP)1P1B=CP[P1(siA)P]1P1B=CPP1(siA)1PP1B=C(siA)1B验证：变换前的特征方程为:DI(X)=(X+2)(X+3)(X+4)=0变换后的特征方程为：D2(X)=(X+2)(X+3)(X+4)=0DI(X)=D2(X)所以变换前后系统的特征值是不变的。3-1-9已知两个子系统的传递函数矩阵分别为Page15of84现代控制理论习题详解victory上传1Gl(s)=s+1011s+2,G(s)=s+3121ss+l1s+1.试求两子系统串联后和并联后的传递函数0矩阵。【解】：(1)串联Gl(s)在前,G2(s)在后时G(s)=G2(s)G1(s)=s+31s+lG2(s)在前,Gl(s)在后时lls+ls+10011(s+l)(s+3)s+2=lls(s+l)22s2+6s+6s(s+1)(s+2)(s+3)1(s+1)(s+2)G(s)=Gl(s)G2(s)=s+10lls+2s+311ss+l2s+51(s+1)(s+2)(s+3)s+1=10s(s+1)12s+4s+l=(s+l)(s+3)10(s+1)(s+1)012(2)并联1G(s)=Gl(s)+G2(s)=s+101ls+2+s+311ss+12s+3(s+1)(s+2)1s3-1-10已知离散系统的差分方程为y(k+3)+3y(k+2)+5y(k+1)+y(k)=u(k+1)+2u(k),求系统的状态空间表达式,并画出系统结构图。【解】：根据差分方程,在零初始条件下,方程两边Z变换,得到系统的脉冲传递函数为G(z)=z+2z+3z2+5z+l31000x(k+l)=001x(k)+0u(k)1531y(k)=[21O]x(k)其结构图如图题3-1-10图所示:Page16of84现代控制理论习题详解victory上传uZ13x3(k)&x3z1x2(k)z1xl(k)2y5题3-1-10图3-1-11!已知离散系统的状态空间表达式为1u(k),=+x2(k+1)13x2(k)1x(k+1)01x(k)0x(k)y(k)=[11]1,求系统的脉冲传递函数。x2(k)【解】:W(z)=C(zlG)1H10z=[11]1z31=[ll]z310zlz3zllz+l=2z3zll21也可以直接写出。3-1-12已知系统的脉冲传递函数,试求系统的状态空间表达式。(1)G(z)=(2)G(z)=2z2+z+2z3+6z2+llz+61z3+4z2+5z+2【解】:此题多解,一般可以写成能控标准型、能观标准型或对角标准型,以下解法供参考。(1)Page17of84现代控制理论习题详解victory上传10000x(k)+0u(k)x(k+l)二016116ly(k)=[212]x(k)(2)10000x(k)+0u(k)x(k+l)=012541y(k)=[100]x(k)第二章状态空间表达式的解3-2-!试求下列矩阵A对应的状态转移矩阵ゆ(t)〇(1)01A=(2)0210A=(4)1201A=40010A=00125400(5)A=00100X000010(6)A=0X1000X1001000000X【解】:(1)11s11sO(t)=L[(siA)]=L{}=L00s+2111Is(s+2)1(s+2)s=LI00.50.52ts(s+2)10.50.5e=1e2t0(s+2)(2)s1s11s2+4O(t)=L[(siA)]=L{}=L44ss2+411s+4=cos2ts2sin2ts2+410.5sin2tcos2tPage18of84现代控制理论习题详解victory上传3)s+21s1(s+1)2O(t)=LI[(siA)1]=Li{}=LI11s+2(s+1)2(s+l)s(s+l)212tet+et中(t)=ttetetettet(4)特征值为:XI=X2=1,X3=2〇由习题3-1-7(3)得将A阵化成约当标准型的变换阵P为211010112,P1=231P=121124线性变换后的系统矩阵为:110~A=P1AP=010002et=00teteteAt000e2t0et00021tte231etl21e2ttetet2e2ttet2et4e2ttet3et①(t)=eAt=PeP〜At12tl01ell20=1240e2t2tet中(t)=2e2t2tet2et4e2t2tet4et2e2t+3tet+2et4e2t+3tet+5et8e2t+3tet+8et(5)为结构四重根的约旦标准型。入1二入2二入3二入4二0Page19of84现代控制理论习题详解victory上传中(t)=eAt1t=eXt01000012t2!t1013tlt3!12t=012!t0010012t2t1013t612t2t1(6)X1=X2=X3=X4=X虽然特征值相同,但对应着两个约当块。eAlt①(t)=eAt=00eA2tAl=[X]eAlt=eXtXteX100X1eA2t=0A2=000XeXt0=000eXt[]teXteXt012Xtte2teXteXt0teXt①(t)=eAt00eXt00012Xtte2teXteXt01sX000}1sX1sX〇或①(t)=LI[(siA)1]=LI{00sX001s+X01=L0001s+X0001(s+X)21s+X0l(s+X)312(s+X)ls+X0Page20of84现代控制理论习题详解victory上传eXt0=000e0teAt00e入t0012Xtte2te入te入t3-2-2已知系统的状态方程和初始条件1001&x=010x,x（0）=00121（1）用laplace法求状态转移矩阵:（2）用化标准型法求状态转移矩阵;（3）用化有限项法求状态转移矩阵;（4）求齐次状态方程的解。【解】:（1）①（t）=LI（siA）10sl01=L{0sl0}01s211(s1)1=L0001(s1)11(s1)(s2)te0-010(s2)00etet+e2t00e2t(2)特征方程为:入10入IA=0入10100二(入1)2(入2)=0入2特征值为:X1=X2=1,X3=2〇000rank(XIIA)=rank000=nl=1011Page21of84现代控制理论习题详解victory上传000rank(XIIA)=rank000=n2=10112由于n2=nl=1,所以X!对应的广义特征向量的阶数为1„求满足(XIIA)P1=0的解P1I得:0P11001000P21=0,P1=0011P310再根据(X2IA)P2=0,且保证Pl、P2线性无关,解得:P2=[011]T对于当X3=2的特征向量,由(X3IA)P3=0容易求得：P3=[001]T所以变换阵为：P=[P1P2100100P3]=010,Pl=010011011线性变换后的系统矩阵为：1OO~1A=PAP=010002et=000ete“At000e2t0ett①(t)=eAtet=P000et0et010P=00e2te+e2t00e2t(3)特征值为:X1=X2=1,X3=2〇2eXIt=a0+alX1+a2X1Page22of84现代控制理论习题详解victory上传teXIt=al+2a2X1eX3t=aO+alX3+a2X23即a01X1a=011a21X32X12X1X2311eXItXItteeX3t111=012124etttee2tt021et=232te111e2t2tet+e2t=2et+3tet2e2tettet+e2teAt=aOI+alA+a2A2et=000ette+e2t00e2t(4)etx(t)=O(t)x(0)=000etet+e2t01et00=0e2tle2t3-2-3试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件,如果满足,试求对应的矩阵Ao0012t0sintcost(2)①(t)=10.5(1e)(1)O(t)=e2t00costsintPage23of84现代控制理论习题详解victory上传(3)O(t)=【解】：(1)2ete2tt2tee0.5et+0.5e3t2et+2e2t(4) O(t)=t3tet+2e2 t e +e0.25et+0.25e3t0.5et+0.5e3t001100Q中(0)=0sintcost =001:/:I0costsin t t =0 010••・不满足状态转移矩阵的条件。(2)10.5(1e2t)10Q0(0)===12te0t=001，满足状态转移矩阵的条件。&&由e(t)=A6(t),得中(0)=A①(0)=A〇&・・•①(t)=e2t,2t02e0OOle2t&=A=0(0)=2t02et=002(3)2ete2tQ0(0)=t2tee2et+2e2t=1et+2e2tt=0工满足状态转移矩阵的条件。2et+2e2t&A=①(0)=t2te+2e022et4e2t=t2te4et=013(4)0.5et+0.5e3tQ0(0)=t3te+e0.25et+0.25e3t=10.5et+0.5e3tt=0工满足状态转移矩阵的条件。0.5et+1.5e3t&A=〇(0)=t3te+3e110.25et+0.75e3t=t3t0.5e+1.5et=041Page24of84现代控制理论习题详解victory上传&3-2-4已知线性时变系统为x=2t1x,试求系统的状态转移矩阵。2t【解】:取A(tl)=2tl1t,2tl2t2A(t2)=11,得:A(tl)*A(t2)=A(t2)*A(tl)2t2fA(t)dt=I+t2t①(t,t0)=et0ftO111dx+2t2!J2tt01tdt+L2t2331222ttO+tOt2+Ll+(tOt)+3(ttO)+2(ttO)+LO)(t,t0)=212231+(t0t2)+(t3t0)+(tt0)+Ltt0+t0t2+L321001x+u,初始条件为x(0)=试2311&3-2-5已知线性定常系统的状态方程为x=求输入为单位阶跃函数时系统状态方程的解。【解】:中(t)=LI[(siA)1]s+3(s+1)(s+2)0)(t)=LI2(s+1)(s+2)1t2t(s+1)(s+2)2ee=t2ts2e+2e(s+1)(s+2)ete2tet+2e2t0.5+0.5e2tx(t)=0(t)x(0)A1[Ie(t)]B=2te3-2-6&已知线性定常系统的状态空间表达式为x=102x+u,560y=[12]x,已知状态的初始条件为x(0)=,输入量为u(t)=et10(t20),试求系统的输出响应。【解】:5t15te4e①(t)=L[(siA)]=455et+e5t4411Itl5tee441t55te+e44y(t)=cO(t)x(0)+c①(tt)Bu(t)dt0JtPage25of84现代控制理论习题详解victory上传5t15te4e=[12]455et+e5t445(tt)15(tt)ee4+[12]45(tt)55(tt)e+e044tltl5tee04415et+e5tl441(tt)15(tt)ee2t44edt1(tt)55(tt)0e+e44J91=et+e5t+44f5(tT)15(tT)eet2[12]25edt5e(tx)+e5(tx)022t9595791=et+e5t+(et+e5t+4x)dx=tet+et+e5t(t20)42288402&3-2-7线性定常系统的齐次方程为x=Ax(t),已知当x(0)=!时,状态方程的解为2e2tet1;而当x(0)=时,状态方程的解为x(t)=t,试求:x(t)=2t2ee1(1)系统的状态转移矩阵①(t)；(2)系统的系数矩阵A。【解】:x(t)=0(t)x(0)xl(t)¢11¢12xl(0)=x2(t)¢21¢22x2(0)e2t¢11¢121et¢11¢121=;t=2t2e¢21¢222e¢21¢221¢112¢12=e2t, ¢212¢22=2e2t¢11¢12=et, ¢21¢22=et¢122ete2t¢中(t)=11=t2t¢21¢222e+2eete2tet+2e2tPage26of84现代控制理论习题详解victory上传&A=①(t)&3-2-8已知线性时变系统为x=01x,0tt=010=231x(0)=.试求系统状态方程的解。1【解】:对任意时间tl和t2有A(tl)=得:A(tl)*A(t2)ギA(t2)*A(tl)所以有O(t,0)=I+A(t)dt+A(t1)A(t2)dt2dt1+L000tt01,0tl01A(t2)=0t2JfT1Jt0100=+2+0100.5t012t2+L13t612t2+L)X1113t6t0100x(t)=0(t,0)x(0)=(+2+0100.5t0llltt2Lt+t2L1122X=x(t)=1311301+0.5t2+tL(l+0.5t2+tL)66第三章线性控制系统的能控性和能观性3-3-1判断下列系统的状态能控性。10(1)A=,1〇1001010,B=01B=(2)A=0102431110000,0X101B-11A1031110(3)A=030,B=00(4)A=0020010X100A10【解】:Page27of84现代控制理论习题详解victory上传Uc=[B11AB]=,rankUc=n=2,所以系统完全能控。01Uc=B[AB11000111LAB=11172]前三列已经可使rankUc=n=3,所以系统完全能控(后续列元素不必计算)。(3)A为约旦标准型,且第一个约旦块对应的B阵最后一行元素全为零,所以系统不完全能控。(4)A阵为约旦标准型的特殊结构特征,所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控性。同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统,一定是不完全能控的。可以求一下能控判别阵。Uc=B[ABA2B011X1A3B=1X11X112X1X12X12X123X12X13,rankUc=2,所以系统不完全能控。X13X133-3-2判断下列系统的输出能控性。01131&=030x+00ux0120(l)0y=101xll010004=001x+0ux(2)61161y=[100]x【解】:⑴031030.已知A=0011110100B=00,C=,D=1100020[D0031LCBCABCA2B=0011LPage28of84]现代控制理论习题详解victory上传前两列已经使rankDCBCABCA2B=m=2,所以系统输出能控。(2)系统为能控标准型，所以状态完全能控。又因输出矩阵C满秩,且输出维数m小于状态维数n,所以状态能控则输出必然能控。2-3-3判断下列系统的能观性。100&x=001x(1)243；(2)011y=121x11&x=x10；y=[1l]x2&x=0(3)0y=[0104x&20x=0； （4）003y=[111l]x0040x014]x【解】:⑴1000110已知A=01,C=121243011121CCA=244V0=MCA2前三行已使rankVO=n=3,所以系统完全能观（后续元素不必计算）〇（2）11A=,C=[11]10C11V0==,rankVO=n=2CA21所以系统完全能观。（3）Page29of84现代控制理论习题详解victory上传状态空间表达式为约旦标准型,且C阵对应于第一个约旦块的第一列元素为零,所以系统状态不完全能观。（4）状态空间表达式为约旦标准型的特殊结构形式,所以不能用常规方法判系统的能观性。同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输出系统，一定是不完全能观的。也可求14C1VO=CA=444,CA216164V0=0,rankVO=2所以系统不完全能观。&3-3-4设系统状态方程为x=Ax+Bu,若xl、x2是系统的能控状态，试证状态axl+Px2也是能控的（其中a、B为任意常数）。【解】:设:y=Cx=[aB]x因为，状态xl和x2能控，所以至少有rankB[ABLAn1B=2。而由系统输出能控的判别阵得:rankCBCABCA2B=rank（CBABLAn1B）=1,C阵乂满秩）（。]所以y=Cx=[aB]x一定是能控的。3-3-5设系统El和£2的状态空间表达式为L00&xl=xl+lul:134y=[2l]x11£&x2=2x2+u2:y2=x2（1）试分析系统El和E2的能控性和能观性,并写出传递函数;（2）试分析由Z1和E2组成的串联系统的能控性和能观性，并写出传递函数;（3）试分析由E1和E2组成的并联系统的能控性和能观性,并写出传递函数。【解】:(1)£11012:Uc=,rankUc=2;Vo=,rankVo=21432Page30of84现代控制理论习题详解victory上传E两个子系统既能控又能观。2&x=2x2+u2:2y2=x2(2)以系统1在前系统2在后构成串联系统为例(串联顺序变化状态空间表达式不同,又都是SISO系统,传递函数相同):系统有下关系成立:U1=u,u2=yl,y=y2xx=lx210000bl340x+luu=x+A202120y=[0C2]x=[00l]xA&x=1b2ClUc=b[014AbA2b=1413,rankUc=2;0141C001Vo=CA=212,rankVo=32744CA串联后的系统不能控但能观。传递函数为:G(s)=G2(s)G1(s)=C2(siA2)1b2Cl(siAl)1bls1=[IX(s+2)1X1]X[21]3s+410s+21=21=2(s+4s+3)(s+2)(s+4s+3)(3)并联后的系统数学模型为:系统有下关系成立:ul=U2=u,y=yl+y2并联后的状态空间表达式为：Page31of84现代控制理论习题详解victory上传A&x=10y=[C110000bl340x+lux+u=A2b20021C2]x=[211]xUc=b[014AbAb=1413,rankUc=3;1242]C211Vo=CA=322,rankVo=32654CA并联后系统既能控又能观。传递函数为：G(s)=Gl(s)+G2(s)=Cl(siAl)1bl+C2(siA2)1b2s1=[21]3s+410s+212s2+8s+71+=31+[lX(s+2)X1]=2(s+4s+3)s+2s+6s2+1Is+6s+as+10s2+27s+1833-3-6已知系统的传递函数为G(s)=(1)试确定a的取值,使系统成为不能控或为不能观;(2)在上述a的取值下,求使系统为能控的状态空间表达式:(3)在上述a的取值下,求使系统为能观的状态空间表达式。【解】:系统的传递函数可以写成:G(s)=s+as3+10s2+27s+18=s+a(s+3)(s+l)(s+6)(1)当a=l,3,6时，系统传递函数出现零极点对消现象,则系统可能不能控，或不能观或即不能控又不能观。(2)在上述a的取值下,求使系统为能控的状态空间表达式:能控标准型为：Page32of84现代控制理论习题详解victory上传10000&01x+0ux=1827101y=[a10]x(3)在上述a的取值下,求使系统为能观的状态空间表达式。能观标准型为:0&x=10y=[018a027x+1u11000l]x03-3-7已知系统的状态空间表达式为X10a&x=0X0x+bu00Xcy=[abc]x试问能否选择常数a、b、c使系统具有能控性和能观性。【解】：aaX+baX2+2bX=bbXbX2ccXcX2Uc在上述行列式中，无论a、b、c如何取值,都有两行元素线性相关,则Uc=0,rankUc=20aV0=aXaX2ba+bX2aX+bX2ccXcX2在上述行列式中,无论a、b、c如何取值,都有两列元素线性相关,则V0=0,rankVO=2。所以,无论常数a、b、c取何值,系统都不能控和不能观。3-3-8系统的结构如题3-3-8图所示,图中a、b、c、d均为实常数,试建立系统的状Page33of84现代控制理论习题详解victory上传态空间表达式，并分别确定当系统状态能控和能观时a、b、c、d应满足的条件。u(t)x2(t)xl(t)y(t)bd题3-3-8图【解】:系统状态空间表达式为:&xl=axl+cx2+uacl&x=x+lu&x2=dxlbx2+udby=xy=[10]x1系统能控的条件为:Uc=[bla+cAb]=ldbUc=db+acWO。系统能观的条件为:c10V0==,cAacVo=c7t0〇3-3-9设系统alA=10a201E(A,C)的系数矩阵为a30,C=[cl000]其中al,a2,a3,cl为实数。试问系统数具体表示。【解】:CclVO=CA=alcl2a2cac21CA110E(A,C)能观的充要条件是什么?要求用A、C中的参a2clala2cla3cl01a3cl=cl3alal2a2ala3cl0a2ala2a30a3ala3VO=cl3a32W0clW0,a3W0.Page34of84现代控制理论习题详解victory上传3-3-10已知系统的状态空间表达式为lbl0&x=x+bu232y=[cc]xl2欲使系统中有一个状态既能控又能观,另一个状态既不能控又不能观,试确定参数bl,b2,cl,c2应满足的关系。【解】:f(X)=AIA=X2+3A+2=0,入1=1,入2=2A为友矩阵,且特征值互异,所以P=[Pl1P2]=X1111,=X212x=Px&10x+2b1+b2ux=bb0212y=[clc2cl2c2]x21P1=11显然,当状态x2既能控又能观,而状态xl既不能控又不能观的条件是:clc2=0,cl2c2W0c=c2#012bl+b2=0,b2blW0b2=2bl#0当状态xl既能控又能观,而状态x2既不能控又不能观的条件是:cl2c2=0,clc2W0c=2c2W01b2bl=0,2bl+b2ナ0b2=blW03-3-11设n阶系统的状态空间表达式为2n-1&x=Ax+bu,试证:y=Cx⑴若Cb=0,CAb=O,CAb=0,……CAb=0»则系统不能同时满足能控性和能观性条件。2n-2n-1(2)如果满足Cb=O,CAb=0,CAb=0,……CAb=0,CAb—0则系统总是又能控又能观的。【解】：(1)以三阶系统为例：Page35of84现代控制理论习题详解victory上传CVOXuc=CAXb2CAAbCbCAbCA2b0000223Ab=CAbCAbCAb=CA3b0CA2bCA3bCA4b0CA3bCA4b]VOXuc=0,VOXUc=0所以该系统不能同时满足能控性和能观性条件。(2)以三阶系统为例:CVOXUc=CAXb2CA[AbCbCAbCA2b00k0223Ab=CAbCAbCAb=kCA3bCA2bCA3bCA4bkCA3bCA4bVOXUc=k3=(CA2b)3K0VOW0,Ucナ〇,所以该系统既能控又能观。3-3-12&&已知系统的微分方程为&y&+6&&+Uy+6y=6u,试写出对偶系统的状态空间表达y式及其传递函数。【解】:因为G对偶(s)=bT(siAT)1CT=[C(siA)lb]T=G原系统T(s)又因为单输入/单输出系统传递函数矩阵为ー个元素,所以二者传递函数是相同的。G(s)=6s+6s+11s+632系统传递函数无零点,所以不会出现零极点对消现象,系统既能控乂能观。能控标准型为:0&x=06y=[600001x+0ull6110]x能观标准型为:0&x=10y=[0066011x+Ou1600l]xPage36of84现代控制理论习题详解victory上传&3-3-13已知系统的状态方程为x=101x+u,试求出它的能控标准型。121【解】:Uc=[b11Ab]=,rankllc=l<n=2«11所以系统不能控，不存在能控标准型。3-3-14已知系统的状态空间表达式为10&x=x24试求出它的能观标准型。y=[1l]x【解】:判系统的能观性:C11V0==,rankVO=2CA34所以系统能观。方法之一:①求变换阵TO=[T1TO=[T101ATI],T1=V01=1111211ATI]=,TO=1112②设x=TOx对原状态空间表达式做线性变换得：&04x=xl5y=[0l]x方法之ニ:依据特征多项式f(s)=siA=s25s+4直接可以写出能观标准型的A,C阵。04A=,C=[01]»15s2+6s+8s2+4s+33-3-15已知系统传递函数为G(s)=【解】:系统的传递函数可以写成:,试求能控标准型和能观标准型。Page37of84现代控制理论习题详解victory上传G(s)=s2+6s+8s+4s+322s+5s+4s+32+1传递函数无零极点对消,系统既能控又能观。能控标准型为：100&x=x+u341y=[52]x+u能观标准型为:035&x=x+ul42y=[01]x+u&3-3-16已知完全能控系统的状态方程为x=010x+u(试问与它相应的离散化方101程x(k+1)=【解】：cosTsinTsinT1cosTx(k)+u(k)是否一定能控。cosTsinTcosTsinTsinT1cosTx(k)+u(k),cosTsinT离散系统完全能控的条件为Mc矩阵满秩。已知x(k+1)=而Mc=[HGH]=1cosTsinTcosT(1cosT)+sin2T,所以系统是否能控,取决sinT(1cosT)+cosTsinT于采样周期T的取值使能控判别阵满秩。Mc=[H1cosTGH]=sinTcosT(1cosT)+sin2TsinT+2cosTsinTMc=2sinT(cosT1)当TNkn(k=1,2,Ln)时，rank(Mc)=2离散化方程也是能控的。3-3-17试将下列系统分别按能控性、能观性进行结构分解。121001,b=0,C=[111](1)A=00431Page38of84现代控制理论习题详解victory上传2210020,b=0,C=[111](2)A=1401【解】:(1)①按能控性进行结构分解Uc=bAb014A2b=000,rankUc=2139]所以系统不完全能控,需按能控性进行结构分解,构造非奇异变换阵Tc.010301001,Tl=100Tc=cl30010按能控性进行结构分解后的系统状态空间表达式为:0321&xcxc=142+0uxx&c001c0xcy=[121]xc②按能观性进行结构分解C111VO=CA=132,rankVO=2CA2195所以系统不完全能观，需按能观性进行结构分解，构造非奇异变换阵P01。111100132,P=211=0100312P01按能观性进行结构分解后的系统状态空间表达式为:Page39of84现代控制理论习题详解victory上传1001&x0x0+2u&=340x0111x00x0y=[100]x0(2)①按能控性进行结构分解Uc=b[Ab012A2b=000,rankUc=2101]所以系统不完全能控,需按能控性进行结构分解,构造非奇异变换阵Tc«010001001,Tl=100Tc=c100010按能控性进行结构分解后的系统状态空间表达式为:0141&xcxcx=122x+0u&c002c0xcy=[lll]xc②按能观性进行结构分解C111VO=CA=101,rankVO=2CA2121所以系统不完全能观,需按能观性进行结构分解，构造非奇异变换阵P01«011110101,P=110=0101100P01按能观性进行结构分解后的系统状态空间表达式为:Page40of84现代控制理论习题详解victory上传1001&x0x0+lu&=230x0211x00x0y=[100]x03-3-18试将下列系统分别按能控性和能观性进行结构分解。010230(1)A=102412000,b=0,¢=[3010]；10421001223,b=2,C=[112]« (2)A=2012【解】:（1）系统的特征方程为:f（入）=入IA=（入4）（X+3）（入+2）（入1）=0化为对角标准型,其变换阵为:00P=0101017001131121,317181.1270.14290.3330.510=0.333011001000P1化成对角标准型为:040030&x=00200001.6670x+0ul010y=[0013.333]x可以看出系统不能控也不能观,需按能控性和能观性进行结构分解。其中x3为能控能观的状态变量xco；xl为能控不能观的状态变量xco；x4为不能控能观的状态变量XC0；X2为不能控不能观的状态变量XC0将上述方程按XCO,XCO,Xc〇,XC〇的顺序排列,则有:Page41of84现代控制理论习题详解victory上传&x32000x31&xl=0400xl+l.667u&x0010x404&x20003x20y=[103.3330]x或写成&xco20x&c0=04xc000&axco00y=[103.33300xco100xc01.667u+10xc0003xco00]x（2）Uc=b[Ab11121226,rankU=3Ab=c2022]C112V0=CA=125,rankVO=3CA27411系统既能控又能观,无需分解。&&&&3-3-19已知系统的微分方程为&&+4y+3y=u+6u+8u,试分别求出满足下列要求的状态y空间表达式：（1）系统为能控能观的对角标准型;（2）系统为能控不能观的;（3）系统为能观不能控;（4）系统为不能控也不能观的。【解】:G（s）=s2+6s+8s+4s+322s+5s+4s+32+1=1.50.5++!〇s+1s+3传递函数无零极点对消,则原系统既能控又能观。Y(s)=1.50.5U(s)+U(s)+U(s)s+1s+3设：Page42of84现代控制理论习题详解victory上传1X1(s)=s+1U(s)X(s)=1U(s)2s+3&xl=xl+u&x2=3x2+u&xll0xll&=+ux203x21xy=1.5xl+0.5x2+u=[1.50.5]1+ux2人为增加一对偶极子,得:G(s)=(2s+5)s(s+4s+3)s2+1=2s2+5ss+4s2+3s3+1系统能控不能观的状态空间表达式为:000100&lx+0ux=0341y=[052]x+u系统能观不能控的状态空间表达式为:0&x=10y=[000x+5u0321400l]x+u系统既不能控乂不能观的状态空间表达式为:10&x=0300y=[l.50.5010x+lu000]x+u3-3-201&x=2已知系统的状态空间表达式为2y=[1100023x+2u,利用线性变换x=Tx,0122]x101其中T=001,对系统进行结构分解。试回答以下问题:011Page43of84现代控制理论习题详解victory上传(1)不能控但能观的状态变量以xl,x2,x3的线性组合表示:(2)能控且能观的状态变量以xl,x2,x3的线性组合表示:(3)试求这个系统的传递函数。【解】:1T110=011,010A=TAT1,B=TB,C=CT1线性变换后系统的状态空间表达式为:&xll20xl2&30x2+2ux2=2&x022x033y=[101]x系统的特征方程为:f(X)=XIA=(X1)2(X2)=0将线性变换后的系统变成约当标准型,变换阵为:010.5461P=010,Pl=010122220约当标准型为:2004~~~011,B=P1B=2,C=CP=[112.5]1A=PAP=OO1O~A为约当标准型,可以看出系统完全能观，状态そ不能控。x因为:x=Tx,x=P~x~=P1Txx413~=001xx200所以不能控但能观的状态变量“3=4xl+x2+3x3xPage44of84现代控制理论习题详解victory上传x&、10011x3x能控且能观的状态变量"=x2=&x22002xlx3线性变换不改变系统的传递函数,用约当标准型的能控能观的部分即最小实现求传递函数:“二20"+4u&xx201"y=[ll]xs2〇、〜へG(s)=Cco(slAco)1bco=[11]Xs101422s(s1)(s2)3-3-21s+3(s+1)(s+2)已知系统的传递函数矩阵为G(s)=,s+4s+3(1)求系统的能控标准型实现,画出系统的状态图;(2)求系统的能观标准型实现,画出系统的状态图;(3)用传递函数并联分解法,求系统对角标准型的实现,画出系统状态图。【解】:r=1,m=2,n=3.s+3(s+1)(s+2)Y1(s)U(s)Y(s)=G(s)U(s)=s+42s+3=12690s+s+U(s)+U(s)132s3+6s2+lls+611能控标准型为:10000x+0u&x=0161161yl9610=x+uy22311系统状态图如题3-3-21图1所示。Page45of84现代控制理论习题详解victory上传6u&x3x3&x2&x3x2&xlxl9yl62113y26题3-3-21图1能观标准型为:00a0ImB0x+Bu=lalIml0B2a2Im0000000000010001000109206611Ox+uO113106061602&x=Im020202Imyl0000100=x+uy20000011系统状态图如图题3-3-21图2所示。6611u9&xlX1&x3&x3x3&x5x5yl66311&x22x2&x4&x3x4&x6x6y26题3-3-21图2Page46of84现代控制理论习题详解victory上传对角标准型为:s+312s+1s+2Yl(s)(s+l)(s+2)0U(s)=U(s)+U(s)Y(s)=1s+412s+3s+3Yl(s)=21U(s)U(s)s+1s+21U(s)+U(s)s+31U(s),s+21U(s)s+3Y2(s)=设:X1(s)=1U(s),s+1X2(s)=X3(s)=&0xllxll0x=020x+lu&22x3003x31&Yl(s)=21U(s)U(s)=2X1(s)X2(s)s+1s+21U(s)+U(s)=X3(s)+U(s)s+3Y2(s)=xlyl2100y=x2+u2001xl3系统状态图如题3-3-21图3所示。&xlxl2yi&x2x22&x3x3y23题3-3-21图3Page47of84现代控制理论习题详解victory上传3-3-22已知系统的微分方程为&&&2yl+2yl+y2+y2=ul+u2(1),试求该系统的最小实现。&&&yl+yl+y2+y2=ulu2(2)【解】:由(1)式ー(2)式和2X(2)式-(1)式得:&yl+yl=2u2&&y2+y2=ul3u2在零初始条件下,拉氏变换得:Yl(s)=2X1U2(s)s+1Y2(s)=s+111[sU1(s)3U2(s)]=U1(s)3XU2(s)s+1s+1s+111=U1(s)U1(s)3XU2(s)s+1s+11X1(s)=s+1U1(s)X(s)=1U(s)22s+1&2xl00ulxll0xll0ulyl0&=x+01u,y=13x+10ux20122222Uc=[b1010Ab]=,rankUc=n=20101013C,rankV=n=2V0==0CA0231系统完全能控能观,所以上述系统为最小实现。3-3-23从传递函数是否出现零极点对消的现象出发,说明下图题3-3-23图中闭环系统E的能控性与能观性和开环系统E0的能控性与能观性是・致的。u(t)L£0y(t)题3-3-23图Page48of84现代控制理论习题详解victory上传【解】:设开环系统的传递函数为G0(s)=M(s),则开环系统能控且能观的条件是无零极点D(s)M(s)。M(s)+D(s)对消,即M(s)和D(s)无公因子。而闭环系统的传递函数为G(s)=①开环系统传递函数GO(s)有零极点对消时，M(s)和D(s)有公因子,设为(s+a)。则闭环系统传递函数G(s)=(s+a)M'(s)也有零极点对消,所以闭环系统Z的能控(s+a)(M'(s)+D'(s))性与能观性和开环系统Z0的能控性与能观性是一致的。②开环系统传递函数GO(s)没有零极点对消时,M(s)和D(s)没有公因子,则闭环系统传递函数G(s)=M(s)也没有公因子，没有零极点对消,所以闭环系统E的能控M(s)+D(s)性与能观性和开环系统Z0的能控性与能观性也是一致的。第四章3-4-1试确定下列二次型是否正定。控制系统的稳定性(1)v(x)=xl2+4x22+x32+2xlx26x3x22xlx3(2)v(x)=xl210x224x32+6xlx2+2x3x2(3)v(x)=10xl2+4x22+x32+2x1x22x3x24x1x3【解】:⑴1111111,1>0,11=3>0,1P=4343=4く014131131二次型函数不定。(2)0130133101,1<0,13=1>0,3101=3<0P=310014014二次型函数为负定。(3)Page49of84现代控制理论习题详解victory上传101210121,10>0,101=39>01P=4141=17>014211211二次型函数正定。3-4-2试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。v(x)=alxl2+blx22+clx32+2xlx24x3x22xlx3【解】:v(x)=alxl2+blx22+clx32+2xlx