北师大版数学八年级上册全册各章知识点总结

北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结

组勾股数分别是：2n,n2-1,n

2+1

米，梯子滑动后停在DE位置上，如图（2）所示，测1、勾股定理

第一章勾股定理

如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）⋯⋯4、常见题型应用：（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高a，bc的平线/周长/面积⋯⋯方，即a2b2c2

思维入门指导：梯子顶端A下落的距离为AE，即求勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积 的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证⋯⋯（通过（3）判定三角形形状：a2+b2>c2锐角~，a2+b+b=c ~ a+b c 2 2直角，2 2<2钝角勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平2、勾股定理的逆定理 方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定如果三角形的三边长a，b，c有关系a2b2c2，那么这形状个三角形是直角三角形。 （4）构建直角三角形解题2223、勾股数：满足a2b2c2的三个正整数a，b， 例1.已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为c，称为勾股数。 10。求直角三角形的两直角边。常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5） 解：设两直角边为3x，4x，由题意知：（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）⋯⋯规律：（规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边（3x）2 （4x）2 100，9x2 16x225x2 100，x2是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a为奇数且a<b时，如果b+c=a2那么a,b,c就是一组勾 ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。中S考突破S

AE的长。已知AB和BC，根据勾股定理可求AC，只要求出EC即可。Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，∴AC=2∵BD=0.5，∴CD=2RtECDEC2ED2CD22.52222.25∴EC=1.5AEACEC21.50.50.5点拨：要考虑梯子的长度不变。例5.如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=9AB=39，BC=36，求这块地的面积。4思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25） （1）中考典题（9,40,41）⋯⋯ 例如图（1）AB2.5米，顶端（2）大于2的任意偶数，2n（n>1）都可构成一 A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1/8

成规则图形，若连结BD，似得要领，连结AC乎不解：连结AC，在Rt△ADC中，

ABC

ACD

即可。PAGEPAGE9/8AC15在△ABC中，AB2=1521

负数没有平方根B算术平方根定义如果一个非负数x的平方等于那么这个非负数x就叫做a平方根为非负数a0正数的平方根有2个，它们互为相反数平方根0的平方根是0a，B算术平方根定义如果一个非负数x的平方等于那么这个非负数x就叫做a平方根为非负数a0正数的平方根有2个，它们互为相反数平方根0的平方根是0a，实即数负有理数x a2a，正无理数无理数无限不循环小2ACCD2225，就平方根，记为 a2AC2BC215362AC2BC21536215212AB2ACSABCSACDBC2，1AC BC2ACB190°ADCD2152361129270254216(m

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时x3x的立方等于a，即x就叫做a的立方根，记为之，归纳起来有四类：x33a. a， a，

那么这个（

开方开不尽的数，如7,

2等；答：这块地的面积是216平方米。

）有特定意义的数，如圆周率， 或化简后含概念有理数和无理数统称实数 有π的数，如π/3+8等；点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角

正数 正数分类

有一定规律，但并不循环的数，如形判定条件。

第二章实数

0负数3.

0.1010010001等；某些三角函数值，如sin60o等绝对值、相反数、倒数的意义同有理

的倒数、相反数和绝对值二 、基本知识回顾

法则、运算规律与1、相反数1.无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。

有理数的运算法则运算规律相同。

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数无限循环小数

有限小数和

看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也 根。特别地，0的算术平方根是。表示方法：记作可看成它的相反数，|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则 “a”，读作根号。性质：正数和零的算术平方根

2、实数大小比较的几种常用方法a≤0。3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

只有一个，零的算术平方根是零。2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正数a的平方根记做“aa”。性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。注意a的双重非负性：被开方数与结果均为非负数。即

数总比左边的数大。求差比较：设、b是实数，ab0ab,ab0ab,ab0a、b1ab;1ab;1ab;bbb（4）、babb。5、估算利用非负数解题的常见类型

a≥0，。3、立方根 b。

（5）平方法：设a、b是两负实数，则

a2b2a1.x5|y3|0，求x22y解：x50，|y3|例0，且x5|y3|0x5x5x 00，|y3|300yxx22yy325 19点拨：利用算术平方根，绝对值非负性解题。三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方

一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根）。表示方法：记作3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：3a3a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。四、实数大小的比较1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

倒数法：设、b,1/a>1/b，则a<b;同负，如果1/a>1/b，则a>b五、算术平方根有关计算（二次根式）1、含有二次根号“ ”；被开方数a必须是负数。2、性质：（1）（a）2a（a0）（2）

a(a 0)

3) 2323；

2aa(a 0)

4) 5252

段长度，则所得线段为所求.（a?b

3ab(a0

）,b0)

通过以上计算，观察规律，写出用n（n为正整数）ab a?b(a0,b0)表示上面规律的等式 。_

二、旋转（ ） b a 解

1、定义：在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向4（（a0,b）aabb

a (a0,b0)

22222211；321；431；541一、平移

转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称3、运算结果若含有“a ”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式六、实数的运算实数的运算顺序先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果

1、定义：在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。1 1规律：第三章图形的平移与旋转2、要素（或条件）：方向，即前后对应点的射线方向；距离，即对应点之间的距离3、性质：平移前后两个图形的形状和大小不变（即全等图形），对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等。

为旋转中心，转动的角叫做旋转角。2、要素（或条件）：旋转中心（定点）、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度（0~3600）3、性质：旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。4、旋转作图：作图步骤：观察基本图案（确定关键点）作答、把各关键点依次与旋转中心有括号，就先算括号里面的。（3有括号，就先算括号里面的。（3）运算律加法交换律加法结合律ab(ab)baca(bc)乘法交换律乘法结合律乘法对加法的分配律例.计算：ab(ab)ca(bc)baa(bc)abac

连接2、按要求向顺时针/逆时针1) 21212) 3232；

线段的平移作法：作法1：将线段两端点分别平移，然后将两个平移后的点连成线段，即为原线段平移后的线段；作法2

旋转相应角度

3、截取对应线段4、连接对应点5、作答三、简单的图案设计：第四章四边形性质探索一、四边形的相关概念1、四边形：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。2、四边形具有不稳定性3、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。

（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交3、平行四边形的判定形

1、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质菱形的四条边相等，对边平行菱形的相邻的角互补，对角相等线平分一组对角中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360n（n-2）×180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。6nn边形的一个顶点出发能引（n-3）n边形分成（n-2）

定理1边形定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行

等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。、菱形的判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形定理1：四边都相等的四边形是菱形定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积形。多边形的对角线共有二、平行四边形

条。n（n2

四边形4、两条平行线之间的距离（平行线间的距离处处

S 两条对角线乘积的一半菱形1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、平行四边形的性质平行四边形的对边平行且相等。

相等）两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

四、矩形平行四边形相邻的角互补，对角相等平行四边形的对角线互相平分。

5三、菱形

=底边长×高=ah平行四边形1、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质

AE AB2BE5S菱形 352

。又OAOC，OA23cm2225矩形的对边平行且相等矩形的四个角相等，都是直角矩形的对角线相等且互相平分中心是对角线的交点（3、矩形的判定定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形定理1：有三个角是直角的四边形是矩形

AC、BD，相交于又AOBD，OB AB2OA2BAD：ABC2：1ABC60°，又ABBC∴△ABC是等边三角形，∴AC=52 53

22：对角线相等的平行四边形是矩形 534、矩形的面积：S五、正方形（3~10 分）

=ab矩形

252552 2

255353cm1、正方形的定义

BD点拨：菱形的两种求面积的方法都有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形的性质

S菱形六、梯形

比较常用，注意根据题中所给的条件2灵活选择。有时要与一些特殊角，比如3060（4（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。3、正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证它是菱形先证它是菱形，再证它是矩形4、正方形的面积S正方形=a1.20cm12，设正方形边长为a，对角线长为b求菱形的面积？解：如图所示，菱形ABCD，由于周长为20cm，∴AB=5cmADBEC又A：B2：1，A120°，B60°ABCE，则∠BAE=30°15BEAB2225522225 3正方形的四个角都是直角每一条对角线平分一组对角

（一）1、梯形的相关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。梯形的两底的距离叫做梯形的高。2、梯形的判定四边形是梯形。一组对边平行且不相等的四边形是梯形。（二）直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地，梯形的分类如下：一般梯形

填空题可直接用）①S①SABDSBAC；②③SAODSBOC；SADCSBCD

（四）梯形的面积如图，1S （CDAB）?DE梯形ABC2梯形中有关图

前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。梯形直角梯形特殊梯形

等腰梯形

七、有关中点四边形问题的知识点：（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；

对称中心，并且被对称中心平分。关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或（三）等腰梯形1、等腰梯形的定义两腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性质（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补,不同底的两个角互补。等腰梯形的对角线相等。即两底的垂直平分线。3、等腰梯形的判定定义：两腰相等的梯形是等腰梯形梯形

顺次连接菱形的四边中