第二讲柯西积分公式高阶导数选编课件

第二讲

§3.3柯西积分公式§3.4解析函数的高阶导数

第二讲§3.3柯西积分公式§3.3柯西积分公式

（Cauchyintegralformula）§3.3柯西积分公式分析DCz0C1分析DCz0C1DCz0C1∴猜想积分DCz0C1∴猜想积分其中曲线C是按逆时针方向取的，我们称它为柯西积分公式..定理3.7设f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，是D内任一点，则有柯西积分公式其中曲线C是按逆时针方向取的，我们称它为.定理3.7设f(

第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在C内有一个奇点z0，该奇点在被积函数解析式的分母。此经典例题是柯西积分公式的特例，f(z)=1第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在C内有一个奇说明:1、有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质。推论1（平均值公式）设在内解析，说明:1、有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可说明：一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.证明说明：一个解析函数在圆心处的值证明推论2设在由简单闭曲线围成的二连通区域并在曲线的内部，例1求下列积分的值推论2设在由简单闭曲线围成的二连通区域并在曲线的内部，例1

解解例2解CC1C21xyo例2解CC1C21xyo

由平均值公式还可以推出解析函数的一个重要性质，即解析函数的最大模原理。解析函数的最大模原理，是解析函数的一个非常重要的原理，它说明了一个解析函数的模，在区域内部的任何一点都达不到最大值，除非这个函数恒等于常数。由平均值公式还可以推出解析函数的一个定理3.8(最大模原理)设则在区域推论1在区域若其模在区域内达到最大值，则此函数必恒等于常数.推论2设在有界区域连续，则必在区域的边界上达到最大值。定理3.8(最大模原理)设则在区域推论1在区域若其模在区域

§3.4解析函数的高阶导数

(Thehigherorderderivativeofanalyticfunction)

一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数,它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点和实变函数完全不同.一个实变函数在某一区间上可导,它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.§3.4解析函数的高阶导数一个解析函数不仅形式上，形式上，.定理3.9设f(z)在以简单闭曲线C所围成的区域D内解析.在上连续，则f(z)在D内有任意阶导数，且.定理3.9设f(z)在以简单闭曲线C所围成的区域D内一个解析函数的导数仍为解析函数。一个解析函数的导数仍为解析函数。

第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在C内有一个奇点z0，该奇点在被积函数解析式的分母。高阶导数公式是柯西积分公式的推广，柯西积分公式是高阶导数公式当n=0时的情形。等号右边的分式形式复杂难记，可看做是高等数学中函数泰勒级数里(z-z0)n的系数。第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在C内有例3求下列积分的值,C为正向圆周:|z|=r>1.解:1)函数在C内的处不解析,但

在C内却是处处解析的.例3求下列积分的值,C为正向圆周:|z|=r>第二讲柯西积分公式高阶导数选编课件高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,而在于利用求导计算积分.高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,而柯西不等式与刘维尔定理定理3.10设函数f(z)在以内解析,又,则此式称为柯西不等式.柯西不等式与刘维尔定理定理3.10设函数f(z)在以内解.证明由导数公式，有其中，n=1,2,…

.证明由导数公式，有其中，n=1,2,…说明:（1）此不等式称为柯西不等式.（2）在C上解析的函数，我们称它为一个整函数，例如都是整函数，关于整函数我们有下面重要的刘维尔定理.说明:（1）此不等式称为柯西不等式.都是整函数，关于整函数我刘维尔定理定理3.11有界整函数一定恒等于常数.证明由f(z)是有界整函数，即存在使得f(z)在上解析.由柯西公式，有令，可见从而f(z)在C上恒等于常数.

刘维尔定理定理3.11有界整函数一定恒等于常数.证明由f

应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理，莫勒拉定理：如果函数f(z)在区域D内连续，并且对于D内的任一条简单闭曲线C，我们有那么f(z)在区域D内解析。应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的小结：本章五个定理都是为积分计算服务1)柯西-古萨定理用于计算闭合曲线内部无奇点的积分。2)高阶导数公式用于计算闭合曲线内部有一个奇点的积分。(其中n=0就是柯西积分公式).3)复合闭路变形原理用于化简闭合曲线内部有多个奇点的积分。4)只有N-L公式用于不闭合曲线积分。小结：本章五个定理都是为积分计算服务1)柯西-古萨定理用于计

课后作业：一、思考题：3

二、习题三：10-15课后作业：一、思考题：3人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。人有了知识，就会具备各种分析能力，第二讲柯西积分公式高阶导数选编课件

第二讲

§3.3柯西积分公式§3.4解析函数的高阶导数

第二讲§3.3柯西积分公式§3.3柯西积分公式

（Cauchyintegralformula）§3.3柯西积分公式分析DCz0C1分析DCz0C1DCz0C1∴猜想积分DCz0C1∴猜想积分其中曲线C是按逆时针方向取的，我们称它为柯西积分公式..定理3.7设f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，是D内任一点，则有柯西积分公式其中曲线C是按逆时针方向取的，我们称它为.定理3.7设f(

第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在C内有一个奇点z0，该奇点在被积函数解析式的分母。此经典例题是柯西积分公式的特例，f(z)=1第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在C内有一个奇说明:1、有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质。推论1（平均值公式）设在内解析，说明:1、有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可说明：一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.证明说明：一个解析函数在圆心处的值证明推论2设在由简单闭曲线围成的二连通区域并在曲线的内部，例1求下列积分的值推论2设在由简单闭曲线围成的二连通区域并在曲线的内部，例1

解解例2解CC1C21xyo例2解CC1C21xyo

由平均值公式还可以推出解析函数的一个重要性质，即解析函数的最大模原理。解析函数的最大模原理，是解析函数的一个非常重要的原理，它说明了一个解析函数的模，在区域内部的任何一点都达不到最大值，除非这个函数恒等于常数。由平均值公式还可以推出解析函数的一个定理3.8(最大模原理)设则在区域推论1在区域若其模在区域内达到最大值，则此函数必恒等于常数.推论2设在有界区域连续，则必在区域的边界上达到最大值。定理3.8(最大模原理)设则在区域推论1在区域若其模在区域

§3.4解析函数的高阶导数

(Thehigherorderderivativeofanalyticfunction)

一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数,它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点和实变函数完全不同.一个实变函数在某一区间上可导,它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.§3.4解析函数的高阶导数一个解析函数不仅形式上，形式上，.定理3.9设f(z)在以简单闭曲线C所围成的区域D内解析.在上连续，则f(z)在D内有任意阶导数，且.定理3.9设f(z)在以简单闭曲线C所围成的区域D内一个解析函数的导数仍为解析函数。一个解析函数的导数仍为解析函数。

第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在C内有一个奇点z0，该奇点在被积函数解析式的分母。高阶导数公式是柯西积分公式的推广，柯西积分公式是高阶导数公式当n=0时的情形。等号右边的分式形式复杂难记，可看做是高等数学中函数泰勒级数里(z-z0)n的系数。第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在C内有例3求下列积分的值,C为正向圆周:|z|=r>1.解:1)函数在C内的处不解析,但

在C内却是处处解析的.例3求下列积分的值,C为正向圆周:|z|=r>第二讲柯西积分公式高阶导数选编课件高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,而在于利用求导计算积分.高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,而柯西不等式与刘维尔定理定理3.10设函数f(z)在以内解析,又,则此式称为柯西不等式.柯西不等式与刘维尔定理定理3.10设函数f(z)在以内解.证明由导数公式，有其中，n=1,2,…

.证明由导数公式，有其中，n=1,2,…说明:（1）此不等式称为柯西不等式.（2）在C上解析的函数，我们称它为一个整函数，例如都是整函数，关于整函数我们有下面重要的刘维尔定理.说明:（1）此不等式称为柯西不等式.都是整函数，关于整函数我刘维尔定理定理3.11有界整函数一定恒等于常数.证明由f(z)是有界整函数，即存在使得f(z)在上解析.由柯西公式，有令，可见从而f(z)在C上恒等于常数.

刘维尔定理定理3.11有界整函数一定恒等于常数.证明由f

应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理，莫勒拉定理：如果函数f(z)在区域D内连续，并且对于D内的任一条简单闭曲线C，我们有那么f(z)在区域D内解析。应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的小结：本章五个定理都是为积分计算服务1)柯西-古萨定理用于计算闭合曲线内部无奇点的积分。2)高阶导数公式用于计算闭合曲线内部有一个奇点的积分。(其中n=0就是柯西积分公式).3)复合闭路变形原理用于化简闭合曲线内部有多个奇点的积分。4)只有N-L公式用于不闭合曲线积分。小结：本章