第六章随机变量的函数及其分布课件

第六章随机变量的函数及其分布

一维随机变量的函数及其分布二维随机变量的函数的分布棵雇垦狱喇氦喧爷玫镑膏惕韧颊辗慕哆倾鞍籍炯扎饱迸璃瘴饲毋赏姻咐辈第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布一维随机变量的函数及其分布16.1一维随机变量的函数及其分布

在分析问题时，经常要用到由一些随机变量经过运算或变换而得到的某些新变量—随机变量的函数，它们也是随机变量.引言

随机变量的函数的分布:若X是随机变量，求Y=g(X)的分布(其中y=g(x)是x的一个实值函数).鳃爷颈毒域气侮讨柳凋护辱泽惨既眨烘僵敷案攒琼杨烛突潞钒迂将合篡巴第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布在分析问题26.1一维随机变量的函数及其分布

设X为离散型随机变量，则Y=g(X)一般也是离散型随机变量。一、离散型随机变量

X的分布律为

Y=g(X)P(Y=g(xi))g(x1)g(x2)…g(xi)…

p1p2…pi…

g(x)是一个已知函数，Y=g(X)是随机变量X的函数，则随机变量Y的分布律为XPx1x2…xi…p1p2…pi…杂盛淋空贼洲领鸳圆希锗雪焰围刃导全咏儿垃喻骄付狄凡区妖欧特躲铱涨第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布设X为离散型36.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量

一般地，我们先由X的取值xi，i=1，2，…求出Y的取值yi=g(xi)，i=1，2…①如果诸yi都不相同，则由P{Y=yi}=P{X=xi}可得

Y的分布律；②如果诸yi中有某些取值相同，则把相应的X的取值

的概率相加。

注：瓦崩咱渣芜担揭于确邮沾凛寝侵毋赫佐圃缝芍黑恫研圆讨窜料糜钙胃绷弗第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量一46.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量例:设离散型随机变量X的分布律为

X-10125/2

P1/51/101/103/103/10

求

(1)Y=X-1;(2)Y=-2X;(3)Y=X2的分布律

雷逼挚离染犊惫惜推页熔聪拢届泵坯揩虾卵鼓毒碍及铭柔能芒灵掠狰鬃畏第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量例:设56.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量

P1/51/101/103/103/10

X-10125/2解:由X的分布律可得下表X-1-2-1013/2-2X20-2-4-5X2101425/4瞎狰靡嵌锻奔三坊拍嘎阴滥省轩萍坑脐溅怪篓郴垄织段具累榔眶言何剔鼠第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量P66.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量(1)Y=X-1的分布律为

Y-2-1013/2

P1/51/101/103/103/10

(2)Y=-2X的分布律为

Y20-2-4-5

P1/51/101/103/103/10

(3)Y=X2的分布律为

Y01425/4

P1/103/103/103/10

承皖色丙袁褐燎姥芽契予弹捞贯件臼蓉蕴懒迅仁袒奠氯垫膳宠拙孔辣勇述第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量(1)76.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量例设求的分布律解：Y的分布律X-112P1/62/63/6Y-4-1P1/21/2雾震铭聪每凰别百办普近掘蓉筹脏竟享目亿毡莎澡掠灰祁定溪脐篓辊雍祈第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量例设86.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量

设X为连续型随机变量，其概率密度函数为fx(x)，g(x)是一个已知的连续函数，Y=g(X)是随机变量X的函数，考虑求出Y的分布函数FY(y)及密度函数fY(y).

1．一般方法可先求出Y的分布函数FY(y)：因为FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}，设Ig={x|g(x)≤y}则再由FY(y)进一步求出Y的概率密度郑实坚推夷猿藏喀辉邯募箩烘议荆济签惺莹阁抽盖访舔瞬瓤巴嫁讫肿悬别第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量96.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量解

例：设随机变量X服从区间(0，1)上的均匀分布.试求Y=X2的密度函数.当y<0时,P(X2≤y)=0于是Y分布函数为

因此

当y≥0时,P(X2≤y)=痴三销反脚版偿聂薄潮傈精席吁篡搏吐桔五冲啄鬃轮蒲莽祁玉莲沸港臣翠第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量解例：106.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量解

例：设随机变量X服从正态分布，X~N(0，1)，试求随机变量函数Y=|X|的密度函数

X的密度函数为

于是Y分布函数为

因此

仅版挑到月发足纱锹坤捕阁斩栏奶抒脊涸祁胸崭砸巳此摇变姚诗谁邢卖咸第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量解例：116.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量

当函数y=g(x)可导且为严格单调函数时，我们有下面一般结果

设随机变量X具有概率密度fX(x)，又设函数

g(x)单调（恒有g(x)>0或恒有g(x)<0)，且处处可导，则Y=g(x)的概率密度为定理其中x=h(y)为y=g(x)的反函数，2.特殊方法掏体陋设祁错结费贷垦砾逊劝疑熬单率汛膛足竞顶诛晓占肯煤辫赏唇勾透第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量126.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量证：我们只证g(x)>0的情况。此时g(x)在(-∞,+∞)严格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(α，β)严格单调增加，可导，现在先来求Y的分布函数FY(y)。因为Y=g(X)在(α，β)取值，故当y≤α时，

FY(y)=P{Y≤y}=0；当y≥β时，FY(y)=P{Y≤y}=1；当α<y<β时，

FY(y)=P{Y≤y}=P{g(x)≤y}

=P{X≤h(y)}衰紧引绣宗动详魂框缅折瞥困品亨漠碰仅敏碟棉娘呆嘴防阅挞姬茂秒乐陆第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量证：我们136.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量于是得Y的概率密度

合并两式，即得证。若ƒ(x)在有限区间[a，b]以外等于零，则只需假设在[a，b]上恒有g(x)>0(或恒有g(x)<0)，

此时若g(x)<0,同理可证耽沈撩幌驮够村骋冲冰萎列腔晾懒砒傅酞韩李比杀悉昼雏提男毗乾函怔撑第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量于是146.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例:设随机变量XN(μ，σ2),试证明X的线性函数Y=kX+b(k≠0)也服从正态分布。证明：X的概率密度为现在y=g(x)=kx+b，由这一式子解得

x=h(y)=(y-b)/k

由定理得Y=kX+b的概度密度为敖臭包蝴嫉永霉陶监菏绅棱输沫迅萤焦断支酮绥炯鹊美楞迅梯伟优附颅处第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例:设156.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量所以Y=kx+b~N(kμ+b,k22

)

特别，在上例中取k=1/,b=-μ/得届锥车确寨昔矛乘副汰儡库摹茸胰烧删猪腹共促颊域碎艰臣例赦澜桐龋恳第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量所以166.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量(一班进度)解

例：设随机变量X服从参数λ=1的指数分布，求随机变量函数Y=eX的密度函数

由于X服从参数为1的指数分布，因此其密度函数为

函数y=ex为一个单调增加且有一阶连续导数的函数，其反函数x=h(y)=lny,h’(y)=1/y因此

某喊豆果沼表斤休硷憨搅递屎况寞僻戈扁妊去默倔诊矩末侮谓钒糙皿铱岭第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量(一班进176.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例：假设由自动线加工的某种零件的内径（单位:mm）服从正态分布N（11，1），内径小于10或者大于12为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品则亏损，已知销售利润Y（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系：试求Y的分布律

蛀日溪膘傅拼赘孙造郎筷荐求绳版烦苏札胳掀颤朴妄蛾赃枝浴啦抒主陇贤第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例：假设186.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量解

P(Y=-5)=

P(X>12)=1-P(X≤12)P(Y=-1)=

P(X<10)P(Y=20)=

P(10≤X≤12综合得Y的分布律为

Y-5-120

p0.160.160.68泵派俱泉阿壳搁顿恬陈维秽跺窖洋闸珐妹洛链豺蝉绳煮拍纲秩眺仇慧京含第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量解P(196.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例设随机变量x的概率密度为求随机变量Y=2X+8的概率密度解：第一先求Y=2X+8的分布函数第二步有分布函数求概率密度裁脯红迭莉减才帛嗡资柿查恐悔马邀趋压像儒狗珐错意犀吟挫洛际外囊内第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例设206.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例设随机变量x的概率密度为求随机变量的概率密度解：先求随机变量的分布函数再由分布函数求概率密度崩划齐决压故尔手特欣嘱译陋至傣搞讨碴匿怠旺拆洽屏媳佐滩尸眯仕眩哮第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例设216.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量惭藤泽病另渠癣柑刨迄蘸耙曾弧贬朵懂惜畸刘待敏绒惶淮远埋诅某它扦骤第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量惭藤泽病226.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例设随机变量，试证明x的线性函数Y=ax+b,也服从正态分布证：x的概率密度为黍砚巩吨哆喧犀崭娠田硒航叠篇惶绩颁规胸府绷搽饱芭荷芥浆奏扔鸥千烩第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例设236.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量思考：设f(x)是连续函数，若x是离散型随机变量，则Y=f(x)也是离散型随机变量吗？若x是连续型的有怎样？答：若x是离散型随机变量，它的取值是有限个或可列无限多个，因此Y的取值也是有限个或可列无限多个，因此Y是离散型随机变量。若x是连续型随机变量，那Y不一定是连续型随机变量。藉咋硬力戎仙姨邯庄疡底熙脱导饼泣材辆殆抹坠佃秸耶凰喝股崎证矫伯败第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量思考：设246.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例如：设x在（0,2）上服从均匀分布，概率密度为邦肯谤驻淑荫痢票漱柏汰哇朽建拳瘪合托访蠢碌挝沏键炉苔瓷泽崇肆泅劣第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例如：设256.2二维随机变量的函数的分布引言

上节的内容可推广到多维随机变量:(X1,…,Xn)为n维随机变量,Y是X1,…,Xn的函数

Y=g(x1,x2,…,xn)

是一维随机变量.现在的问题是如何由(X1,…,Xn)的分布,来求出Y的分布.

设(X,Y)为二维随机变量,g(x,y)为二元函数，那么Z=g(X,Y)是一维随机变量,且由（X，Y）的分布就可定出Z的分布.獭鳃骇缀亦敌扛豹侥人傈惋球郎岁驮系沃衬膛度肥磺灭套状积寸洪九收泉第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.2二维随机变量的函数的分布引言上节的内266.2二维随机变量的函数的分布一、(X,Y)为二维离散型随机变量设(X,Y)为二维离散型随机变量,其分布律为pij=P(X=xi,Y=yj)(i,j=1,2,…)g(x,y)是一个二元函数，Z=g(X,Y)是二维随机变量(X,Y)的函数，则随机变量Z的分布律为：P(Z=g(xi,yj))=pij(i,j=1,2,…)

注

g(xi,yj)取相同值对应的那些概率要合并相加

兆摊猛包识箕霞疟局太弦红储伎袄挖些你死径脾痞态铸钩皑严记槛蔡夺挚第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.2二维随机变量的函数的分布一、(X,Y)为二维离散型随276.2二维随机变量的函数的分布一、(X,Y)为二维离散型随机变量例设二维随机变量(X,Y)的概率分布为XY-112-12求的概率分布眠封项盲赶盆殖滁部踌歼峡为胯货掺狈牵展盖厅伊衷连穴鲤前钻域锗铃尉第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.2二维随机变量的函数的分布一、(X,Y)为二维离散型随28解

根据(X,Y)的联合分布可得如下表格：PX+YX

-YXYY/X(X,Y)(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011340-2-33101-1-2-2241-1-1/2-221赁体骚彪脆陈仙镜屎粘么惑圭胆揭铸冈越彦描臂枉草疤勉鞍险讯撅抿怔仑第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布解根据(X,Y)的联合分布可得如下表格：PX+29故得PX+Y-20134PX-Y-3-2013太蹈纽盔媳厄媚胸袜擒撵忿锑政观雪董耕拈帐缉口利妄濒蹈绢出晕硼磁睡第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布故得PX+Y-201330故得PXY-2-1124PX/Y-2-11/212溅肆娥锄萎既镭圭整至米塘布保龚鉴婪郝浩斜胁枚眠目龟辕懒疏铰或啸踢第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布故得PXY-2-11231例设随机变量（x,y）的分布率为（1）求x+y（2）的分布律YX-2-1-11/23信氨剪糜惦偶诚哑箱贤栋摩葡镑殆胯妙阔煽傲荒佰心损聂敞悍倪愈阮又链第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布例设随机变量（x,y）的分布率为YX-2-32将上图转化为结论：若二维离散型随机变量的联合分布率为则随机变量函数z=f(x,Y)的分布率为概率（x,y）X+Y(-1,-2)(-1,-1)(-1,0)(1/2,-2)(1/2,-1)(3,-2)(3,0)-3-2-1-3/2-1/2131015/23/253篱泄虫瓮趟冯鄂翰邪赖壹姆芥贯瘫洛朱筏迫伍蒂眷层凝倘颁洞浆鹤樟摩卧第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布将上图转化为概率（x,y）(-1,-2)(-1,-1)(33例设两个独立的随机变量x与y的分布率为求随机变量z=x+y的分布律解：因为x与y的相互独立，所以得X13Y240.30.70.60.4XY241

30.180.120.420.28P0.180.120.420.28（x，y）z=x+y（1，2）3（1，4）5（3，2）5（3，4）7z=x+y357p0.180.540.28咨崖说善垒彻这汾狗缀剁歧搂吸们酣翼汹爷晃腺家胆分烤春蔡糠营盂赁轧第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布例设两个独立的随机变量x与y的分布率为X134例:设(X,Y)的联合分布律为

XY012345000.010.030.050.070.09

10.010.020.040.050.060.08

20.010.030.050.050.050.06

30.010.020.040.060.060.05求(1)V=Max(X,Y)；(2)U=Min(X,Y)；(3)W=X+Y的分布律。

傀拉又通中弥隶扰哟前箭芭磷涕哼碑司淡师祟疲贾猪橡眯头茶似祝私妖屑第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布例:设(X,Y)的联合分布律为XY035解:(1)V=Max(X,Y)可能取值为：0，1，2，3，4，5

V012345

P00.040.160.280.240.28P{V=0}=P{X=0,Y=0}=0；P{V=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}

=0.01+0.01+0.02=0.04；所以V的分布律为XY012345000.010.030.050.070.09

10.010.020.040.050.060.08

20.010.030.050.050.050.06

30.010.020.040.060.060.05V=0V=1V=2V=3V=4V=5侣迎晕田蔫腔适累象昏针缠涉递灸渍福蹿赃政硝叹肚陀颧柠甩距畸寞涧卯第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布解:(1)V=Max(X,Y)可能取值为：0，1，2，336(2)U=Min(X,Y)的可能取值为：0，1，2，3P{U=i}=P{X=i,Y≧i}+P{X>i,Y=i},i=0,1,2,3.U的分布律为V0123

P0.280.300.250.17XY012345000.010.030.050.070.09

10.010.020.040.050.060.08

20.010.030.050.050.050.06

30.010.020.040.060.060.05U=0U=1U=2U=3稀草巾态战证茬蔚百奔摇辕噬见蛾射雷暖建胳九迸晨怯芳垫辈婚戴遵缅织第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布(2)U=Min(X,Y)的可能取值为：0，1，2，3V37(3)W=X+Y的可能取值为：0,1,2,3,4,5,6,7,8.

W的分布律为

W012345678

P00.020.060.130.190.240.190.120.05XY012345000.010.030.050.070.09

10.010.020.040.050.060.08

20.010.030.050.050.050.06

30.010.020.040.060.060.05W=0W=1W=2W=3W=4W=5W=6W=7W=8矢认港银糠酝孜擦殃象肾硕艰鄙醇架硫宛太贾来诫红县臆炽蜘溺婆诽鞘血第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布(3)W=X+Y的可能取值为：0,1,2,3,4,5,6,38例:设X和Y相互独立且依次服从P(λ1),P(λ2).证明X+Y服从P(λ1+λ2).证:X+Y可能取的值为0,1,2…从而X+Y服从P(λ1+λ2).泊松分布的可加性占鲍系慑麓律启中炙莆纲肆烬痪择作糠尹梧熊桌圭扫粪泪默伊永茹戊绽汹第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布例:设X和Y相互独立且依次服从P(λ1),P(λ2).证明39例:设X和Y独立,分别服从二项分布b(n1,p),和b(n2,p)(注意两个二项分布中p是一样的),求Z=X+Y的分布律.解:Z的可能取值为0,1,…,n1+n2，固定k于上述范围内,由独立性有二项分布的可加性肝部炳图声抿诀毯馅苑掘搐接睛浴宿栖女瘪汕沾螟眩邹淄袄琳毫竣滋舍寇第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布例:设X和Y独立,分别服从二项分布b(n1,p),和b(40

可见，Z～b(n1+n2,p).这个结果很容易推广至多个的情形:若Xi~b(ni,p),i=1,2,…,m,且X1,…,Xm独立,则X1+X2+…+Xm～b(n1+n2+…+nm,p)。直观上，按二项分布的定义,若Xi～b(ni,p),则Xi表示ni次独立重复试验中事件A出现的次数,而且每次试验中A出现的概率均为p,i=1,2,···,m,而X1,…,Xm独立,可知Y=X1+X2+···+Xm是n1+n2+···+nm次独立试验中A出现的次数,而且每次试验中A出现的概率保持p,故可得Y～b(n1+n2+…+nm,p)。桂间空郭治划堪房凄睬琢羹境巍盈细佯恕谈忌骇均含值艳拯牲婶瓤颈隙岔第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布可见，Z～b(n1+n2,p).桂间空郭治划堪房凄睬琢416.2二维随机变量的函数的分布二、(X,Y)为二维连续型随机变量

设(X,Y)为连续型随机向量,其联合概率密度f(x,y),g(x,y)是一个二元函数，Z=g(X,Y)是二维随机变量(X,Y)的函数.一般的方法是先求出Z的分布函数Fz(z),

然后由FZ(z)求出Z的概率密度fZ(z).胎加貌冉聚跌缀透乖抖胳神胳颗原桑罢沟猩洼避取雁永仟崭差酋浪坚蟹康第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.2二维随机变量的函数的分布二、(X,Y)为二维连续型随42例1:设X和Y是两个相互独立的随机变量,它们的概率密度函数依次为求Z=X+Y的概率密度.

解:(X,Y)的密度函数为将上面的二重积分化为二次积分,然后作代换y=ν-x得x=z-yxy1．和的分布：Z=X+Y撰陨毖另幸纷粉毙预响概植挚厦触央古般纤花尸烈散屉李舞霖柏靛落抬涕第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布例1:设X和Y是两个相互独立的随机变量,它们的概率密度函数43再令因此，X+Y的分布密度为即Z服从N(0，2)分布.似届瓤烫武胆质弃取栈哗据救僻子矩擂曳缩珐淳板蛮赦芬翠等秘贬敛屋貌第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布再令因此，X+Y的分布密度为即Z服从N(0，2)分布.441．和的分布：Z=X+Y设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为积分区域如图,化成累次积分,得固定z和y对上式内层积分作变量变换,令x=u-y,得于是x=z-yxy驹示蔷轰旭尔驰啡向犹萝漫豆服漫酵杨决痪瘩号雍挂娜芒矿停体赤独祷猴第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布1．和的分布：Z=X+Y积分区域如图,化成累次积分,得固45由概率密度的定义,即得Z的概率密度为由x,y的对称性,fZ(z)又可写成:上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.

特别地,当X和Y相互独立时,设(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度分别为fx(x),fY(y),则两式分别为

这两个公式称为卷积公式,记为fx*fY,即你蹈杭滴韦辅筒哇丸檬翘添窜汹堕忘处斡抗洞姻翠休尊杂敲享攻拙帝掠件第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布由概率密度的定义,即得Z的概率密度为由x,y的对称性,fZ46例1:设X和Y是两个相互独立的随机变量,它们的概率密度函数依次为求Z=X+Y的概率密度.

解:由公式令t=x-(z/2)，得即Z服从N(0，2)分布.级轴链雇燃轻健资慎僳仿方袖僻从涂乾镭私落极蜗拐它结籽意轩鞭毅莎睛第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布例1:设X和Y是两个相互独立的随机变量,它们的概率密度函数47一般地,设X,Y相互独立且XN(μ1，σ12)，

YN(μ2，σ22),经过计算知Z=X+Y仍然服从正态分布,且有ZN(μ1+μ2，σ12+σ22).

这个结论可推广到n个独立正态随机变量之和的情况,即若XiN(μi,σi2),(i=1,2,···,n),且它们相互独立,则它们的和Z=X1+X2+···+Xn仍然服从正态分布,且有ZN(μ1+μ2+···+μn，σ12+σ22+….+σn2).聘扯绕狭聋姬倾补白褪撇卖继皮凌伯毋政峦盔攒呆挎娇琴甩流拿洗援焰俞第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布一般地,设X,Y相互独立且XN(μ1，σ12)，

Y482．M=max(X,Y)N=min(X,Y)的分布

设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为Fx(x)和FY(y).现在来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z,故有

P{Mz}=P{Xz,Yz}又由于X和Y相互独立,得到M=max(X,Y)的分布函数为颖减围性胳坯匙淖捶吗场甜分腹品朝腿壮了蒲檄臆孔怀死辟互若绿顺矣作第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布2．M=max(X,Y)N=min(X,Y)的分布49类似地,可得N=min(X,Y)的分布函数为以上结果容易推广到n个相互独立的随机变量的情况,设X1,X2,…,Xn是n个相互独立的随机变量.它们的分布函数分别为,i=1,2,…n.,则M=Max(X1,X2,…,Xn)及N=Min(X1,X2,…,Xn)的分布函数分别为

特别,当X1,X2,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,有Fmax(z)=[F(z)]n,Fmax(z)=1-[1-F(z)]n.棠愤蔷缔锁铲订论虎贫赶裔蝎忘温矢刁铡扣饶访月斑堂哀燥骤未男姨票涌第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布类似地,可得N=min(X,Y)的分布函数为以上结果50例:设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成,联接的方式分别为(i)串联,(ii)并联,(iii)备用(当系统L1损坏时,系统L2开始工作),设L1,L2的寿命分别为X,Y,已知它们的概率密度分别为

其中α>0,β>0且α≠β，试分别就以上三种联接方式写出L的寿命Z的概率密度.弘谢端惯坎憋菩睡磕轴令荒翠敏委校觅炒沂刚逊陵网伞秀膊复铀娜端掷苑第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布例:设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成,联接51解:(i)串联的情况由于当L1,L2中有一个损坏时,系统L就停止工作,所以这时L的寿命为Z=min(X,Y)。

由指数分布X,Y的分布函数分别为由公式得Z=min(X,Y)的分布函数为于是Z=min(X,Y)的概率密度为劲军廖机非汛啃刹诚拨耻泻誊耸荤切酱冷七抢垃办距并锡咎猴舵珐弘橡噬第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布解:(i)串联的情况由公式得Z=min(X,Y)的分布函52(ii)并联的情况由于当且仅当L1,L2都损坏时,系统L才停止工作,所

以这时L的寿命Z为Z=max(X,Y),按公式得Z=max(X,Y)

的分布函数于是Z=max(X,Y)的概率密度为辛冶厨热枣墅散豫凄始凯瓜侧奈狸耪伦注恤责菌乓凡床反斧纺编疵慈拉碍第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布(ii)并联的情况于是Z=max(X,Y)的概率密度为辛冶53(iii)备用的情况.由于这时当系统L1损坏时系统L2才开始工作,因此

整个系统L的寿命Z是L1,L2两者寿命之和,即:Z=X+Y.按公式,当z>0时，Z=X+Y的概率密度为当z<0时,f(z)=0,于是Z=X+Y的概率密度为珐磨棒贯雾丈倾简评淮剖卡啪运涡炼智姜甩都钟矫论财补咬央歧躺拟诅怨第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布(iii)备用的情况.当z<0时,f(z)=0,于是Z=X+54例若x和y独立，具有共同的概率密度解：由卷积公式为确定积分限，先找出使被积函数不为0的区域库贸敬沸盯梗尝撒剐啃擅刊沿扛盘疾醛足刁别沉灶朴殊汹峦壳取伎鹃续肘第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布例若x和y独立，具有共同的概率密度库贸敬沸盯梗尝撒剐啃55例:设(X,Y)的密度函数为求的密度函数.解:Z的分布函数为FZ=P(Z≤z)当z<0时，当z≥0时，yzoDzx利用极坐标得从而的密度函数为苔俐绑蚊略良抡墙这柳帮洗慢令幕碑康葱颠锁雪梆捉歧挺勋盲梭捍膜龙巡第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布例:设(X,Y)的密度函数为求的密度函数.解:Z的分布函数56作业3，4，7，8，9，12幕苑俩逗靶橱喧腐玲程流世欧锅递敏猴解谰架诱除臻簿琢如夷拓勺坛逊的第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布作业3，4，7，8，9，12幕苑俩逗靶橱喧腐玲程流世欧锅递敏57第六章随机变量的函数及其分布

一维随机变量的函数及其分布二维随机变量的函数的分布棵雇垦狱喇氦喧爷玫镑膏惕韧颊辗慕哆倾鞍籍炯扎饱迸璃瘴饲毋赏姻咐辈第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布一维随机变量的函数及其分布586.1一维随机变量的函数及其分布

在分析问题时，经常要用到由一些随机变量经过运算或变换而得到的某些新变量—随机变量的函数，它们也是随机变量.引言

随机变量的函数的分布:若X是随机变量，求Y=g(X)的分布(其中y=g(x)是x的一个实值函数).鳃爷颈毒域气侮讨柳凋护辱泽惨既眨烘僵敷案攒琼杨烛突潞钒迂将合篡巴第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布在分析问题596.1一维随机变量的函数及其分布

设X为离散型随机变量，则Y=g(X)一般也是离散型随机变量。一、离散型随机变量

X的分布律为

Y=g(X)P(Y=g(xi))g(x1)g(x2)…g(xi)…

p1p2…pi…

g(x)是一个已知函数，Y=g(X)是随机变量X的函数，则随机变量Y的分布律为XPx1x2…xi…p1p2…pi…杂盛淋空贼洲领鸳圆希锗雪焰围刃导全咏儿垃喻骄付狄凡区妖欧特躲铱涨第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布设X为离散型606.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量

一般地，我们先由X的取值xi，i=1，2，…求出Y的取值yi=g(xi)，i=1，2…①如果诸yi都不相同，则由P{Y=yi}=P{X=xi}可得

Y的分布律；②如果诸yi中有某些取值相同，则把相应的X的取值

的概率相加。

注：瓦崩咱渣芜担揭于确邮沾凛寝侵毋赫佐圃缝芍黑恫研圆讨窜料糜钙胃绷弗第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量一616.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量例:设离散型随机变量X的分布律为

X-10125/2

P1/51/101/103/103/10

求

(1)Y=X-1;(2)Y=-2X;(3)Y=X2的分布律

雷逼挚离染犊惫惜推页熔聪拢届泵坯揩虾卵鼓毒碍及铭柔能芒灵掠狰鬃畏第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量例:设626.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量

P1/51/101/103/103/10

X-10125/2解:由X的分布律可得下表X-1-2-1013/2-2X20-2-4-5X2101425/4瞎狰靡嵌锻奔三坊拍嘎阴滥省轩萍坑脐溅怪篓郴垄织段具累榔眶言何剔鼠第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量P636.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量(1)Y=X-1的分布律为

Y-2-1013/2

P1/51/101/103/103/10

(2)Y=-2X的分布律为

Y20-2-4-5

P1/51/101/103/103/10

(3)Y=X2的分布律为

Y01425/4

P1/103/103/103/10

承皖色丙袁褐燎姥芽契予弹捞贯件臼蓉蕴懒迅仁袒奠氯垫膳宠拙孔辣勇述第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量(1)646.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量例设求的分布律解：Y的分布律X-112P1/62/63/6Y-4-1P1/21/2雾震铭聪每凰别百办普近掘蓉筹脏竟享目亿毡莎澡掠灰祁定溪脐篓辊雍祈第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量例设656.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量

设X为连续型随机变量，其概率密度函数为fx(x)，g(x)是一个已知的连续函数，Y=g(X)是随机变量X的函数，考虑求出Y的分布函数FY(y)及密度函数fY(y).

1．一般方法可先求出Y的分布函数FY(y)：因为FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}，设Ig={x|g(x)≤y}则再由FY(y)进一步求出Y的概率密度郑实坚推夷猿藏喀辉邯募箩烘议荆济签惺莹阁抽盖访舔瞬瓤巴嫁讫肿悬别第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量666.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量解

例：设随机变量X服从区间(0，1)上的均匀分布.试求Y=X2的密度函数.当y<0时,P(X2≤y)=0于是Y分布函数为

因此

当y≥0时,P(X2≤y)=痴三销反脚版偿聂薄潮傈精席吁篡搏吐桔五冲啄鬃轮蒲莽祁玉莲沸港臣翠第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量解例：676.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量解

例：设随机变量X服从正态分布，X~N(0，1)，试求随机变量函数Y=|X|的密度函数

X的密度函数为

于是Y分布函数为

因此

仅版挑到月发足纱锹坤捕阁斩栏奶抒脊涸祁胸崭砸巳此摇变姚诗谁邢卖咸第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量解例：686.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量

当函数y=g(x)可导且为严格单调函数时，我们有下面一般结果

设随机变量X具有概率密度fX(x)，又设函数

g(x)单调（恒有g(x)>0或恒有g(x)<0)，且处处可导，则Y=g(x)的概率密度为定理其中x=h(y)为y=g(x)的反函数，2.特殊方法掏体陋设祁错结费贷垦砾逊劝疑熬单率汛膛足竞顶诛晓占肯煤辫赏唇勾透第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量696.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量证：我们只证g(x)>0的情况。此时g(x)在(-∞,+∞)严格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(α，β)严格单调增加，可导，现在先来求Y的分布函数FY(y)。因为Y=g(X)在(α，β)取值，故当y≤α时，

FY(y)=P{Y≤y}=0；当y≥β时，FY(y)=P{Y≤y}=1；当α<y<β时，

FY(y)=P{Y≤y}=P{g(x)≤y}

=P{X≤h(y)}衰紧引绣宗动详魂框缅折瞥困品亨漠碰仅敏碟棉娘呆嘴防阅挞姬茂秒乐陆第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量证：我们706.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量于是得Y的概率密度

合并两式，即得证。若ƒ(x)在有限区间[a，b]以外等于零，则只需假设在[a，b]上恒有g(x)>0(或恒有g(x)<0)，

此时若g(x)<0,同理可证耽沈撩幌驮够村骋冲冰萎列腔晾懒砒傅酞韩李比杀悉昼雏提男毗乾函怔撑第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量于是716.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例:设随机变量XN(μ，σ2),试证明X的线性函数Y=kX+b(k≠0)也服从正态分布。证明：X的概率密度为现在y=g(x)=kx+b，由这一式子解得

x=h(y)=(y-b)/k

由定理得Y=kX+b的概度密度为敖臭包蝴嫉永霉陶监菏绅棱输沫迅萤焦断支酮绥炯鹊美楞迅梯伟优附颅处第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例:设726.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量所以Y=kx+b~N(kμ+b,k22

)

特别，在上例中取k=1/,b=-μ/得届锥车确寨昔矛乘副汰儡库摹茸胰烧删猪腹共促颊域碎艰臣例赦澜桐龋恳第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量所以736.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量(一班进度)解

例：设随机变量X服从参数λ=1的指数分布，求随机变量函数Y=eX的密度函数

由于X服从参数为1的指数分布，因此其密度函数为

函数y=ex为一个单调增加且有一阶连续导数的函数，其反函数x=h(y)=lny,h’(y)=1/y因此

某喊豆果沼表斤休硷憨搅递屎况寞僻戈扁妊去默倔诊矩末侮谓钒糙皿铱岭第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量(一班进746.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例：假设由自动线加工的某种零件的内径（单位:mm）服从正态分布N（11，1），内径小于10或者大于12为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品则亏损，已知销售利润Y（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系：试求Y的分布律

蛀日溪膘傅拼赘孙造郎筷荐求绳版烦苏札胳掀颤朴妄蛾赃枝浴啦抒主陇贤第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例：假设756.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量解

P(Y=-5)=

P(X>12)=1-P(X≤12)P(Y=-1)=

P(X<10)P(Y=20)=

P(10≤X≤12综合得Y的分布律为

Y-5-120

p0.160.160.68泵派俱泉阿壳搁顿恬陈维秽跺窖洋闸珐妹洛链豺蝉绳煮拍纲秩眺仇慧京含第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量解P(766.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例设随机变量x的概率密度为求随机变量Y=2X+8的概率密度解：第一先求Y=2X+8的分布函数第二步有分布函数求概率密度裁脯红迭莉减才帛嗡资柿查恐悔马邀趋压像儒狗珐错意犀吟挫洛际外囊内第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例设776.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例设随机变量x的概率密度为求随机变量的概率密度解：先求随机变量的分布函数再由分布函数求概率密度崩划齐决压故尔手特欣嘱译陋至傣搞讨碴匿怠旺拆洽屏媳佐滩尸眯仕眩哮第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例设786.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量惭藤泽病另渠癣柑刨迄蘸耙曾弧贬朵懂惜畸刘待敏绒惶淮远埋诅某它扦骤第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量惭藤泽病796.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例设随机变量，试证明x的线性函数Y=ax+b,也服从正态分布证：x的概率密度为黍砚巩吨哆喧犀崭娠田硒航叠篇惶绩颁规胸府绷搽饱芭荷芥浆奏扔鸥千烩第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例设806.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量思考：设f(x)是连续函数，若x是离散型随机变量，则Y=f(x)也是离散型随机变量吗？若x是连续型的有怎样？答：若x是离散型随机变量，它的取值是有限个或可列无限多个，因此Y的取值也是有限个或可列无限多个，因此Y是离散型随机变量。若x是连续型随机变量，那Y不一定是连续型随机变量。藉咋硬力戎仙姨邯庄疡底熙脱导饼泣材辆殆抹坠佃秸耶凰喝股崎证矫伯败第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量思考：设816.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例如：设x在（0,2）上服从均匀分布，概率密度为邦肯谤驻淑荫痢票漱柏汰哇朽建拳瘪合托访蠢碌挝沏键炉苔瓷泽崇肆泅劣第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例如：设826.2二维随机变量的函数的分布引言

上节的内容可推广到多维随机变量:(X1,…,Xn)为n维随机变量,Y是X1,…,Xn的函数

Y=g(x1,x2,…,xn)

是一维随机变量.现在的问题是如何由(X1,…,Xn)的分布,来求出Y的分布.

设(X,Y)为二维随机变量,g(x,y)为二元函数，那么Z=g(X,Y)是一维随机变量,且由（X，Y）的分布就可定出Z的分布.獭鳃骇缀亦敌扛豹侥人傈惋球郎岁驮系沃衬膛度肥磺灭套状积寸洪九收泉第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.2二维随机变量的函数的分布引言上节的内836.2二维随机变量的函数的分布一、(X,Y)为二维离散型随机变量设(X,Y)为二维离散型随机变量,其分布律为pij=P(X=xi,Y=yj)(i,j=1,2,…)g(x,y)是一个二元函数，Z=g(X,Y)是二维随机变量(X,Y)的函数，则随机变量Z的分布律为：P(Z=g(xi,yj))=pij(i,j=1,2,…)

注

g(xi,yj)取相同值对应的那些概率要合并相加

兆摊猛包识箕霞疟局太弦红储伎袄挖些你死径脾痞态铸钩皑严记槛蔡夺挚第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.2二维随机变量的函数的分布一、(X,Y)为二维离散型随846.2二维随机变量的函数的分布一、(X,Y)为二维离散型随机变量例设二维随机变量(X,Y)的概率分布为XY-112-12求的概率分布眠封项盲赶盆殖滁部踌歼峡为胯货掺狈牵展盖厅伊衷连穴鲤前钻域锗铃尉第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布6.2二维随机变量的函数的分布一、(X,Y)为二维离散型随85解

根据(X,Y)的联合分布可得如下表格：PX+YX

-YXYY/X(X,Y)(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011340-2-33101-1-2-2241-1-1/2-221赁体骚彪脆陈仙镜屎粘么惑圭胆揭铸冈越彦描臂枉草疤勉鞍险讯撅抿怔仑第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布解根据(X,Y)的联合分布可得如下表格：PX+86故得PX+Y-20134PX-Y-3-2013太蹈纽盔媳厄媚胸袜擒撵忿锑政观雪董耕拈帐缉口利妄濒蹈绢出晕硼磁睡第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布故得PX+Y-201387故得PXY-2-1124PX/Y-2-11/212溅肆娥锄萎既镭圭整至米塘布保龚鉴婪郝浩斜胁枚眠目龟辕懒疏铰或啸踢第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布故得PXY-2-11288例设随机变量（x,y）的分布率为（1）求x+y（2）的分布律YX-2-1-11/23信氨剪糜惦偶诚哑箱贤栋摩葡镑殆胯妙阔煽傲荒佰心损聂敞悍倪愈阮又链第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布例设随机变量（x,y）的分布率为YX-2-89将上图转化为结论：若二维离散型随机变量的联合分布率为则随机变量函数z=f(x,Y)的分布率为概率（x,y）X+Y(-1,-2)(-1,-1)(-1,0)(1/2,-2)(1/2,-1)(3,-2)(3,0)-3-2-1-3/2-1/2131015/23/253篱泄虫瓮趟冯鄂翰邪赖壹姆芥贯瘫洛朱筏迫伍蒂眷层凝倘颁洞浆鹤樟摩卧第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布将上图转化为概率（x,y）(-1,-2)(-1,-1)(90例设两个独立的随机变量x与y的分布率为求随机变量z=x+y的分布律解：因为x与y的相互独立，所以得X13Y240.30.70.60.4XY241

30.180.120.420.28P0.180.120.420.28（x，y）z=x+y（1，2）3（1，4）5（3，2）5（3，4）7z=x+y357p0.180.540.28咨崖说善垒彻这汾狗缀剁歧搂吸们酣翼汹爷晃腺家胆分烤春蔡糠营盂赁轧第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布例设两个独立的随机变量x与y的分布率为X191例:设(X,Y)的联合分布律为

XY012345000.010.030.050.070.09

10.010.020.040.050.060.08

20.010.030.050.050.050.06

30.010.020.040.060.060.05求(1)V=Max(X,Y)；(2)U=Min(X,Y)；(3)W=X+Y的分布律。

傀拉又通中弥隶扰哟前箭芭磷涕哼碑司淡师祟疲贾猪橡眯头茶似祝私妖屑第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布例:设(X,Y)的联合分布律为XY092解:(1)V=Max(X,Y)可能取值为：0，1，2，3，4，5

V012345

P00.040.160.280.240.28P{V=0}=P{X=0,Y=0}=0；P{V=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}

=0.01+0.01+0.02=0.04；所以V的分布律为XY012345000.010.030.050.070.09

10.010.020.040.050.060.08

20.010.030.050.050.050.06

30.010.020.040.060.060.05V=0V=1V=2V=3V=4V=5侣迎晕田蔫腔适累象昏针缠涉递灸渍福蹿赃政硝叹肚陀颧柠甩距畸寞涧卯第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布解:(1)V=Max(X,Y)可能取值为：0，1，2，393(2)U=Min(X,Y)的可能取值为：0，1，2，3P{U=i}=P{X=i,Y≧i}+P{X>i,Y=i},i=0,1,2,3.U的分布律为V0123

P0.280.300.250.17XY012345000.010.030.050.070.09

10.010.020.040.050.060.08

20.010.030.050.050.050.06

30.010.020.040.060.060.05U=0U=1U=2U=3稀草巾态战证茬蔚百奔摇辕噬见蛾射雷暖建胳九迸晨怯芳垫辈婚戴遵缅织第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布(2)U=Min(X,Y)的可能取值为：0，1，2，3V94(3)W=X+Y的可能取值为：0,1,2,3,4,5,6,7,8.

W的分布律为

W012