第二章多元函数微分法及其应用第二节偏导数与全微分-课件

第二节偏导数与全微分一偏导数二全微分1第二节偏导数与全微分1一偏导数函数对x偏增量定义在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数如果极限设函数1偏导数及其计算注意:有定义，2一偏导数函数对x偏增量定义在点存在,的偏导数，记为的某邻函数对

y

的偏增量同样可定义对则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为的偏导数或若函数在区域内每一点处对偏导数存在，3函数对y的偏增量同样可定义对则该偏导数称为偏导函数,也简例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)4例如,三元函数u=f(x,y,z)在点解5解5证原结论成立．6证原结论成立．6解7解7不存在．8不存在．8例4设求解9例4设求解9例5求的偏导数.解:10例5求的偏导数.解:10有关偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解11有关偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数要2

偏导数存在与连续的关系？所以函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在

连续，因为不存在122偏导数存在与连续的关系？所以函数在该点处并不连续.偏3偏导数的几何意义是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的133偏导数的几何意义是曲线在点M0处的切线对x轴的4高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:二阶混和偏导数144高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为15二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可以定义更高阶的解16解16解17解17例8设求解18例8设求解18解19解19例10设求解20例10设求解20问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？则定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明略)21问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？则定理.例如1全微分的定义二全微分函数在点的某邻域内有定义，即=为这邻域内的任意一点，并设记为为函数在点P对应于自变量增量的全增量，称这两点的函数值之差则二元函数对的偏增量二元函数对的偏增量221全微分的定义二全微分函数在点的某邻域内有定义，即其中A,B不依赖于

x,

y,仅与x,y有关，若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成处全增量则称此函数在D内可微.称为函数在点(x,y)的全微分,定义记作23其中A,B不依赖于x,y,仅与x事实上如果函数在点可微分,则函数在该点连续.故函数在点处连续.24事实上如果函数在点可微分,则函数在该点连续.故函数在点2可微的条件定理1（必要条件）．在点可微分，如果函数的偏导数必存在，则该函数在点在点的全微分为且函数同样可证证:由全增量公式得到对x

的偏增量因此有252可微的条件定理1（必要条件）．在点可微分，如果函数一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各偏导数存在全微分存在．？例如，在点处有同样可得26一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各则当时，27则当时，27

说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，证28说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，证（依偏导数的连续性）同理29（依偏导数的连续性）同理29习惯上，当全微分的定义可推广到三元及三元以上函数通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．叠加原理也适用于二元以上函数的情况．全微分写为自变量时，记例如30习惯上，当全微分的定义可推广到三元及三元以上函数通常我解所求全微分31解所求全微分31解32解32解所求全微分33解所求全微分33例14说明函数34例14说明函数34证令则同理35证令则同理35不存在.36不存在.363737多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导38多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数全微分在近似计算中的应用也可写成39全微分在近似计算中的应用也可写成39解由公式得40解由公式得404141第二节偏导数与全微分一偏导数二全微分42第二节偏导数与全微分1一偏导数函数对x偏增量定义在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数如果极限设函数1偏导数及其计算注意:有定义，43一偏导数函数对x偏增量定义在点存在,的偏导数，记为的某邻函数对

y

的偏增量同样可定义对则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为的偏导数或若函数在区域内每一点处对偏导数存在，44函数对y的偏增量同样可定义对则该偏导数称为偏导函数,也简例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)45例如,三元函数u=f(x,y,z)在点解46解5证原结论成立．47证原结论成立．6解48解7不存在．49不存在．8例4设求解50例4设求解9例5求的偏导数.解:51例5求的偏导数.解:10有关偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解52有关偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数要2

偏导数存在与连续的关系？所以函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在

连续，因为不存在532偏导数存在与连续的关系？所以函数在该点处并不连续.偏3偏导数的几何意义是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的543偏导数的几何意义是曲线在点M0处的切线对x轴的4高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:二阶混和偏导数554高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为56二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可以定义更高阶的解57解16解58解17例8设求解59例8设求解18解60解19例10设求解61例10设求解20问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？则定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明略)62问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？则定理.例如1全微分的定义二全微分函数在点的某邻域内有定义，即=为这邻域内的任意一点，并设记为为函数在点P对应于自变量增量的全增量，称这两点的函数值之差则二元函数对的偏增量二元函数对的偏增量631全微分的定义二全微分函数在点的某邻域内有定义，即其中A,B不依赖于

x,

y,仅与x,y有关，若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成处全增量则称此函数在D内可微.称为函数在点(x,y)的全微分,定义记作64其中A,B不依赖于x,y,仅与x事实上如果函数在点可微分,则函数在该点连续.故函数在点处连续.65事实上如果函数在点可微分,则函数在该点连续.故函数在点2可微的条件定理1（必要条件）．在点可微分，如果函数的偏导数必存在，则该函数在点在点的全微分为且函数同样可证证:由全增量公式得到对x

的偏增量因此有662可微的条件定理1（必要条件）．在点可微分，如果函数一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各偏导数存在全微分存在．？例如，在点处有同样可得67一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各则当时，68则当时，27

说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，证69说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，证（依偏导数的连续性）同理70（依偏导数的连续性）同理29习惯上，当全微分的定义可推广到三元及三元以上函数通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．叠加原理也适用于二元以上函数的情况．全微分写为自变量时，记例如71习惯上，当全微