2021年江苏省无锡市蠡湖中学高二数学文联考试卷含解析

2021年江苏省无锡市蠡湖中学高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.关于x的不等式≥0的解为﹣1≤x＜2或x≥3，则点P（a+b，c）位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A【考点】其他不等式的解法．【分析】现根据条件求得a、b、c的值，可得点P的坐标，从而得出结论．【解答】解：由于不等式≥0的解集为﹣1≤x＜2或x≥3，如图所示：故有a=﹣1、b=3、c=2；或者a=3、b=﹣1、c=2．故有a+b=2，且c=2，故点P的坐标为（2，2），显然点P在第一象限，故选：A．2.已知函数则的图象为（

）参考答案：C3.函数的最大值为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A略4.若，则函数的最小值为（

）A

B

C

D

非上述情况参考答案：B略5.下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据初等函数图象可排除；利用导数来判断选项，可得结果.【详解】由函数图象可知：选项：；选项：在上单调递减，可排除；选项：，因为，所以，可知函数在上单调递增，则正确；选项：，当时，，此时函数单调递减，可排除.本题正确选项：【点睛】本题考查函数在区间内单调性的判断，涉及到初等函数的知识、利用导数来求解单调性的问题.6.已知a∈R，命题“?x∈（0，+∞），等式lnx=a成立”的否定形式是（）A．?x∈（0，+∞），等式lnx=a不成立B．?x∈（﹣∞，0），等式lnx=a不成立C．?x0∈（0，+∞），等式lnx0=a不成立D．?x0∈（﹣∞，0），等式lnx0=a不成立参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是：?x0∈（0，+∞），等式lnx0=a不成立，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．7.两个三角形全等是这两个三角形相似的（

）（A）充分但不必要条件

（B）必要但不充分条件（C）充要条件

（D）既不充分又不必要条件参考答案：A8.某地区一次联考的数学成绩X近似地服从正态分布，已知，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩低于48分的样本个数大约为（

）A．4

B．6

C．94

D．96参考答案：A由题可得：又对称轴为85，故，故成绩小于分的样本个数大约为100×0.04=4,故选A.

9.下列说法正确的是（

）A．命题“若，则”的否命题是“若，则”B．若，则“”是“”的必要不充分条件C．函数的最小值为D．命题“，”的否定是“，”参考答案：B分析：对四个选项逐一分析、排除后可得结论．详解：选项A中，命题的否命题为“若，则”，故A不正确．选项B中，由可得或，得“”是“”的必要不充分条件，故B正确．选项C中，应用基本不等式时，等号成立的条件为，此等式显然不成立，所以函数的最小值为2不正确，即C不正确．选项D中，命题的否定为“，”，故D不正确．故选B．

10.对任意的实数m，直线y=mx+n﹣1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，则n的取值范围是(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；判别式法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直线方程与椭圆方程联立化为（1+4m2）x2+8m（n﹣1）x+4（n﹣1）2﹣1=0，由于直线y=mx+n﹣1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，可得△≥0，解出即可得出．【解答】解：联立，化为（1+4m2）x2+8m（n﹣1）x+4（n﹣1）2﹣1=0，∵直线y=mx+n﹣1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，∴△=64m2（n﹣1）2﹣4（1+4m2）≥0，化为：4n2﹣8n+3≤4m2，由于对于任意的实数m上式恒成立，∴4n2﹣8n+3≤0，解得．∴n的取值范围是．故选：A．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.参考答案：2略12.已知双曲线的左、右焦点分别为是双曲线上一点，且,则双曲线的离心率是

.参考答案：13.已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，点P是该椭圆上的动点，当△PAF的周长最大时，△PAF的面积为__________．参考答案：(其中F1为左焦点)，当且仅当，F1，P三点共线时取等号，此时，所以．

14.已知直线与椭圆相交于两点，且为坐标原点)，若椭圆的离心率，则的最大值为

．参考答案：15.（2x﹣）6展开式中常数项为（用数字作答）．参考答案：60【考点】二项式定理．【分析】用二项展开式的通项公式得展开式的第r+1项，令x的指数为0得展开式的常数项．【解答】解：（2x﹣）6展开式的通项为=令得r=4故展开式中的常数项．故答案为60【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式中特殊项问题的工具．16.．已知，，根据以上等式，可猜想出的一般结论是

.参考答案：，．略17.复数的对应点在虚轴上，则实数的值是

.参考答案：0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（1）求证：；（2）已知函数，用反证法证明方程没有负数根.参考答案：(1)见解析(2)见解析分析：（1）采用分析法来证,要证，只需两边平方，整理后得到一恒成立的不等式即可；（2）对于否定性命题的证明，可用反证法，先假设方程有负数根，经过层层推理，最后推出一个矛盾的结论.详解：（1）要证，只需证，只需证，即证，只需证，只需证，即证.上式显然成立，命题得证.（2）设存在，使，则.由于得，解得，与已知矛盾，因此方程没有负数根.点睛：本题主要考查反证法的应用以及利用分析法证明不等式，属于难题.分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词.19.已知双曲线具有性质：若A、B是双曲线左、右顶点，P为双曲线上一点，且P在第一象限.记直线PA，PB的斜率分别为，，那么与之积是与点位置无关的定值.（1）试对椭圆，类比写出类似的性质（不改变原有命题的字母次序），并加以证明.（2）若椭圆C的左焦点，右准线为，在（1）的条件下，当取得最小值时，求{－1,0}的垂心H到x轴的距离.参考答案：(1)见解析(2).【分析】（1）根据类比对应得椭圆性质，再根据斜率公式证结论，（2）先求得椭圆方程，再根据基本不等式确定最值取法，即得直线方程，与椭圆方程联立解得点坐标，再根据直线交点得垂心坐标，即得结果.【详解】（1）若、是椭圆左、右顶点，为椭圆上一点，且在第一象限.记直线，的斜率分别为，，那么与之积是与点位置无关的定值，即；证明如下：设（2）因为椭圆的左焦点，右准线为，所以，椭圆由（1）知，所以当且仅当即时取“”此时直线：与椭圆联立得可设垂心，由，故的垂心到轴的距离为.20.在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题.

（1）已知动点P为圆O：外一点，过P引圆O的两条切线PA、PB，A、B为切点，若，求动点P的轨迹方程；（2）若动点Q为椭圆M：外一点，过Q引椭圆M的两条切线QC、QD，C、D为切点，若，求出动点Q的轨迹方程；

（3）在（2）问中若椭圆方程为，其余条件都不变，那么动点Q的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）.

参考答案：解：（1）由切线的性质及可知，四边形OAPB为正方形，所以点P在以O为圆心，长为半径的圆上，且，进而动点P的轨迹方程为………………3分（2）设两切线为，①当与轴不垂直且不平行时，设点Q的坐标为则，设的斜率为，则，的斜率为，的方程为，联立，得，………………5分因为直线与椭圆相切，所以，得化简，进而

所以……………7分所以是方程的一个根，同理是方程的另一个根，，得，其中，…………9分②当轴或轴时，对应轴或轴，可知；因为满足上式，综上知：点P的轨迹方程为．……10分（3）动点Q的轨迹方程是…………………12分

21.(本小题满分12分)设函数．

（1）求函数的单调区间.

（2）若方程