2021年江苏省南京市第五十六中学高三数学文月考试题含解析

2021年江苏省南京市第五十六中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(

)

A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：A略2.在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），若使目标函数z=ax+y(a>0)取最大值的最优解有无穷多个，则a的值等于（

）

A．

B．1

C．6

D．3高考资源网参考答案：B略3.右图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是

(

)A．

B．C．

D．参考答案：A略4.已知x，y满足约束条件，则z=3x+y的取值范围为（）A．[﹣2，10） B．（﹣2，10] C．[6，10] D．（6，10]参考答案：B【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，z取最大值，由，得A（4，﹣2），此时zmax=3×4﹣2=10；当直线y=﹣3x+z过点B时，由，解得B（0，﹣2），故z＞3×0﹣2=﹣2．综上，z=3x+y的取值范围为（﹣2，10]．故选：B．5.（5分）已知O为坐标原点，点A（x，y）与点B关于x轴对称，，则满足不等式的点A的集合用阴影表示（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】：向量在几何中的应用．【专题】：计算题；压轴题；转化思想．【分析】：先求出点B的坐标，并用点A的坐标表示出+，最后把原不等式转化为x2+（y﹣1）2≤1，找出点所在的位置即可求出结论．解：由题得：B（﹣x，y），=（0，2y）．∴+=x2+y2+2y=x2+（y﹣1）2﹣1．∴不等式转化为x2+（y﹣1）2≤1．故满足要求的点在以（o，1）为圆心，1为半径的圆上以及圆的内部．故选C．【点评】：本题主要考查向量的基本运算以及计算能力和转化思想的应用，属于基础题．6.过抛物线焦点F的直线l交C于A，B两点，在点A处的切线与x，y轴分别交于点M，N.若的面积为，则（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：B【分析】先设，再求出点处的切线方程，进而求出，坐标，得到的面积，即可求出点坐标，求出的长.【详解】因为过抛物线的焦点的直线交于，所以设，又，所以，所以点处的切线方程为：,令可得，即；令可得，即,因为的面积为，所以，解得，所以.故选B【点睛】本题主要考查抛物线的性质，只需先求出点坐标，即可根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离求解，属于常考题型.7.已知a，b∈R，且ex＋1≥ax＋b对x∈R恒成立，则ab的最大值是 （

）参考答案：A8.（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，则该双曲线离心率等于（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】：圆与圆锥曲线的综合．【专题】：综合题．【分析】：先将圆的方程化为标准方程，再根据双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可建立几何量之间的关系，从而可求双曲线离心率．解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±，即bx±ay=0圆C：x2+y2﹣6x+5=0化为标准方程（x﹣3）2+y2=4∴C（3，0），半径为2∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切∴∴9b2=4b2+4a2∴5b2=4a2∵b2=c2﹣a2∴5（c2﹣a2）=4a2∴9a2=5c2∴=∴双曲线离心率等于故选：A．【点评】：本题以双曲线方程与圆的方程为载体，考查直线与圆相切，考查双曲线的几何性质，解题的关键是利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径．9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为().A.6π

B.24π

C.48π

D.96π参考答案：B

由三视图画出三棱锥的直观图，如图，图中矩形的长为4，宽为2，棱锥的高为，所以棱锥的外接球就是以为长、宽、高的长方体的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线，即，所以外接球的表面积为，故选B.

10.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－3，1)，则A． B． C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是．参考答案：【考点】等可能事件的概率．【分析】先求出“所抽取的球中至少有一个红球”的对立事件的概率，再用1减去此概率的值，即得所求．【解答】解：从中随机抽取2个球，所有的抽法共有=6种，事件“所抽取的球中至少有一个红球”的对立事件为“所抽取的球中没有红球”，而事件：“所抽取的球中没有红球”的概率为=，故事件“所抽取的球中至少有一个红球”的概率等于1﹣=，故答案为．12.设,且,则的最小值是__________参考答案：113.△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，则c的值为．参考答案：【考点】余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知及正弦定理可解得a，利用余弦定理可得：c2﹣2c﹣5=0，解方程即可得解．【解答】解：∵△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，∴由正弦定理可得：，解得：a=3，∴利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：9=4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣5=0，∴解得：c=1+，或1﹣（舍去）．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．14.在ABC中，AB=2AC=2，·=-1，若（O是ABC的外心），则的值为

．

参考答案：略15.某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．参考答案：【分析】先还原几何体，再根据四棱锥体积公式求结果.【详解】由三视图知该几何体如图，V＝＝故答案为【点睛】本题考查三视图以及四棱锥的体积，考查基本分析求解能力，属基础题.

16.已知三棱柱ABC-A1B1C1底面是边长为的正三角形,侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球表面积为12,则该三棱柱的体积为

.参考答案：设球半径，上下底面中心设为，，由题意，外接球心为的中点，设为，则，由，得，又易得，由勾股定理可知，，所以，即棱柱的高，所以该三棱柱的体积为.17.已知f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+2f(2),且f(-1)=2,则f(2013)等于

参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（Ⅰ）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，试比较与1的大小；ks5u（Ⅲ）求证：．参考答案：（Ⅰ）当时，，定义域是，，ks5u令，得或．

…2分当或时，，当时，，

∴函数、上单调递增，在上单调递减．

……………4分的极大值是，极小值是．当时，；当时，，当仅有一个零点时，的取值范围是或．………5分

（Ⅱ）当时，，定义域为．

令，

，

在上是增函数．

…………7分①当时，，即；②当时，，即；③当时，，即．

…………………9分（Ⅲ）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．令，则有，

．……………12分，．

…………14分

（法二）当时，．，，即时命题成立．

……10分设当时，命题成立，即．

时，．根据（Ⅱ）的结论，当时，，即．令，则有，则有，即时命题也成立．……………13分因此，由数学归纳法可知不等式成立．

……………14分19.（本小题满分12分）为了迎接2011西安世园会,某校响应号召组织学生成立了“校园文艺队”。已知每位队员唱歌、跳舞至少会一项，其中会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人.设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．(1)求文艺队的人数；

(2)求的分布列并计算．参考答案：解：设既会唱歌又会跳舞的有人，则文娱队中共有人，那么只会一项的人数是人.（1），

，即，.

故文娱队共有5人.

（2），

的分布列为012P

略20.已知函数（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）当时，求在上的最大值和最小值；（3）当时，求证对任意大于1的正整数，恒成立.参考答案：（1）由已知得，依题意得对任意恒成立，即对任意恒成立，而（2）当时，，令，得，若时，，若时，，故是函数在区间上的唯一的极小值，也是最小值，即，而，由于，则略21.已知函数

（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.参考答案：22.（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（Ⅲ）设函数，求证：．

参考答案：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．解析