2021年江苏省常州市雪堰中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021年江苏省常州市雪堰中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为

A．0.5小时

B．1小时

C．1.5小时D．2小时参考答案：D略2.已知命题p，q是简单命题，则“￢p是假命题”是“p∨q是真命题”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据复合命题的真假结合充分必要条件，判断即可．【解答】解：￢p是假命题，则p是真命题，推出p∨q是真命题，是充分条件，反之，不成立，故选：A．【点评】本题考查了复合命题的真假，考查充分必要条件的定义，是一道基础题．3.将函数f（x）=sin（ωx﹣）的图象向左移动之后的图象与原图象的对称中心重合，则正实数ω的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意可得所的图象对应的函数解析式为y=sin（ωx+﹣），且所得图象与原图象相差半个周期的整数倍，即=k?，∴由此求得ω的最小值．【解答】解：将函数f（x）=sin（ωx﹣）的图象向左移动之后，可得y=sin[ω（x+）﹣]=sin（ωx+﹣）的图象．由于所得的图象与原图象的对称中心重合，故所得图象与原图象相差半个周期的整数倍，∴=k?，∴ω=，k∈Z，则正实数ω的最小值为，故选：A．4.设等差数列的前n项和为，若，则必有A．且

B．且

C．且

D．且

参考答案：A5.下列函数中，满足f（x+y）=f（x）f（y）的单调递增函数是（）A．f（x）=x3 B． C．f（x）=log2x D．f（x）=2x参考答案：D【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据抽象函数的关系式，确定函数的模式为指数函数模型，然后利用单调性进行判断即可．【解答】解：若f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y），则f（x）为指数型函数，设f（x）=ax，∵f（x）是增函数，∴a＞1，则f（x）=2x满足条件．故选：D．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用函数模型法是解决本题的关键．6.若在的展开式中含有常数项，则正整数取得最小值时常数项为A.

B.

C.

D.参考答案：C7.设函数则（

）A.有最大值

B.有最小值

C.是增函数

D.是减函数参考答案：A略8.八世纪中国著名数学家、天文学家张遂（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法—二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张遂晚了上千年）：函数在，，（）处的函数值分别为，，，则在区间上可以用二次函数来近似代替：，其中，，．请根据上述二次插值算法，求函数在区间上的近似二次函数，则下列最合适的是（

）A． B．C． D．参考答案：A9.已知集合，，则（A）

（B）

（C）（D）参考答案：C因为，所以，选C.10.抛物线C1：y2=4x，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若C1的焦点恰为C2的右焦点，则2a+b的最大值为(

) A． B．5 C． D．2参考答案：A考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点（1，0），即有c=1，即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），设a=cosα，b=sinα（0＜α＜），运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到最大值．解答： 解：抛物线C1：y2=4x的焦点为（1，0），即有双曲线的c=1，即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），设a=cosα，b=sinα（0＜α＜），则2a+b=2cosα+sinα=（cosα+sinα）=sin（α+θ）（其中tanθ=2，θ为锐角），当α+θ=时，2a+b取得最大值，且为．故选A．点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系，运用三角换元和正弦函数的值域是解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，，满足||=1，||=，+=（，1），则向量与的夹角是．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】平面向量及应用．【分析】设向量与的夹角是θ，根据|+|===2，求得cosθ的值，可得θ的值．解：设向量与的夹角是θ，则=1××cosθ=cosθ，根据|+|====2，可得cosθ=0，∴θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，根据三角函数的值求角，属于基础题．12.若奇函数的定义域为，其部分图像如图所示，则不等式的解集是

．参考答案：13.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为________参考答案：【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．【答案解析】解析：解：把曲线的参数方程是（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为（x≥0，y≥0）．

曲线的极坐标方程是，化为直角坐标方程为．

解方程组

，求得，∴与交点的直角坐标为，

故答案为：．【思路点拨】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得与交点的直角坐标．14.某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，若要从成绩在[85，90），[90，95），[95，100]三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取12人参加面试，则成绩在[90，100]内的学生应抽取的人数为

．参考答案：6【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】由频率分布直方图，先求出a=0.040．再求出第3组、第4组和第5组的人数，由此能求出利用分层抽样在30名学生中抽取12名学生，成绩在[90，100]内的学生应抽取的人数．【解答】解：由频率分布直方图，得：（0.016+0.064+0.06+a+0.02）×5=1，解得a=0.040．第3组的人数为0.060×5×50=15，第4组的人数为0.040×5×50=10，第5组的人数为0.020×5×50=5，所以利用分层抽样在30名学生中抽取12名学生，第4组应抽取×12=4人，第5组应抽取×12=2人．则成绩在[90，100]内的学生应抽取的人数为6．故答案为：6．【点评】本题考查分层抽样方法的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．15.在△ABC中，D在BC边上，且，若，则p+q=．参考答案：0【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】用表示出，解出p，q．【解答】解：==（）=﹣，∴p=，q=﹣，∴p+q=0．故答案为：0．【点评】本题考查了平面向量的基本定理及几何意义，是基础题．16.已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，过点作圆的切线，切点为使得，则椭圆的离心率的取值范围是

．参考答案：17.在正三棱锥内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为，则正三棱锥的体积最小时，其高等于______.参考答案：【知识点】利用导数求最值和极值柱，锥，台，球的结构特征【试题解析】根据题意：设三棱锥的高PO=x，底面的AB边上的高CD=3OD=3y，

设半球与平面PAB切于点E，所以

所以

三棱锥的体积为：

对体积函数求导，得：令V’=0，得：唯一正解。

由该体积函数的几何意义知：是体积函数的极小值点，

故正三棱锥的体积最小时，其高等于三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中经X表示。

（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差

（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率。

参考答案：（Ⅰ）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为（Ⅱ）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为19.等比数列满足的前n项和为，且（I）求；（II）数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.参考答案：解:（Ⅰ），所以公比

……2分

得

……4分所以

……5分

……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知

于是

…………9分假设存在正整数，使得成等比数列，则，

可得，

所以

从而有，，

由，得

……11分

此时.

当且仅当，时，成等比数列.

……12分

略20.（本小题满分12分）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BC⊥CF,,EF=2，BE=3，CF=4.(Ⅰ)求证：EF⊥平面DCE；(Ⅱ)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60°．参考答案：解：方法一：（Ⅰ）证明：在△BCE中，BC⊥CF,BC=AD=,BE=3，∴EC=，∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE由已知条件知，DC⊥平面EFCB,∴DC⊥EF，又DC与EC相交于C，∴EF⊥平面DCE（Ⅱ）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连结AH．由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC,AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF．所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角．…在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4．EC=∴∠CEF=60°，由CE∥BH，得∠BHE=60°，又在Rt△BHE中，BE=3，∴由二面角A-EF-C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得，所以当时，二面角A-EF-C的大小为60°方法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz．设AB=a（a>0），则C(0,0,0)，A(,0,a)，B(，0，0），E(，3，0），F（0，4，0）．从而设平面AEF的法向量为，由得，

，取x=1，则，即，不妨设平面EFCB的法向量为，

由条件，得

解得．所以当时，二面角A-EF-C的大小为60°．略21.（本小题满分分）在平面直角坐标系xoy中，已知四边形OABC是平行四边形，，点M是OA的中点，点P在线段BC上运动（包括端点），如图（Ⅰ）求∠ABC的大小；（II）是否存在实数λ，使？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由。参考答案：解：（Ⅰ）由题意，得，因为四边形OAB