一元二次方程根与系数的关系在生活中的运用

222222222222222222222222222222222222一二方根系的系生中运南昌市青云谱实验学校

王继凤韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理观近年各省市的中（赛）试题可以发现，关于涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽．在证（解）题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长．下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用，供大家参考．一直应韦定．若已知条件或待证结论中含有ab和b形的式子，可考虑直接应用韦达定理．【1在△中，a、b、c分是A、B∠的边，D是AB边一点，=DC，设AD=．求证：（1+d=2bcosA；（2d．【析观所要证明的结论然可联想到韦达定理而构造元二次方程进行证明．【】明：如图，在△中，由余弦定理，有：

2

=b

c

-2bccosA；

2

=b

2

-2（CD==）．∴c-2+b-=0，bdcosA+b-=0于是，c、d是程x+ba的个．由韦达定理，有：cbcosAdb-．【2已知+a-1=0，b，b，求aba的值．【析显然已知二式具有共同的形式x+x-1=0．于是和b可为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．【】由已知可构造一个一元二次程x-1=0其二根为a、．由韦达定理，得ab，b．故abab．二先等形再用达理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a+、ab形的式子，则可考虑应用韦达定理．【3若实、、满x，z．求证：=．【】明：将已知二式变形为+y=6=+9由韦达定理知x、是程u+（）=0两个根．∵x、y是数∴36≥0．则z≤0又实数，∴

，eq\o\ac(△,即)=0．于是，方程uu+9=0有根，故x=．1

2222222222222222222222222222222222222222222′222222【例】已知x

2

+x-0，

30．

yx+的值．x【解将待求式

yx+化为如下形式：x

x+xy）-=xy

．由已知二式，易知x、是t+3t-8=0两个根，由韦达定理知：+=-，=-8．是，

xy+y-2xy-）-）1==-3．xy-8三已一二方两的系或系数系求系关（或求根关），可虑韦定．【5已知方程+px+q=0的二根之比为：2，方程的判别式的值为．求q值，解此方程．【】设x+pxq=0的根为、2，则由韦达定理，有：a，·2=，②P-4．把①、代入③，得（-3）-4×a=1，即9a-8a，于是=±1．当a=１，解得：

{

p31q1当a=-时，解得：{

=32=22∴方程为x-3+2=0或．解得x=1，，或，=-2．1【6设方++q=0的根之差等于方程+qx+的根之差，求证=或+=-4．【】明：设方程x+px+q=0的根为、，+qxP=0的两根为α＇β＇由题意知-=＇β＇故有αβ+=＇-2＇＇β＇．从而有（+）α（＇β＇＇＇．①依韦达定理，有

{

β-p•β=

，

{

α+-qα•β=

．②把②代入①有-4=-4即pqp-4q（p+p-q+4（-q=0（p-）（p）=0．故-或p，即p=q或+q．四关两一二方有共的目可虑韦定．【7为值时，方程x+与程x-4-（m-1=0有个公共根？并求出这个公共根．【】设公共根为α，易知：原方程+的根为、-m-；2

22322322x-（）=0的两根为α、4-．由韦达定理，得（+），α4-）