【原创资料】10.3《定积分与微积分基本定理》错误解题分析

10.3《定积与微积基本定》错误题分析一知导1、可微：若函数

yx)x的量可表示为的性函数A（是数）与0较高阶的无穷小量之和

()

（）则称函数在x可，1）中的0A

称为函数

f

在点

0

的微分，记作

x

A

或

dfx)

x

。函数

f(x

在点

0

可微的充要条件是函数

f(x在可导，这时（）中的0

等f

)0

。若函数yx)

在区间I上点都可微，则称

f(x)为I上可微函数。函数

yx)在I上的微分记作

dyf

。2、微积分基本定理：如果

Ff(x

，且

f(x

在

[b]

上可积。则

b

fx

FbF)

。其中

F()

叫做

f(x

的一个原函数。a由于

[(x)])

，

F()

也是

f(x

的原函数，其中

为常数。二疑知导1、定积分的定义过程包括“分、近似求和、取极限”这几个步骤，这里包含着很重要的数学思想方法，只有对定积分的定义过程了解了，才能掌握定积分的应用。1）一般情况下，对于区间的分是任意的，只要求分割的小区间的长度的最大

趋近于0，这样所有的小区间的长度才都趋近于0但有的时候为了解题的方便，我们选择将区间等份成

n

份，这样只要2其中使

1n

就可以了。2）对每个小区间内的取是任意的，在解题中也可选取区间的左端点或是右端点。i3）求极限的时候，不是

，而是

0

。2、在微积分基本定理中，原函不是唯一的，但我们只要选取其中的一个就可以了，一般情况下选那个不带常数的。因为

f(x)()]Fx))F()

。3利定积分来求面积时特是位于轴侧的图形的面积的计算分部分进行计算，然后求两部分的代数和。三、典题讲例1]求曲

yx与x轴区间

[0,2

上所围成阴影部分的面积S。

a2a3x33a4a2a3x33a4【解分两部分，[

]

在

2

，因此所求面积为0

2+（）。【析面积应为各部分积分的代数和就是第二部分的积分不是阴影部分的面积是面积的相反数。所以不应该将两部分直接相加。【解

xdx

xdx240

例2]用微分基本定理证明

b

fx

fx

b

f(x

（

c

）a

a

【析即寻找

f(x

的原函数代入进行运算。解设

Ff(x)

，则

f(x

b

f(x=

aF()()F()F(c)

=

F(b)F()由微积分基本定理的逆运用可知：上式

b

f(x所以原式成立，即证。【注该可来分在

a轴侧图的分例3]根据式求常数a的。1）

xdxa0)

2）

dxx

【析利用微积分基本定理，求出原函数代入

a

求解解1）

a

x2

2）

dxx

ln

a

lnaa

4例4]某产生产x个位时的边际收入

200

x100

(（１）（２）

求生产了个单位时的总收入如果已生产了100个单位时，求生产100个位时的总收入。【析总收入为边际收入的积分和总收入既为求边际收入在规定时间内的定积分收入函数

(x)

和边际收入

R

的关系可得（）产50个位时的总收入为

(50)

50

0=

500

(200

x100

=99875

2244234122442341（）已生产了个位时后再生产个单位时的总收入为200100

Rdx

200100

x100

)答：生产50个单位时的总收入为99875；生产100个单位时后，再生产100个单位时的总收入为19850。例5]一个电量为

的电荷放在

轴上原点处形成电场求单位电荷在电场力作用下沿轴向从处动到xb处时电场力对它所作的功。【析变力做功的问题就是定积问题在物理方面的应用。解单位正电荷放在电场中，距原点处电荷对它的用力为

在单位电荷移动的过程中，电场对它的作用力为变力。则根据课本对变力做功的分析可知

ba

1()ab答：电场力对它做的功为

(

1)a

。例6]一质以速度

(t)

m